【初中数学++】++角平分线+课件2024-2025学年北师大版数学八年级下册
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.5cm A区
牛刀小试课本30页习题1.9第4题
2.如图，在∠AOB内部作一点P，使PC=PD，并且点P到 ∠AOB的距离相等.
课堂小结
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理 在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个 角的平分线上.
②过一点作已知直线的垂线.
复习回顾
已知线段m，求作等腰直角三角形，使其斜边上的高为m.
m
你还记得角平分线上的点有什么性质吗?
角平分线平分角.
如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分 线，它们有什么关系？
你还记得角平分线上的点有什么性质吗?
角平分线平分角. 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你是怎样得到的？请你尝试证明这个性质，并与同伴交流.
已知：如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证： PD=PE.
O
证明：已知PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E ∵∠PDO=∠PEO=90°，
A D
1
P
2
C
E B
∠1=∠2，OP=OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS）.
求DE的长.
A
E F
B
D
C
分析：先求得△ADE与△ADF全等，得到∠DAE=30°，然
后根据AD长求得DE长.
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴ AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相
等的点在这个角的平分线上）.
又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
§1.4.1 角平分线
第一课时
复习回顾 已知角，如何作角平分线
复习回顾
1. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2. 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分 线上.
3. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到 三个顶点的距离相等.
4．尺规作图：
ห้องสมุดไป่ตู้外心
①“已知等腰三角形的底和底边的高，作等腰三角形”．
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗？
定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上.
已知:如图,点P为∠AOB内一点，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别是D，E，且PD=PE.
A D
求证:OP平分∠AOB.
1
P
O2
证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D，E， E
∴ ∠ODP=∠OEP=90°.
B
∵ PD=PE，OP=OP，
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.
∴ ∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）.
∴ OP平分∠AOB.
定理应用
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，
AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
定理应用 30页习题1.9第2题
1. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D
，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是1_5_______．
2. 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线， 且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,F. 求证：EB=FC．
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=10，
∴
DE=
1 AD=
2
12×10=5（在直角三角形中，如果一个锐
角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
牛刀小试课本29页随堂练习
1.如图，一目标在A区，到公路、铁路距离相等，离公路与铁路的交 叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺1∶20000).
牛刀小试课本30页习题1.9第4题
2.如图，在∠AOB内部作一点P，使PC=PD，并且点P到 ∠AOB的距离相等.
课堂小结
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理 在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个 角的平分线上.
②过一点作已知直线的垂线.
复习回顾
已知线段m，求作等腰直角三角形，使其斜边上的高为m.
m
你还记得角平分线上的点有什么性质吗?
角平分线平分角.
如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分 线，它们有什么关系？
你还记得角平分线上的点有什么性质吗?
角平分线平分角. 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你是怎样得到的？请你尝试证明这个性质，并与同伴交流.
已知：如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证： PD=PE.
O
证明：已知PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E ∵∠PDO=∠PEO=90°，
A D
1
P
2
C
E B
∠1=∠2，OP=OP，
∴△PDO≌△PEO（AAS）.
求DE的长.
A
E F
B
D
C
分析：先求得△ADE与△ADF全等，得到∠DAE=30°，然
后根据AD长求得DE长.
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴ AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相
等的点在这个角的平分线上）.
又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
§1.4.1 角平分线
第一课时
复习回顾 已知角，如何作角平分线
复习回顾
1. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
2. 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分 线上.
3. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到 三个顶点的距离相等.
4．尺规作图：
ห้องสมุดไป่ตู้外心
①“已知等腰三角形的底和底边的高，作等腰三角形”．
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗？
定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上.
已知:如图,点P为∠AOB内一点，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别是D，E，且PD=PE.
A D
求证:OP平分∠AOB.
1
P
O2
证明:∵ PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D，E， E
∴ ∠ODP=∠OEP=90°.
B
∵ PD=PE，OP=OP，
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.
∴ ∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）.
∴ OP平分∠AOB.
定理应用
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，
AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
定理应用 30页习题1.9第2题
1. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D
，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是1_5_______．
2. 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线， 且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E,F. 求证：EB=FC．
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=10，
∴
DE=
1 AD=
2
12×10=5（在直角三角形中，如果一个锐
角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
牛刀小试课本29页随堂练习
1.如图，一目标在A区，到公路、铁路距离相等，离公路与铁路的交 叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺1∶20000).