八年级上数学期末试卷

八年级上数学期末试卷 一、选择题
1．4的平方根是（ ）
A ．2
B ．2±
C ．2
D ．2± 2．若a 满足3a a =
，则a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．0或1或1-
3．若1(2,)A y ，2(3,)B y 是一次函数31y x =-+的图象上的两个点，则1y 与2y 的大小关系是( )
A ．12y y <
B ．12y y =
C ．12y y >
D ．不能确定
4．如图，∠AOB=60°，OA=OB ，动点C 从点O 出发，沿射线OB 方向移动，以AC 为边在右侧作等边△ACD ，连接BD ，则BD 所在直线与OA 所在直线的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．垂直
D ．平行、相交或垂直
5．如图，在锐角三角形ABC 中2AB =，45BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是（ ）
A ．1
B 2
C ．2
D 6
6．已知一次函数()1y m x =-的图象上两点11(,)A x y ,22(,)B x y ,当12x x ＞时,有12y y ＜，那么m 的取值范围是（ ）
A ．0m ＞
B ．0m ＜
C ．1m ＞
D ．1m ＜ 7．若2149x kx ++
是完全平方式，则实数k 的值为（ ） A ．43 B ．13 C ．43± D ．1
3
± 8．估计(130246的值应在（ ） A ．1和2之间
B ．2和3之间
C ．3和4之间
D ．4和5之间 9．下列各数中，无理数的是（ ）
A ．0
B ．1.01001
C ．π
D 4
10．如图，在R △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，E 为AC 上一点，且AE ＝
85
，AD 平分∠BAC 交BC 于D ．若P 是AD 上的动点，则PC +PE 的最小值等于（ ）
A ．185
B ．245
C ．4
D ．265
二、填空题
11．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ．下列条件：①∠A ＝∠B ﹣∠C ；②a 2＝（b +c ）（b ﹣c ）；③∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5；④a ：b ：c ＝5：12：13．其中能判断△ABC 是直角三角形的是_____（填序号）．
12．某厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，年产值y 与年数x 之间的函数关系为________．
13．如果2x -有意义，那么x 可以取的最小整数为______．
14．已知，点(,1)A a 和点(3,)B b 关于原点O 对称，则+a b 的值为__________．
15．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，且50A ∠=︒，则EBC ∠的度数是__________．
16．如图，在ABC ∆中，AB AC =，4BC =，其面积为12，AC 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 边于点E ，F .若点D 为BC 边的中点，点P 为线段EF 上的一个动点，则PCD ∆周长的最小值为______.
17．如图①，四边形ABCD 中，//,90BC AD A ∠=︒，点P 从A 点出发，沿折线AB BC CD →→运动，到点D 时停止，已知PAD △的面积s 与点P 运动的路程x 的函
数图象如图②所示，则点P 从开始到停止运动的总路程为________.
18．化简 2(0,0)3b a b a
>≥结果是_______ ． 19．如图，等边△ABC 的周长是18，D 是AC 边上的中点，点E 在BC 边的延长线上．如果DE ＝DB ，那么CE 的长是_____．
20．如图，在ABC ∆中，AC AD BD ==，28B ∠=，则CAD ∠的度数为__________．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数43
y x =
与一次函数7y x =-+的 图像交于点A ．
（1）求点A 的坐标；
（2）在y 轴上确定点M ，使得△AOM 是等腰三角形，请直接写出点M 的坐标；
（3）如图，设x 轴上一点P （a ，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），分别交43y x =和7y x =-+的图像于点B 、C ，连接OC ，若BC =145
OA ，求△ABC 的面积及点B 、点C 的坐标；
（4）在（3）的条件下，设直线7y x =-+交x 轴于点D ，在直线BC 上确定点E ，使得△ADE 的周长最小，请直接写出点E 的坐标．
22．如图，△ABC 中，B C ∠=∠，点D 、E 在边BC 上，且AD AE =，求证：BE CD =
23．如图，四边形ABCD 中，AB =20，BC =15，CD =7，AD =24，∠B =90°．
（1）判断∠D 是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD 的面积.
24．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD ，CE 分别是AB 边上的中线和高．
（1）求证：AE=ED ；
（2）若AC=2，求△CDE 的周长．
25．如图所示，AC=AE ，∠1=∠2，AB=AD ．求证：BC=DE ．
四、压轴题
26．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；
（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；
（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，△ABC 外角∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，∠A=64°，∠CBQ ，∠BCQ 的平分线交于点P ，则∠BPC= ゜，延长BC 至点E ，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R ，则∠R= ゜．
27．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B b 满足
|21|280a b a b --++-=．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；
（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．
28．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．
（1）如图1，
①求证：点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；
②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为 ；
（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ；
（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转的过程中，在什么情况下线段BF 的长取得最大值？若AC =22a ，试写出此时BF 的值．
29．如图，以直角△AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足280a b b -++-=．
（1）点A 的坐标为________；点C 的坐标为________．
（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分
∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOA ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．
30．如图，以ABC 的边AB 和AC ，向外作等腰直角三角形ABE △和ACF ，连接 EF ，AD 是ABC 的高，延长DA 交EF 于点G ，过点F 作DG 的垂线交DG 于点H ．
（1）求证：FHA ADC ≌△△；
（2）求证：点G 是EF 的中点．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平方根的定义直接作答.
【详解】
解：4的平方根是2±
故选：D
【点睛】
本题考查平方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是本题的解题关键.
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
只有0和1的算术平方根与立方根相等．
【详解】 3a a =∴a 为0或1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．也考查了算术平方根．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，此一次函数系数k ＜0，y 随x 增大而减小，然后观察A 、B 两点的坐标，据此判断即可.
【详解】
解：∵一次函数1y =+的系数k ＜0，y 随x 增大而减小，
又∵两点的横坐标2＜3，
∴12y y >
故选C.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，解决本题的关键是理解本题题意，熟练掌握一次函数的增减性.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】先判断出OA=OB ，∠OAB=∠ABO ，分两种情况判断出△AOC ≌△ABD ，进而判断出∠ABD=∠AOB=60°，即可得出结论．
【详解】∵∠AOB=60°，OA=OB ，
∴△OAB 是等边三角形，
∴OA=AB ，∠OAB=∠ABO=60°
①当点C 在线段OB 上时，如图1，
∵△ACD 是等边三角形，
∴AC=AD ，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD ，
在△AOC 和△ABD 中，OA BA OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AOC ≌△ABD ，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO ﹣∠ABD=60°=∠AOB ，
∴BD ∥OA ；
②当点C 在OB 的延长线上时，如图2，
∵△ACD 是等边三角形，
∴AC=AD ，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD ，
在△AOC和△ABD中，
OA BA
OAC BAD
AC AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△AOC≌△
ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD=60°是解本题的关键．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
【详解】
解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME与△AMN中，
=
=
=
AE AN
EAM NAM
AM AM
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE，
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，此时BM+MN有最小值，
∵2
AB=，∠BAC=45°，此时△ABE为等腰直角三角形，
∴，即BE ，
∴BM+MN ．
故选：B ．
【点睛】
本题考察了最值问题，能够通过构造全等三角形，把BM+MN 进行转化，是解题的关键．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
先根据12x x ＞时,有12y y ＜判断y 随x 的增大而减小，所以x 的比例系数小于0，那么m-1＜0，解出即可.
【详解】
解：∵当12x x ＞时,有12y y ＜
∴ y 随x 的增大而减小
∴m-1＜0
∴ m ＜1
故选 D.
【点睛】
此题主要考查了一次函数的图像性质，熟记k ＞0，y 随x 的增大而增大；k ＜0，y 随x 的增大而减小.
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k 的值．
【详解】
由完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2可得： kx=±2•2x•
13， 解得k=±
43
． 故选：C
【点睛】
本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2是关键． 8．B
解析：B
【解析】
【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.
【详解】(
=
=2，
而
，
-<3，
所以2<2
所以估计(2和3之间，
故选B.
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【详解】
解：A.0是整数，属于有理数；
B.1.01001是有限小数，属于有理数；
C．π是无理数；
=，是整数，属于有理数．
2
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有ππ的数．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
如图，作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P′，连接EP′，此时EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．求出CE′即可．
【详解】
如图，作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P′，连接EP′，此时EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB22
AC BC
+22
68
+，
∴CH=AC BC
AB
⋅
=
24
5
，
∴AH22
AC CH
-=
2
2
24
6
5
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
18
5
，
∴AE=AE′=8
5
，
∴E′H=AH-AE′=2，
∴P′C+P′E=CP′+P′E′=CE22
CH E H'
+
2
2
24
2
5
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
=
26
5
，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查利用对称性以及勾股定理的运用，解题关键是做好辅助线，转换等量关系.
二、填空题
11．①②④
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】
解：∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△A
解析：①②④
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】
解：∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；
∵a2＝（b+c）（b﹣c）
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意；
∵a：b：c＝5：12：13，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故④符合题意；
故答案为：①②④．
【点睛】
此题主要考查直角三角形的判定，解题的关键是熟知勾股定理逆定理与三角形的内角和定理的运用.
12．y=15+2x
【解析】
【分析】
根据年产值y（万元）=现在的年产值+以后每年增加的年产值求解．
【详解】
解：∵某厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，
∴年产值y与年数x之间的函数
解析：y=15+2x
【解析】
【分析】
根据年产值y（万元）=现在的年产值+以后每年增加的年产值求解．
【详解】
解：∵某厂现在的年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，
∴年产值y与年数x之间的函数关系为：y=15+2x，
故答案为：y=15+2x．
【点睛】
此题主要考查一次函数在实际问题的应用，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．13．2
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求解即可．
【详解】
根据题意得，x-2≥0，
解得x≥2，
∴x 可以取的最小整数为2．
故填：2.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，根据
解析：2
【解析】
【分析】
根据被开方数大于等于0列式求解即可．
【详解】
根据题意得，x-2≥0，
解得x ≥2，
∴x 可以取的最小整数为2．
故填：2.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于列式求解即可，比较简单．
14．【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点坐标的特点，即可得到答案.
【详解】
解：∵点和点关于原点对称，
∴，，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点坐标特点，解题的关键是熟记
解析：4-
【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点坐标的特点，即可得到答案.
【详解】
解：∵点(,1)A a 和点(3,)B b 关于原点O 对称，
∴3a =-，1b =-，
∴3(1)4a b +=-+-=-；
故答案为：4-.
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点坐标特点，解题的关键是熟记平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．
15．15°
【解析】
【分析】
根据等边对等角和三角形的内角和定理，即可求出∠ABC，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角即可求出∠EBA，从而求出的度数．
【详解】
解：∵，
∴∠ABC=∠ACB=（
解析：15°
【解析】
【分析】
根据等边对等角和三角形的内角和定理，即可求出∠ABC ，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角即可求出∠EBA ，从而求出EBC ∠的度数．
【详解】
解：∵AB AC =，50A ∠=︒
∴∠ABC=∠ACB=
12
（180°－∠A ）=65° ∵ED 垂直平分线段AB
∴EA=EB ∴∠EBA=∠A=50°
∴EBC ∠=∠ABC －∠EBA=15°
故答案为：15°．
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角、垂直平分线的性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
16．8
【解析】
【分析】
连接AP ，AD ，根据等腰三角形三线合一可知AD 为△ABC 的高线，求出AD 的长度.根据垂直平分线的性质AP=PC,由两点之间线段最短可知AP+PD 最短AD,由此可求周长的最小值
解析：8
【解析】
【分析】
连接AP ，AD ，根据等腰三角形三线合一可知AD 为△ABC 的高线，求出AD 的长度.根据垂直平分线的性质AP=PC,由两点之间线段最短可知AP+PD 最短AD,由此可求PCD ∆周长的最小值
【详解】
解：如下图，连接AP ，AD.
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
∴AD ⊥BC ，DC=122
BC =, 1141222
ABC S BC AD AD ∴=
⋅=⨯⨯=, 解得AD=6, ∵EF 是线段AC 的垂直平分线，
∴AP=PC,
∴DP+PC=DP+AP≥AD=6.
∴PCD ∆周长=DP+PC+DC,当DP+PC=6时周长最短，最短为6+2=8.
故答案为：8.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短.能根据垂直平分线的性质和两点之间线段最短求得DP+PC 的最小值是解决此题的关键.
17．11
【解析】
【分析】
根据函数图象可以直接得到AB 、BC 和三角形ADB 的面积，从而可以求得AD 的长，作辅助线CE ⊥AD,从而可得CD 的长，进而求得点P 从开始到停止运动的总路程，本题得以解决.
【
解析：11
【解析】
【分析】
根据函数图象可以直接得到AB、BC和三角形ADB的面积，从而可以求得AD的长，作辅助线CE⊥AD,从而可得CD的长，进而求得点P从开始到停止运动的总路程，本题得以解决.
【详解】
解:作CE⊥AD于点E,如下图所示，
由图象可知，点P从A到B运动的路程是3，当点P与点B重合时，△PAD的面积是
21
2
，由B到C运动的路程为3,
∴
321 222 AD AB AD
⨯⨯
==
解得，AD=7,
又∵BC//AD,∠A=90°，CE⊥AD,
∴∠B=90°，∠CEA=90°，
∴四边形ABCE是矩形,
∴AE=BC=3,
∴DE=AD-AE=7-3=4,
∴2222
345,
CD CE DE
=+=+=
∴点P从开始到停止运动的总路程为: AB+BC+CD=3+3+5=11.
故答案为:11
【点睛】
本题考查了根据函数图象获取信息，解题的关键是明确题意，能从函数图象中找到准确的信息,利用数形结合的思想解答问题.
18．【解析】
【分析】
首先将被开方数的分子和分母同时乘以3a，然后再依据二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：原式=，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握相关知
【解析】
【分析】
首先将被开方数的分子和分母同时乘以3a，然后再依据二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：原式=
．
【点睛】
本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．3
【解析】
【分析】
由△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点可得∠DBE=30°，由DE=DB得∠E =30°，再证出∠CDE=∠E，得出CD=CE=AC=3即可．
【详解】
∵△ABC为等边
解析：3
【解析】
【分析】
由△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点可得∠DBE=30°，由DE=DB得∠E =30°，再证出
∠CDE=∠E，得出CD=CE=1
2
AC=3即可．
【详解】
∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，
∴∠DBE=30°，
又DE=DB，
∴∠E=∠DBE=30°，
∵等边△ABC的周长为18，
∴AC=6，且∠ACB=60°，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE=1
2
AC=3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明CD=CE是解题的关键．
20．68°
【解析】
【分析】
由在△ABC中，AC=AD=BD，∠B=28°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠ADC 的度数，接着求得∠C的度数，可得结论．
【详解】
解：∵AD=BD，
∴∠BAD=∠
解析：68°
【解析】
【分析】
由在△ABC中，AC=AD=BD，∠B=28°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠ADC的度数，接着求得∠C的度数，可得结论．
【详解】
解：∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=28°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=28°+28°=56°，
∵AD=AC，
∴∠C=∠ADC=56°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-56°-56°=68°，
故答案为：68°．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题
21．（1）（3，4）；（2）点M为（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0，25
8
）；
（3）点B（9，12）、C（9，﹣2）；（4）点E坐标为（9，1）．
【解析】
试题分析：（1）联立方程组，求解.(2)分类讨论在y轴上确定点OM= OA,OM=AM,总共有4
种可能性.(3)设点B（a，4
3
a），C（a，﹣a+7），利用BC=
14
5
OA，求a值.过点A作
AQ⊥BC，求得△ABC的面积及点B、点C的坐标.(4)利用对称求最小值.试题解析：
解：（1）联立得：
4
3
7
y x
y x
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
，解得：
3
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
则点A的坐标为（3，4）.
（2）根据勾股定理得：OA=22
34
+=5，
如图1所示，
分四种情况考虑：
当OM1=OA=5时，M1（0，5）；
当OM2=OA=5时，M2（0，﹣5）；
当AM3=OA=5时，M3（0，8）；
当OM4=AM4时，M4（0，
25
8
），
综上，点M为（0，5）、（0，﹣5）、（0，8）、（0，
25
8
）；（3）设点B（a，
4
3
a），C（a，﹣a+7），
∵BC=
14
5
OA=
14
5
×5=14，
∴
4
3
a﹣（﹣a+7）=14，
解得：a=9，
过点A作AQ⊥BC，如图2所示，
∴S△ABC=
1
2
BC•AQ=
1
2
×14×（9﹣3）=42，
当a=9时，
4
3
a=
4
3
×9=12，﹣a+7=﹣9+7=﹣2，
∴点B（9，12）、C（9，﹣2）.
（4）如图3所示，
作出D关于直线BC的对称点D′，连接AD′，与直线BC交于点E，连接DE，此时△ADE 周长最小，
对于直线y=﹣x+7，令y=0，得到x=7，即D（7，0），
由（3）得到直线BC为直线x=9，
∴D′（11，0），
设直线AD′解析式为y=kx+b，
把A与D′坐标代入得：
34
110
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
1
2
11
2
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴直线AD′解析式为y=﹣
1
2
x+
11
2
，
令x=9，得到y=1，
则此时点E坐标为（9，1）．
点睛：1.平面上最短路径问题
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”.凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型.
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”.凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型.
（3）平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题.
2.平面直角坐标系下，两个一次函数图像的交点坐标问题，可以看作二元一次方程组的解的问题.
3.待定系数法求函数的解析式.
22．见解析.
【解析】
【分析】
根据等边对等角的性质可得∠ADC=∠AEB，然后利用“角角边”证明△ABE和△ACD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．
【详解】
证明：∵AD=AE，
∴∠ADC=∠AEB（等边对等角），
∵在△ABE和△ACD中，
ABC ACB
AEB ADC
AE AD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边对等角的性质得到三角形全等的条件是解题的关键．
23．（1）∠D是直角．理由见解析；（2）234.
【解析】
【分析】
（1）连接AC，先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理，求得∠D=90°即可；
（2）根据△ACD和△ACB的面积之和等于四边形ABCD的面积，进行计算即可．
【详解】
（1）∠D是直角．理由如下：
连接AC ．
∵AB =20，BC =15，∠B =90°，
∴由勾股定理得AC 2=202+152=625．
又∵CD =7，AD =24，
∴CD 2+AD 2=625，
∴AC 2=CD 2+AD 2，
∴∠D =90°．
（2）四边形ABCD 的面积=12AD •DC +12AB •BC =12×24×7+12
×20×15=234．
【点睛】
考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的综合运用，解决问题时需要区别勾股定理及其逆定理．通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题是关键．
24．（1）证明见解析；（2）33+【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD=AD ，根据直角三角形的两个锐角互余，得∠A=60°，从而判定△ACD 是等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可证明；
（2）结合（1）中的结论，求得CD=2，DE=1，只需根据勾股定理求得CE 的长即可．
【详解】 （1）证明：∵∠ACB=90°，CD 是AB 边上的中线，
∴CD=AD=DB ．
∵∠B=30°，
∴∠A=60°．
∴△ACD 是等边三角形．
∵CE 是斜边AB 上的高，
∴AE=ED ．
（2）解：由（1）得AC=CD=AD=2ED ，
又AC=2，
∴CD=2，ED=1．
∴2213CE =-=．
∴△CDE 的周长=21333CD ED CE ++=+=．
25．证明见解析.
【解析】
试题分析：由1=2∠∠，可得,CAB EAD ∠=∠,,AC AE AB AD ==则可证明
ABC ADE ≅，因此可得.BC DE =
试题解析：1=2∠∠，
12,EAB EAB ∴∠+∠=∠+∠即CAB EAD ∠=∠,在ABC 和ADE 中，{AC AE
CAB EAD AB AD
=∠=∠=(),ABC ADE SAS ∴≅.BC DE ∴=
考点：三角形全等的判定．
四、压轴题
26．（1） 122°；（2）12BEC α∠=
；（3）01902BQC A ；（4）119，29 ； 【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用A ∠与1∠表示出2∠，再利用E ∠与1∠表示出2∠，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数．
【详解】
解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，
12PBC ABC ∴∠=∠，12
PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠
11180()22
ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2
ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2
A =︒-︒-∠， 1180902
A =-︒+︒∠， 9032122，
故答案为：122︒；
（2）如图2示，
CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，
112ACB ∴∠=∠，122
ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，
ABD A ACB ∴∠=∠+∠，
112()122
A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，
112111222
BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2
QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，
11180()()22
A AC
B A AB
C =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22
A A ABC AC
B =︒-∠-∠+∠+∠， 结论1902
BQC A ∠=︒-∠． （4）由（3）可知，119090645822BQC
A ， 再根据（1），可得180()BPC
PBC PCB 1118022QBC QCB 1180
902Q 118090582
119；
由（2）可得：11582922R Q ;
故答案为：119，29．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
27．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3⎛⎫-
⎪⎝⎭；（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可；
（2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；
（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据
CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明．
【详解】
解：（1）21280a b a b --+-=， 又∵|21|0a b --≥280a b +-， |21|0a b ∴--=280a b +-=，即210280a b a b --=⎧⎨+-=⎩
， 解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23a b =⎧⎨=⎩
， A ∴，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；
（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，
∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积），
根据题意得，11195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦
， 化简，得
3||42
t =， 解得，83
t =±， 依题意得，0t <， 83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， ∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，从而可知，点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143
个单位长度得到的， ∴点D 的坐标是141,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭；
（3）证明：过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，如图所示，
则ECD CEF ∠=∠，
2BCE ECD ∠=∠，
33BCD ECD CEF ∴∠=∠=∠，
过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，如图所示，
则OGP BPE ∠=∠，
PE 平分OPB ∠，
OPE BPE ∴∠=∠，
OGP OPE ∴∠=∠，
由平移得//CD AB ，
//OG FE ∴，
FEP OGP ∴∠=∠，
FEP OPE ∴∠=∠，
CEP CEF FEP ∠=∠+∠，
CEP CEF OPE ∴∠=∠+∠，
CEF CEP OPE ∴∠=∠-∠，
3()BCD CEP OPE ∴∠=∠-∠．
【点睛】
本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．
28．（1）①详见解析；②
12α；（2）详见解析；（3）当B 、O 、F 三点共线时BF 最长，(10+2)a
【解析】
【分析】
（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB ，即可证点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；
②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC ，可求∠BDC 的度数；
（2）连接CE ，由题意可证△ABC ，△DCE 是等边三角形，可得AC=BC ，
∠DCE=60°=∠ACB ，CD=CE ，根据“SAS”可证△BCD ≌△ACE ，可得AE=BD ；
（3）取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，由三角形的三边关系可得，当点O ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求10BO a =，2OF OC a ==，即可求得BF
【详解】
（1）①连接AD ，如图1．
∵点C 与点D 关于直线l 对称，
∴AC = AD ．
∵AB = AC ，
∴AB = AC = AD ．
∴点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．
②∵AD=AB=AC ，
∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，
∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=1
2
α
故答案为：1
2α．
（2连接CE，如图2．
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵∠BDC=1
2
α，
∴∠BDC=30°，
∵BD⊥DE，
∴∠CDE=60°，
∵点C关于直线l的对称点为点D，
∴DE=CE，且∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE，
（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，
，
F是以AC为直径的圆上一点，设AC中点为O，
∵在△BOF中，BO+OF≥BF，
当B、O、F三点共线时BF最长；
如图，过点O作OH⊥BC，
∵∠BAC=90°，2a ， ∴24BC AC a ==，∠ACB=45°，且OH ⊥BC ，
∴∠COH=∠HCO=45°，
∴OH=HC ， ∴2OC HC =
， ∵点O 是AC 中点，AC 2a ， ∴2OC a =， ∴OH HC a ==，
∴BH=3a ， ∴10BO a =，
∵点C 关于直线l 的对称点为点D ，
∴∠AFC=90°，
∵点O 是AC 中点， ∴2OF OC a ==
， ∴102BF a =， ∴当B 、O 、F 三点共线时BF 最长；最大值为102)a ．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
29．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；
（2）根据运动速度得到OQ=t ，OP=8-2t ，根据△ODP 与△ODQ 的面积相等列方程求解即可；
（3）由∠AOC=90°，y 轴平分∠GOD 证得OG ∥AC ，过点H 作HF ∥OG 交x 轴于F ，得到∠FHC=∠ACE ，∠FHO=∠GOD ，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC ，即可证得
2∠GOA+∠ACE=∠OHC.
【详解】
（1280a b b -+-=，
∴a-b+2=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
∴A（0，6），C（8，0）；
故答案为：（0，6），（8，0）；
（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），∴OA=6，OB=8，
由运动知，OQ=t，PC=2t，
∴OP=8-2t，
∵D（4，3），
∴
11
42
22
ODQ D
S OQ x t t
=⨯=⨯=
△
，
11
823123 22
ODP D
S OP y t t
=⨯=-⨯=-△
（），
∵△ODP与△ODQ的面积相等，
∴2t=12-3t，
∴t=2.4，
∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，
∴∠OAC+∠ACO=90°.
又∵∠DOC=∠DCO，
∴∠OAC=∠AOD.
∵x轴平分∠GOD，
∴∠GOA=∠AOD.
∴∠GOA=∠OAC.
∴OG∥AC，
如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AC，
∴∠FHC=∠ACE.
∵OG∥FH，
∴∠GOD=∠FHO，
∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，
即∠GOD+∠ACE=∠OHC，
∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．
【点睛】
此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AF AC =，利用AAS 得到AFH CAD ∆≅∆；
（2）由（1）利用全等三角形对应边相等得到FH AD =，再EK AD ⊥，交DG 延长线于点K ，同理可得到AD EK =，等量代换得到FK EH =，再由一对直角相等且对顶角相等，利用AAS 得到FHG EKG ≅△△，利用全等三角形对应边相等即可得证．
【详解】
证明：（1） ∵FH AG ⊥，
90AEH EAH ∴∠+∠=︒，
90FAC ∠=︒，
90FAH CAD ∴∠+∠=︒，
AFH CAD ∴∠=∠，
在AFH ∆和CAD ∆中，
90AHF ADC AFH CAD
AF AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()AFH CAD AAS ∴∆≅∆，
（2）由（1）得AFH CAD ∆≅∆，
FH AD ∴=，
作FK AG ⊥，交AG 延长线于点K ，如图；
同理得到AEK ABD ∆≅∆，
EK AD ∴=，
FH EK ∴=，
在EKG ∆和FHG ∆中，
90EKG FHG EGK FGH
EK FH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()EKG FHG AAS ∴∆≅∆，
EG FG ∴=．即点G 是EF 的中点．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握K 字形全等进行证明是解本题的关键．。