2017-2018学年北师大版数学必修5习题精选：第一章 数列 1-3-2 含解析 精品

3.2等比数列的前n项和
课后篇巩固探究
A组
1.设{a n}是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列{a n}前7项的和为()
A.63
B.64
C.127
D.128
解析:设公比为q(q>0),则1·q4=16,解得q=2(q=-2舍去).于是S7=错误！未找到引用源。

=127.
答案:C
2.设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q等于()
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:由题意知,错误！未找到引用源。

两式相减,得3a3=a4-a3,
即4a3=a4,则q=错误！未找到引用源。

=4.
答案:B
3.若数列{a n}的前n项和S n=a n-1(a∈R,且a≠0),则此数列是()
A.等差数列
B.等比数列
C.等差数列或等比数列
D.既不是等差数列,也不是等比数列
解析:当n=1时,a1=S1=a-1;
当n≥2时,a n=S n-S n-1=(a n-1)-(a n-1-1)
=a n-a n-1=a n-1(a-1).
当a-1=0,即a=1时,该数列为等差数列,当a≠1时,该数列为等比数列.
答案:C
4.公比q≠-1的等比数列的前3项,前6项,前9项的和分别为S3,S6,S9,则下面等式成立的是()
A.S3+S6=S9
B.错误！未找到引用源。

=S3·S9
C.S3+S6-S9=错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

=S3(S6+S9)
解析:由题意知S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列.
∴(S6-S3)2=S3(S9-S6),
整理得错误！未找到引用源。

=S3(S6+S9).
答案:D
5.已知{a n}是首项为1的等比数列,S n是{a n}的前n项和,且9S3=S6,则数列错误！未找到引用源。

的前5项和为()
A.错误！未找到引用源。

或5
B.错误！未找到引用源。

或5
C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

解析:设{a n}的公比为q.由9S3=S6知q≠1,
于是错误！未找到引用源。

,整理得q6-9q3+8=0,所以q3=8或q3=1(舍去),于是q=2.
从而错误！未找到引用源。

是首项为错误！未找到引用源。

=1,公比为错误！未找到引用源。

的等比数列.
其前5项的和S=错误！未找到引用源。

.
答案:C
6.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,S6=4S3,则a4=.
解析:设等比数列{a n}的公比为q,很明显q≠1,则错误！未找到引用源。

=4·错误！未找到引用源。

,解得q3=3,所以a4=a1q3=3.
答案:3
7.已知lg x+lg x2+…+lg x10=110,则lg x+lg2x+…+lg10x=.
答案:2 046
8.已知在等比数列{a n}中,a2=2,a5=错误！未找到引用源。

,则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=.
解析:设数列{a n}的公比为q,由a2=2,a5=a2q3=错误！未找到引用源。

,
得q=错误！未找到引用源。

,∴a1=错误！未找到引用源。

=4.
∵错误！未找到引用源。

=q2=错误！未找到引用源。

为常数(n≥2),
∴数列{a n a n+1}是以a1a2=4×2=8为首项,以错误！未找到引用源。

为公比的等比数列, ∴a1a2+a2a3+…+a n a n+1
=错误！未找到引用源。

(1-4-n).
答案:错误！未找到引用源。

(1-4-n)
9.(2017北京高考)已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.
解(1)设等差数列{a n}的公差为d.
因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.
解得d=2.所以a n=2n-1.
(2)设等比数列{b n}的公比为q.
因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.
解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.
从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=错误！未找到引用源。

.
10.导学号33194023已知等差数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N+),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{b n}的前三项.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(2)设T n=错误！未找到引用源。

+…+错误！未找到引用源。

(n∈N+),求T n.
解(1)设d,q分别为等差数列{a n}的公差、等比数列{b n}的公比,由题意知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3得2,2+d,4+2d,
∴(2+d)2=2(4+2d),∴d=±2.
∵a n+1>a n,∴d>0,∴d=2.
∴a n=2n-1(n∈N+).由此可得b1=2,b2=4,b3=8,∴q=2.∴b n=2n(n∈N+).
(2)∵T n=错误！未找到引用源。

+…+错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

+…+错误！未找到引用源。

,①∴错误！未找到引用源。

T n=错误！未找到引用源。

+…+错误！未找到引用源。

,②由①-②得错误！未找到引用源。

T n=错误！未找到引用源。

+…+错误！未找到引用源。

, ∴T n=1+错误！未找到引用源。

=3-错误！未找到引用源。

=3-错误！未找到引用源。

.
B组
1.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,则下列一定成立的是()
A.若a3>0,则a2 017<0
B.若a4>0,则a2 016<0
C.若a3>0,则S2 017>0
D.若a4>0,则S2 016>0
解析:若a3>0,则a3=a1q2>0,因此a1>0,当公比q>0时,任意n∈N+,a n>0,故有S2 017>0,当公比q<0
时,q2 017<0,则S2 017=错误！未找到引用源。

>0,故答案为C.
答案:C
2.已知数列前n项的和S n=2n-1,则此数列奇数项的前n项的和是()
A.错误！未找到引用源。

(2n+1-1)
B.错误！未找到引用源。

(2n+1-2)
C.错误！未找到引用源。

(22n-1)
D.错误！未找到引用源。

(22n-2)
解析:由S n=2n-1知当n=1时,a1=21-1=1.
当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1,当n=1时也适合,
∴a n=2n-1.
∴奇数项的前n项和为S n=错误！未找到引用源。

(4n-1)=错误！未找到引用源。

(22n-1).
答案:C
3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则数列{a n}的公比为.
解析:由S1,2S2,3S3成等差数列知4S2=S1+3S3,
即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),整理得3a3-a2=0,∴错误！未找到引用源。

,则数列{a n}的公比
为错误！未找到引用源。

.
答案:错误！未找到引用源。

4.设数列{x n}满足lg x n+1=1+lg x n(n∈N+),且x1+x2+…+x100=100,则
x101+x102+…+x200=.
解析:由lg x n+1=1+lg x n,
得lg x n+1=lg(10x n),即错误！未找到引用源。

=10.
故x101+x102+…+x200=q100(x1+x2+…+x100)=10100×100=10102.
答案:10102
5.已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则
S6=.
解析:∵x2-5x+4=0的两根为1和4,
又{a n}为递增数列,∴a1=1,a3=4,q=2.
∴S6=错误！未找到引用源。

=63.
答案:63
6.导学号33194024数列{a n}的前n项和记为S n,a1=t,点(S n,a n+1)在直线y=3x+1
上,n∈N+.
(1)当实数t为何值时,数列{a n}是等比数列;
(2)在(1)的结论下,设b n=log4a n+1,c n=a n+b n,T n是数列{c n}的前n项和,求T n.
解(1)∵点(S n,a n+1)在直线y=3x+1上,
∴a n+1=3S n+1,a n=3S n-1+1(n>1,且n∈N+),a n+1-a n=3(S n-S n-1)=3a n,
∴a n+1=4a n,n>1,a2=3S1+1=3a1+1=3t+1,
∴当t=1时,a2=4a1,数列{a n}是等比数列.
(2)在(1)的结论下,a n+1=4a n,a n+1=4n,b n=log4a n+1=n,c n=a n+b n=4n-1+n,
T n=c1+c2+…+c n=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)
=(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)
=错误！未找到引用源。

.
7.导学号33194025设数列{b n}的前n项和为S n,且b n=2-2S n,数列{a n}为等差数列,
且a5=14,a7=20.
(1)求数列{b n}的通项公式;
(2)若c n=a n·b n(n=1,2,3…),T n为数列{c n}的前n项和,求T n.
解(1)由b n=2-2S n,令n=1,
则b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=错误！未找到引用源。

.
当n≥2时,由b n=2-2S n及b n-1=2-2S n-1,
可得b n-b n-1=-2(S n-S n-1)=-2b n,即错误！未找到引用源。

.
所以{b n}是以错误！未找到引用源。

为首项,错误！未找到引用源。

为公比的等比数列,
于是b n=错误！未找到引用源。

.
(2)由数列{a n}为等差数列,公差d=错误！未找到引用源。

(a7-a5)=3,可得a n=3n-1.从而
c n=a n·b n=2(3n-1)·错误！未找到引用源。

,
所以T n=2错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

,①错误！未找到引用源。

T n=2错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

.②
①-②得,
错误！未找到引用源。

T n=2错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
T n=错误！未找到引用源。

.。