(挑战)中考数学压轴题精讲特训 因动点产生的等腰三角形问题(含试题,含详解)

因动点产生的等腰三角形问题
例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF ＝DP的情况．
请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF ＝DP的情况．
思路点拨
1．第（2）题BP＝2分两种情况．
2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．
满分解答
（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
在Rt△CDE中，CD＝5，所以
315
tan5
44
ED CD C
=⋅∠=⨯=，
25
4
EC=．
（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．
因此△PDM∽△QDN．
所以
4
3
PM DM
QN DN
==．所以
3
4
QN PM
=，
4
3
PM QN
=．
图2 图3 图4
①如图3，当BP ＝2，P 在BM 上时，PM ＝1．
此时3344QN PM =
=．所以319444
CQ CN QN =+=+=． ②如图4，当BP ＝2，P 在MB 的延长线上时，PM ＝5．
此时31544QN PM ==．所以1531
444
CQ CN QN =+=+=．
（3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，3
tan 4
QD DN QPD PD DM ∠===．
在Rt △ABC 中，3
tan 4
BA C CA ∠==．所以∠QPD ＝∠C ．
由∠PDQ ＝90°，∠CDE ＝90°，可得∠PDF ＝∠CDQ ． 因此△PDF ∽△CDQ ．
当△PDF 是等腰三角形时，△CDQ 也是等腰三角形．
①如图5，当CQ ＝CD ＝5时，QN ＝CQ －CN ＝5－4＝1（如图3所示）．
此时4433PM QN ==．所以45
333
BP BM PM =-=-=．
②如图6，当QC ＝QD 时，由cos CH
C CQ
=
，可得5425258CQ =÷=．
所以QN ＝CN －CQ ＝257
488
-=（如图2所示）
． 此时4736PM QN =
=．所以725
366
BP BM PM =+=+=
． ③不存在DP ＝DF 的情况．这是因为∠DFP ≥∠DQP ＞∠DPQ （如图5，图6所示）．
图5 图6
考点伸展
如图6，当△CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB ＝PD ．在△BDP 中可以直接求解256
BP =
．
例2 2012年扬州市中考第27题
如图1，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标；
（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P 落在线段BC 上时，PA ＋PC 最小，△PAC 的周长最小．拖动点M 在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M 有1次机会落在AC 的垂直平分线上；点A 有2次机会落在MC 的垂直平分线上；点C 有2次机会落在MA 的垂直平分线上，但是有1次M 、A 、C 三点共线．
思路点拨
1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段BC 上时△PAC 的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性． 满分解答
（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2
＋2x ＋
3．
（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．
当点P 落在线段BC 上时，PA ＋PC 最小，△PAC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PH BO CO
，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．
图2
（3）点M的坐标为(1, 1)、、(1,或(1,0)．
考点伸展
第（3）题的解题过程是这样的：
设点M的坐标为(1,m)．
在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．
①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．
此时点M的坐标为(1, 1)．
②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m=．
此时点M的坐标为或(1,．
③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．
当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．
图3 图4 图5
例3 2012年临沂市中考第26题
如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．
请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形
思路点拨
1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．
2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．
满分解答
（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC=
所以点B的坐标为(2,
--．
（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，
代入点B (2,--，2(6)a --⨯-．解得a =．
所以抛物线的解析式为2(4)y x x x x =-=．
（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．
①当OP ＝OB ＝4时，OP 2
＝16．所以4+y 2
＝16．解得y =±
当P 在时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．
②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(16y ++=．解得12y y ==-
③当PB ＝PO 时，PB 2
＝PO 2．所以22224(2y y ++=+．解得y =-．
综合①、②、③，点P 的坐标为(2,-，如图2所示．
图2 图3
考点伸展 如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D ，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．
由2(4)2)y x x x =-=-，得抛物线的顶点为D ．
因此tan DOA ∠=DOA ＝30°，∠ODA ＝120°．
例4 2011年盐城市中考第28题
如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数4
3
y x 的图象交于点A ，且与x 轴交
于点B ．
（1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动
点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．
①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R 由B 向O 运动，从图象中可以看到，△APR 的面积有一个时刻等于8．观察△APQ ，可以体验到，P 在OC 上时，只存在AP ＝AQ 的情况；P 在CA 上时，有三个时刻，△APQ 是等腰三角形．
思路点拨
1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．
3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况．
满分解答
（1）解方程组7,
4,3y x y x =-+⎧⎪⎨
=⎪⎩
得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)．
（2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8
A P R A C P P O R C O R A S S S S =--=△△△梯形，得111
3+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6． 因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．
图2 图3 图4
②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．
如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7
，AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．
如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．
因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．
在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520
333
AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．
如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得41
8
t =．
如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程
72[(7)(4)]
t t t -=---，得5t =． 如7，当PA ＝PQ 时，那么1
2cos AQ
A AP
∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程
5203
2(7)335
t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或
418或5或22643
时，△APQ 是等腰三角形．
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cos
AP AQ A
=⋅∠来求解．
例5 2010年南通市中考第27题
如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若
12
y
m
=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图象，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图象，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．
拖动点A可以改变m的值，再拖动图象中标签为“y随x”的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．
思路点拨
1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．
2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．
3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角
形，那么得到x ＝y ；一段是计算，化简消去m ，得到关于x 的一元二次方程，解出x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值．
满分解答
(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此
DC EB CE BF =，即8m x
x y
-=．整理，得y 关于x 的函数关系为218
y x x m m
=-
+． (2)如图2，当m ＝8时，2211
(4)288
y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．
(3) 若12
y m =
，那么
21218x x m m m
=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，
即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12
y m
=，得m ＝2（如图4）．
图2 图3 图4
考点伸展
本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：
由第（1）题得到218y x x m m =-
+221116(8)(4)x x x m m m
=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多
长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．
再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程
218
x x x m m
=-
+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．
例 6 2009年江西省中考第25题
如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“09江西25”，拖动点P在EF上运动，可以体验到，当N在AD 上时，△PMN的形状不发生改变，四边形EGMP是矩形，四边形BMQE、四边形ABMN是平行四边形，PH与NM互相平分．
当N在DC上时，△PMN的形状发生变化，但是△CMN恒为等边三角形，分别双击按钮“PM ＝PN”、“MP＝M N”和“NP＝NM”，可以显示△PMN为等腰三角形．
思路点拨
1．先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD 的中位线EF ＝4，这是x 的变化范围．平行线间的距离处处相等，AD 与EF 、EF 与BC 间的距离相等．
2．当点N 在线段AD 上时，△PMN 中PM 和MN 的长保持不变是显然的，求证PN 的长是关键．图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．
3．分三种情况讨论等腰三角形PMN ，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题． 满分解答
（1）如图4，过点E 作EG ⊥BC 于G ．
在Rt △BEG 中，22
1==AB BE ，∠B ＝60°， 所以160cos =︒⋅=BE BG ，360sin =︒⋅=BE EG ．
所以点E 到BC 的距离为3．
（2）因为AD //EF //BC ，E 是AB 的中点，所以F 是D C 的中点．
因此EF 是梯形ABCD 的中位线，EF ＝4．
①如图4，当点N 在线段AD 上时，△PMN 的形状不是否发生改变．
过点N 作NH ⊥EF 于H ，设PH 与NM 交于点Q ．
在矩形EGMP 中，EP ＝GM ＝x ，PM ＝EG ＝3．
在平行四边形BMQE 中，BM ＝EQ ＝1＋x ．
所以BG ＝PQ ＝1．
因为PM 与NH 平行且相等，所以PH 与NM 互相平分，PH ＝2PQ ＝2．
在Rt △PNH 中，NH ＝3，PH ＝2，所以PN ＝7．
在平行四边形ABMN 中，MN ＝AB ＝4．
因此△PMN 的周长为3＋7＋4．
图4 图5
②当点N 在线段DC 上时，△CMN 恒为等边三角形．
如图5，当PM ＝PN 时，△PMC 与△PNC 关于直线PC 对称，点P 在∠DCB 的平分线上． 在Rt △PCM 中，PM ＝3，∠PCM ＝30°，所以MC ＝3．
此时M 、P 分别为BC 、EF 的中点，x ＝2．
如图6，当MP ＝MN 时，MP ＝MN ＝MC ＝3，x ＝GM ＝GC －MC ＝5－3．
如图7，当NP ＝NM 时，∠NMP ＝∠NPM ＝30°，所以∠PNM ＝120°．
又因为∠FNM ＝120°，所以P 与F 重合．
此时x ＝4．
综上所述，当x ＝2或4或5－3时，△PMN 为等腰三角形．
图6 图7 图8 考点伸展
第（2）②题求等腰三角形PMN 可以这样解：
如图8，以B 为原点，直线BC 为x 轴建立坐标系，设点M 的坐标为（m ，0），那么点P 的坐标为（m ，3），MN ＝MC ＝6－m ，点N 的坐标为（
26+m ，2)6(3m -）． 由两点间的距离公式，得21922+-=m m PN ．
当PM ＝PN 时，92192=+-m m ，解得3=m 或6=m ．此时2=x ．
当MP ＝MN 时，36=-m ，解得36-=m ，此时35-=x ．
当NP ＝NM 时，22)6(219m m m -=+-，解得5=m ，此时4=x ．。