第3次课--条件概率全概率公式

解： 设 A 表示“患有癌症”， A 表示“没有癌症”，B表示“实
验反应为阳性”，则由条件得
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2013
练习：某工厂生产的产品中９６％是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为 是次品的概率为０.０２，一个次品被认为是合格品的概率为０.０５，求在被检 查后认为是合格品产品确是合格品的概率． 解：设A={产品确为合格品} ， B={产品被认为是合格品}
分析：如果设事件A为“第一次取到正品”，事件B为“第二次取 到正品”，则问题转化为求条件概率P(B|A).
〖解〗：由条件可得：
P(A) 3 4 12 , P(AB) 3 2 6 ,
5 4 20
5 4 20
故有
P(B | A) P(AB) 1 . P(A) 2
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【例2】 : 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为 0.5，既下雪又下雨的概率为0.1，求： （1）在下雨条件下下雪的概率； （2）这天下雨或下雪的概率.
解 ：设A={下雨}，B={下雪}.
（1） P(B | A) P( AB) 0.1 0.2
P( A) 0.5
（2）P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.3 0.5 0.1 0.7
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二、条件概率的性质
1、条件概率也是概率.因而也满足概率的三条公 理及其各个性质。
P（A|B）
Байду номын сангаас
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显然，P(A|B)≠P(A)=1/2。
此外,在样本空间 中易计算得:P(B)=3/4,P(AB)=
1/4,且有
P(A | B) P(AB) . P(B)
由此，一般可定义条件概率。
定义1 设A,B为两个事件,且P(B)>0,称
P(A | B) P(AB) P(B)
为“在事件B发生的条件下事件A发生”的条件概率。
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不难看出，计算条件概率P(A|B)有两种方法：
➢ 在原样本空间 中分别求出P(A),P(AB),再 按定义公式计算；
➢ 在缩减样本空间B中按一般概率计算P(A).
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【例1】一盒子装有5只产品，其中3只正品，2只次品。从中 取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品 条件下，第二次取到也是正品的概率.
j 1
【证】由条件概率、乘法定理与全概率公式得
P( Ai
|
B)
P( Ai B) P(B)
P(Ai )P(B | Ai )
n
,i 1,2, n.
P(Aj )P(B | Aj )
j 1
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在应用全概率公式与贝叶斯公式时，有两个问题需 要弄清楚：
1、如何确定划分
当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引起的， 可以将这些“原因”看作划分.
则由题意得
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定理2 (贝叶斯公式) 设 为试验E的样本空间,
A1,A2,…，An为 的一个划分,B为E的事件,且 P(Ai)>0(i=1,2,…,n),P(B)>0,则有：
P(Ai | B)
P(Ai )P(B | Ai )
n
,i 1,2, n.
P(Aj )P(B | Aj )
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3、全概率公式与贝叶斯公式
定义2 设 为随机试验E的样本空间,A1,A2,…，
An为E的满足下列条件的事件组： （i）AiAj=Φ(i≠j,i,j=1,2,…,n);
n
(ii) Ai ,
i 1
则称A1,A2,…，An为样本空间 的一个划分.
例如，在掷一枚骰子观察出现的点数试验中，
A1 :"抽取一件产品是甲厂生产的", A2 :"抽取一件产品是乙厂生产的",
事件B为“随机抽取一件为次品”.
由全概率公式得:
P(B) P(A1)P(B | A1) P(A2)P(B | A2)
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P(B) P(A1)P(B | A1) P(A2)P(B | A2)
例如，加法公式:
P(B C | A) P(B | A) P(C | A) P(BC | A)
对立事件概率公式:
P(B | A) 1 P(B | A).
等等,此处不一一列举.
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2、乘法定理 由条件概率定义即可得: 乘法定理 设A,B为两个事件,且P(A)>0,则
P(AB) P(A)P(B | A)
2、如何区分是用全概率公式还是用贝叶斯公式
“由因求果”用全概率公式,“执果求因”用贝叶斯 公式.
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【例6】设工厂甲和工厂乙的产品次品率分别为1%和 2%,现从甲与乙的产品分别占60%和40%的一批产品中随机 抽取一件,发现是次品,则该次品属甲厂生产的概率是多 少?
〖解〗由于产生次品的“原因”是“甲厂生产” 和“乙厂生产”,因此,划分可设为:
0.60.01 0.40.02 0.014
由贝叶斯公式得:
P( A1
|
B)
P( A1 ) P( B P(B)
|
A1)
0.6 0.01 0.014
3. 7
■
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【例7】设某工厂有甲，乙，丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%， 35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现在从一批产品中检查出 1个次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？ 解：设 A1 ，A2，A3 表示产品来自甲，乙，丙3个车间，B表示产品为“次品” 的事件，易知A1 ，A2，A3是样本空间的一个划分，则有
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【例4】: 一批彩电，共100台，其中有10台次品，采 用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才 抽到合格品的概率.
解： 设 Ai 为第 i 次抽到合格品的事件，则有
P(A1 A2 A3) P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1 A2 )
10 9 90 0.0083. 100 99 98
【例3】据以往资料表明,某一3口之家患某种传染病 的概率有以下规律:P{孩子得病}=0.6,P{母亲得病|孩子 得病}=0.5,P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4.求“母亲 及孩子得病但父亲未得病”的概率。
〖解〗设A,B,C分别表示孩子、母亲、父亲得病的事 件。由题意知:
P(A) 0.6, P(B | A) 0.5, P(C | AB) 0.4,
注意：①当P(A)>0时,乘法公式与条件概率定义式是
等价的;
②当P(A)>0,P(B)>0时,有
P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B);
③乘法公式可以推广到多事件情形.例如,三事件的
乘法公式为P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)（其中P(AB)>0）.
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一批产品中的次品数 概率
0, 1， 2， 3, 4， 0.1, 0.2, 0.4, 0.2，0.1，
现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该 批产品不合格，求一批产品通过检验的概率.
解：以 Ai 表示一批产品中有 i 件次品，i=0,1,2,3,4 ,B表示通过检验，
B1={1，2，3}，B2={4，5}，B3={6} 就是样本空间 的一个划分.
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定理1(全概公式) 设 为试验E的样本空间, A1,A2,…， An为 的一个划分，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n),则对任
意事件B有全概率公式：
n
P(B) P(Ai )P(B | Ai ). i1
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【例8】由以往的临床记录，某种诊断癌症的实验具有如下效果：被诊断者有
癌症，实验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，实验反应为阴性的概 率为0.95. 现对自然人群进行普查，设被实验的人群中患有癌症的概率为0.005， 求：已知实验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率.
现求 P(ABC ).
由乘法公式得:
P(ABC ) P(A)P(B | A)P(C | AB)
0.60.5(1 0.4) 0.18. ■
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注意 由于本例中 A, B,C, AB, ABC 都是地位平
等的随机事件,没有一个事先知道确已发生,所以所求
概率是积事件概率 P( ABC ) ,而不是条件概率 P(C | AB).
【证】因为A可互斥分解为
B BA1 BA2 BAn
BAi
n i 1
两两互斥
所以由有限可加性与乘法定理得：
n
n
P(B) P(BAi ) P( Ai )P(B | Ai ). ■
i 1
i 1
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【例5】：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的 次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：