教师资格证考试-职测-数量关系知识点汇编

数量关系知识点汇编
第一章数字推理
数字推理是数量关系的一种重要题型，主要测试考查考生对数字的敏感、分析、推理能力。

主要考查题型包括等差数列、倍数数列、分式数列、多次方数列、组合数列等。

考生需要掌握每种数列的题型特征和应对方法，多加练习。

知识点一、数字推理之等差数列
（一）题型特征
1.数列基本单调，从大数字看变化幅度不大（2倍左右）。

2.数列没有典型的题型特征时，强行逐差寻找规律。

（二）应对方法
1.先逐差，随时关注差和基本数列的联系，一级差无特点时再逐一级差。

2.如果二级差也没有特点，则先将其放在一边，将一级差斜向代入原数列构造网络。

3.如果无法构造网络，则需要对二级差“一逐到底”，随时结合差和倍数大胆猜测。

【例】1，4，12，29，59，（）
A.113
B.106
C.101
D.104
【答案】B。

解析：观察发现数列单调递增，大数字的变化幅度在2倍左右，故优先考虑作差：
14122959（106）
作差
381730（47）
作差
5913（17）公差为4的等差数列
知识点二、数字推理之多次方数列
（一）题型特征
1.数列中有明显的多次方数字或者多次方附近的数字。

2.数列局部有明显多次方规律。

3.数列基本单调，从大数字看变化幅度陡增（大于6倍）。

（二）应对方法
1.熟练掌握多次方数字，对多次方附近的数字敏感。

观察数列局部有无多次方数字或者多次方附近的数字。

2.结合选项发现数列变化幅度陡增时，考虑数列前一项的多次方推出后项，或者前两项的多次方推出后项。

3.当幅度分析法找不到规律时，需要及时考虑多次方规律。

【例】342，215，124，63，26，（
）A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】A 。

解析：观察发现数列中的数字都是多次方附近的数字，故优先考虑多次方规律。

原数列依次可改写为37-1，36-1，35-1，34-1，33-1，则应填入32-1=7。

故本题选A 。

知识点三、数字推理之分式数列
（一）题型特征
数列中大部分数字都是分数。

（二）应对方法
1.观察题干中分数，如果容易通分，考虑作差或者加和；如果容易约分，考虑乘积或者倍数。

2.无明显规律，观察有无重复数字出现在分子、分母位置。

3.最后考虑分子分母单独观察规律，通过化繁或化简均衡分子间/分母间的关系。

【例】32，65，1211，2423，4847，（）
A.7271
B.8079
C.9089
D.96
95
【答案】D 。

解析：方法一，观察发现数列中分母规律明显，是公比为2的等比数列，分子比分母少1，故所填项的分母为48×2=（96），分子为96-1=（95）。

方法二，分子分母单独看，分子为第一项×2+1=第二项，依次类推，47×2+1=95，分母为公比为2的等比数列，48×2=96，选择D 。

知识点四、数字推理之组合数列
（一）题型特征
数列较长，总项数较多（≥7），数字变化幅度不大且一般不具有单调性。

（二）应对方法
观察数列，如果总项数是偶数项，一般考虑两两分段或间隔数列。

如果总项数是奇数项，一般考虑三三分段或间隔数列。

如果括号在中间，一般考虑中间分段或间隔数列。

如果要求两项值，一般考虑间隔数列。

【例】1，1，3，9，5，25，7，49，（
），（）A.9，81 B.11，33 C.21，25
D.24，28【答案】A 。

解析：方法一，数列较长，总项数较多且是偶数项，故考虑间隔数列或两两分段。

奇数项1，3，5，7，（9）为连续奇数；偶数项1，9，25，49，（81）是连续奇数的平方。

选择A 。

方法二，两两分组，每组中的数字为平方关系，满足平方关系的只有A 选项。

第二章数学运算
数学运算常考题型包括计算问题、行程问题、工程问题、排列组合问题、几何问题、极值问题、容斥问题等，题型较多，需要掌握每种题型的基本知识，常考考点和解题思路，而常用的方法是整除法、方程法（普通方程、不定方程）、特值法和代入排除法。

其中方程法的应用最为广泛，需重点学习。

知识点一、数学运算之等差数列
（一）定义
从第二项起，每一项与前一项之差为一个常数，这样的数列称为等差数列，这个常数就称为公差，记为d。

（二）常用公式
记第一项为1a，第n项为n a，第m项为m a，则有
通项公式：n a=1a+（n-1）×d，n a=m a+（n-m）×d；
求和公式：n S=1a n+
(1)
2
n n d
-
⨯=1
2
n
a a n
+
⨯=n a
中。

【例】77个连续自然数的和是7546，则其中第45个自然数是：
A.99
B.100
C.104
D.105
【答案】C。

解析：7546÷77=98，那么知道第39个（中间的那个）自然数为98，所以第45个自然数就为98+（45-39）×1=104。

知识点二、数学运算之相遇追及问题
（一）相遇问题
研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题。

一般可以描述为甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲、乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么就有A、B两地间的路程=（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间。

A B
（二）追及问题
研究同向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题。

一般可以描述为甲从A地到C地，乙从甲的前方位置B地到C地，甲速大于乙速，最后甲追上乙，实质上是甲比乙多走了AB之间这段路程，如果两人同时出发，那么就有A、B两地间的路程=（甲的速度-乙的速度）×追及时间=速度差×追及时间。

A B 甲乙【例】A 、B 两架飞机同时从相距1755公里的两个机场起飞相向飞行，经过45分钟后相遇，如果A 机的速度是B 机的1.25倍，那么两飞机的速度差是每小时（
）。

A.250公里 B.260公里 C.270公里 D.280公里
【答案】B 。

解析：45分钟相当于0.75小时，A 、B 速度和为1755÷0.75=2340公里/小时。

两飞机的速度差为1
1.252340 ×（1.25-1）=2340÷9=260公里/小时。

知识点三、数学运算之多者合作问题
（一）问题描述
多者合作指在一项工程实施过程中有多人参与合作的情况。

合作方式有几人同时工作，几人不同时工作，或二者混合。

（二）解题核心
合作时的总效率等于各部分效率之和。

（三）解题方法
特值法。

已知时间，可设工作量为几个时间的公倍数，进而求效率；已知效率之间的比例关系，可直接设效率的最简比为特值。

【例】甲、乙两队开挖一条水渠。

甲队单独挖要8天，乙队单独挖要12天。

现在两个队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在3天内挖完。

乙队挖的天数是：
A.3
B.4
C.6
D.7
【答案】A 。

解析：设总的工作量为24，则甲、乙的工作效率分别为3、2，所求为（24-3×3）÷（3+2）=3，选A 项。

知识点四、数学运算之整除思想
（一）方法描述
整除法主要通过题干中所给的信息，判断结果应具备的整除特性，从而排除错误选项。

如：已知甲乙两个班的人数之比为3∶5，……，求甲班人数。

根据题干中的比例，可知甲班的人数一定是3的倍数，结合选项，可优先排除不是3的倍数的选项。

（二）常用数字的整除判定
1.局部看
（1）一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
（2）一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
（3）一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。

2.整体看
（1）整体作和
一个数各位数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。

（2）整体作差
7、11、13：如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除。

（适用于四位或者四位以上的大数字）11：奇数位上数字和与偶数位上数字和之差能被11整除。

3.其他合数
将该合数进行因数分解，能同时被分解后的互质因数整除，如：12=3×4，3和4没有公约数，互质，则能同时被3和4整除的数能被12整除。

【例】张警官一年内参与破获的各类案件有100多件，是王警官的5倍，李警官的五分之三，越警官的八分之七，问李警官一年内参与破获了多少案件？
A.175
B.105
C.120
D.不好估算
【答案】A。

解析：由题意可知，张警官破案数要大于100并且能被5，3，7同时整除，100以上200以内能被这三个数整除的只有105，所以张警官一年破案数为105，
那么李警官破案数为105÷3
5=175，所以答案是A。

知识点五、数学运算之特值思想
（一）概述
在复杂的计算问题中，通过设题中某些未知量为特殊值，从而简化计算，快速得出结果的一种方法。

（二）特值的核心
在计算复杂时，用特殊值代替未知量来计算，即不设未知数，而设“1”“10”“100”等。

（三）特值的常见应用
1.具有任意性（任意字眼、纯文字、纯字母）。

2.出现比例计算关系。

3.所求为乘除关系，对应量未知。

（四）如何设特值
1.含“任意”字眼，纯字母、纯文字、几何中的动点问题：一般设方便计算的简
单数据或特殊点。

2.出现比例计算关系：设最简比为特值。

3.存在M=A×B的关系，常见于行程、工程、浓度等题型。

已知M，设A、B；已知A、B设M或最简比。

【例】一批木材全部用来加工桌子可以做30张，全部用来加工床可以做15张，现
在加工桌子、椅子和床各2张，恰好用去全部木材的1
4，剩下的木材全部用来做椅子，
还可以做多少张？
A.40
B.30
C.25
D.5
【答案】B。

解析：设木材的数量是60根，则一张桌子用木材2根，一张床用木
材4根，现在加工桌子、椅子和床各2张，恰好用去全部木材的60×1
4=15根，则两张
椅子用木材15-2×（2+4）=3根，一张椅子用木材3÷2=1.5根，剩下的木材45根用来做椅子可以做45÷1.5=30张。