西南交通大学考研结构力学最新课件静定结构由于温度变化及杆件制造误差引起的位移计算

4－5 静定结构由于温度变化及杆 件制造误差引起的位移计算
对于静定结构，杆件在温度变化以及杆件
1
制造误差情况下，不引起内力；
由于材料具有发生膨胀和收缩的性质以及由于 杆件制造误差所引起的杆件变形，可使静定结 构自由地产生符合其约束条件的位移。

这种位移仍可应用变形体系的虚功原理计算。

（一）由于温度变化引起的位移计算
K
2
ΔKt
实际状态
设： 温度沿杆件截面厚 度h为线性分布，即在发 生温度变形后，截面仍保 持为平面。

dut
dθt


（一）由于温度变化引起的位移计算
K
3
ΔKt
dut dθt
位移状态 （实际状态）
PK=1
M N
力状态 （虚拟状态）
虚拟状态的外力和内力
1 ⋅ ΔKt = ∑ ∫ N dut + ∑ ∫ M dθt
实际状态的位移和变形(温度变化)


材料的线膨胀系数为 α 平均温度
dut
4
du t = αt 0 ds
dθt = αt2ds − αt1ds h
温差
dθt
1 当h l＝h 2，其形心轴处的温度为： t 0 = (t 1 + t 2 ) 2 Δt = t2 − t1 温差：
t 1 h2 + t 2 h1 当h1≠h2 ，其形心轴处的温度为： t 0 = h
α t2 − t1 ds αΔtds = = h h


温度作用引起的位移计算公式 1⋅ Δ Kt = ∑ ∫ N dut + ∑ ∫ M dθ t αΔt = ∑ ∫ N α t ds + ∑ ∫ M ds h
0
5
如果 t 0 、 Δt 沿每一杆件的全长为常数，则得： αΔt Δ Kt = ∑ α t 0 ∫ N ds + ∑ ∫ M ds 直杆 的 N 图面积
ωN
h
直杆 的 M 图面积
ωM
αΔt ωM ΔKt = ∑ αt 0 ωN + ∑ h


正负号规定如下：
αΔt ωM ΔKt = ± ∑ αt 0 ωN ± ∑ h
（1）轴力 N 与 t 0的符号一致为正，相反为负。

6
N
以拉力为正
t 0 以温度升高为正


αΔt ω ΔKt = ± ∑ αt 0 ωN ± ∑ 取－ M h
当 M 弯矩和温差Δt 引起的弯曲为同 一方向时，其乘积取正值；反之取负值。

（2）
1
7
求yc
M


由位移计算式可以看出
αΔt ΔKt = ± ∑ αt 0 ωN ± ∑ ωM h
由位移计算式可以看出，温度变化时，杆 件的轴向变形与其截面大小无关，即使截面很 大的杆件，同样可能产生显著的轴向变形。

因此，当计算梁和刚架由温度变化引起的 位移时，一般不能忽略受弯杆件的轴向变形的 影响。

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例 求图示刚架C点的竖向位移。

各杆截面为矩形。

0° +10° +10°
9
C
a
P=1
a
1
N
P=1
－
a
αΔt ω + α ω Δc = ∑ M ∑ t0 N
M
h 10 +0 =5 Δt = t2 − t1 =10− 0 =10 C t0 = 2 −10α 3a 2 + 5α (− a ) = − α ⎛ + 3a ⎞ (↑) 5 a⎜1 = ⎝ h⎠ h 2


（二）杆件制造误差引起的位移计算
杆件长度在制造上的误差
DE杆件 拼装后 产生了 结点位 的杆长作 移 长了λ 如求C点的竖向位移 利用虚功方程
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yc
实际状态
N DE
1 ⋅ ΔCy = N DE ⋅ λ
虚拟状态 1


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虚功方程
∑⋅=⋅λ
N Δ1Cy 虚拟状态的外力和内力
实际状态的位移（制造误差）
λ杆件长度在制造上的误差
N 具有制造误差杆件在虚拟状态下的轴力N λ以拉力为正
以伸长为正；缩短为负
符号规定：N 与λ符号一致为正，相异为负。

12图示桁架的六根下弦杆在制造时比设计长度均缩短了2cm ，试求（1）桁架在拼装后结点C 的竖向位移Cy Δ解：建立虚拟状态，求出有制造误差的各下弦杆的轴力
1例2
求出六根下弦
杆的轴力。

N
13
C =
=∑N y λΔ由于各下弦杆的制造误差均为缩短，而虚拟状态中各下弦杆均为受拉，两者方向相反，故计算结果为负号，表示C 点的竖向位移的实际方向为向上，即C 点向上的起拱度为10cm 。

)( 102)2(2
34)2(21↑−=×−+×−=cm 计算位移时注意：不需要计算虚力状态中各杆的轴力，而只需计算有制造误差杆件的轴力，本题中只需计算下弦杆的轴力。

（2）若设置桁架在下弦C点上拱
14 2cm，问上弦六根如何制造？
2cm
制造上拱度有意使桁架中的一些杆件作长些
或作短些，使桁架在拼装后得到
一定的拱度。

15求出上弦六根杆的轴力
设：上弦六根制造长度相同，均作长了λ
1
00
212121
21
λN Δ1Cy ∑=⋅4
21
2×⋅=⋅λcm 1cm 1=λ。