湖南师范大学附属中学2020届高三上学期第二次月考数学(文)试题(有答案)

2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考
数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{|15}A x x =<<，{}
2
|320B x x x =-+<，则A C B =（ ）
A ．{|25}x x <<
B ．{|25}x x ≤<
C ．{|25}x x ≤≤
D ．{|25}x x <≤
【答案】B
【解析】化简集合B ,根据补集的运算,可得答案. 【详解】
因为{|15}A x x =<<,{
}
2
|320{|12}B x x x x x =-+<=<<， ∴{|25}A x C B x =≤<． 故选:B ． 【点睛】
本题考查了补集的运算,考查了解一元二次不等式,属于基础题. 2．下列结论中错误的是（ ）
A ．命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题是“若4x ≠，则2340x x --≠”
B ．“4x =”是“2340x x --=”的充分条件
C ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题是真命题
D ．命题“若220m n +=，则0m =且0n =”的否命题是“若220m n +≠，则0m ≠或
0n ≠”
【答案】C
【解析】选项A ：根据逆否命题的定义可以直接判断本命题的正确性； 选项B ：根据充分条件的定义可以直接判断本命题的正确性；
选项C ：写了命题的逆命题,再根据一元二次方程的判别式可以判断出本命题的正确性； 选项D ：根据否命题的定义可以直接判断出本命题的正确性. 【详解】
选项A ：根据逆否命题的定义可以直接判断本命题是正确的；
选项B ：由4x =可以推出2340x x --=,因此“4x =”是“2340x x --=”的充分条件,故本命题是正确的；
选项C ：“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题是若方程20x x m +-=有实根,则0m >.因为方程20x x m +-=有实根,则2
1
1404
m m ∆=+≥⇒≥-,所以推不出0m >,故本命题是错误的；
选项D ：根据否命题的定义可以直接判断出本命题是正确的. 故选：C 【点睛】
本题考查了逆命题、否命题、逆否命题的定义以及真假判断,考查了充分条件的定义以及判断.
3．用二分法求函数()ln(1)1f x x x =++-在区间[]0,1上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为( ) A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】C
【解析】由原来区间的长度等于1 ,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后,区间长度变为12n
，由1
0.012n ≤可得结果. 【详解】
开区间()0,1的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半， 经过n 此操作后,区间长度变为
12n
， Q 用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解,
要求精确度为0.01 ,
1
0.012n
∴
≤，解得7n ≥，故选C. 【点睛】
本题考查用二分法求函数的近似零点的过程，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题. 4．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知4
A π
=，6a =，8b =，则c =
（ ）
A
．2
或2 B
．2- C
．2 D ．4
【答案】A
【解析】根据余弦定理列方程可解得. 【详解】
由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,
即23664282
c c =+-⨯⨯,
所以2280c -+=,
解得2c =
或2c =+. 故选:A 【点睛】
本题考查了利用余弦定理解三角形,属于基础题.
5．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩
表示的平面区域为D ，若(),x y D ∀∈，2x y a +≤为真命题，
则实数a 的取值范围是 A ．[)5,+∞ B ．[)2,+∞ C ．[
)1,+∞ D ．[)0,+∞
【答案】A
【解析】本题可先通过线性规划得出平面区域D ，在解出2x y +的取值范围，最后得出a 的取值范围。

【详解】
绘制不等式组107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
表示的可行域如图所示，
令2z x y =+，结合目标函数2z x y =+的几何意义可得2z x y =+在点B 处取得最大值，
联立直线方程可得10770x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得4
3
73
x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩，即47,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则max 47
2533
z =⨯+=.
结合恒成立的条件可知5a ≥，即实数a 的取值范围是[
)5,+∞，本题选择A 选项。

【点睛】
求线性目标函数z ax by =+的最值，当b 0>时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b 0<时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.解本题时，由线性规划知识确定2x y +的最值，然后结合恒成立的条件确定实数a 的取值范围即可。

6．已知点()1,2-
和3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
在直线():100l ax y a --=≠的两侧，则直线l 的倾斜角
的取值范围是 ( ) A ．,43ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭ B ．2,33ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
C ．25,36ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
D ．30,,34πππ⎛⎫⎛⎫
⋃ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】D
【解析】设直线l 的倾斜角为θ∴[0,π).点A (1,−2),B
(
直线l :ax −y −1=0(a ≠0)经过定点P (0,−1).
(
)121,01
PA PB k k ---=
=-=
=- ∴点(1,−2)和
在直线l :ax −y −1=0(a ≠0)的两侧， ∴k P A <a <k PB ,∴−1<tanθ
tanθ≠0. 解得30,34
ππ
θθπ<<
<<.
本题选择D 选项.
7．已知数列{}n a 的前n 项积为2n ，那么当2n ≥时，n a 等于（ ） A ．21n - B ．2
n
C ．22
(1)n n
+ D ．
2
2
(1)n n - 【答案】D
【解析】根据数列{}n a 的前n 项积的定义,由1
n
n n T a T -=可得答案. 【详解】
设数列{}n a 的前n 项积为n T ，则2
1231n n n T a a a a a n -=⋅⋅=L ，
当2n ≥时，11231n n T a a a a --=⋅⋅L =2
(1)n -,所以2
1(1)
n n n T n a T n -=
=-. 故选:D ． 【点睛】
本题考查了由数列的递推关系求通项,属于基础题.
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】由已知，可知该几何体为直四棱柱，上、下两个面是边长为的正方形；前后两个面是长为，宽为的平行四边形；左右两个面是长为，宽为的长方形，故其表面积为
，故选D.
9．已知函数()x
e f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，
不等式()()1221
0f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．,
2
e ⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．,
2
e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
C ．(,]e -∞
D ．(,)e -∞
【答案】A
【解析】由已知(0,)x ∈+∞，21x x >，
()()122
1
0f x f x x x -
<，可以变形为
()()1122x f x x f x <，可
以构造函数2()()x g x xf x e ax ==-，可知函数2
()()x g x xf x e ax ==-是增函数，故
'()20x
g x e ax =-≥，常变量分离，2x e a x ≤，设()2x
h x x
e =，求导，最后求出()h x 的
最小值，最后求出实数a 的取值范围. 【详解】 ∴
()()122
1
0f x f x x x -
<且(0,)x ∈+∞，∴当21x x >时，()()1122x f x x f x <，即函数
()xf x 在(0,)+∞上是一个增函数.设2()()x g x xf x e ax ==-，则有
'()20x
g x e ax =-≥，即2x e a x ≤，设()2x h x x e =，则有2
(1)'()2x
x e h x x
-=，当(0,1)x ∈时，'()0h x <，()h x 在(0,1)上单调递减，当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 在(1,)+∞上单调递增，()h x 在1x =处取得最小值，(1)2e h =，∴2
e
a ≤. 【点睛】
本题考查了利用导数，根据函数的单调性求参数问题,通过已知的不等式形式，构造函数，利用新函数单调性，求出最值，是解题的关键.
10．如图所示，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ︒∠=，
4AD AB ==，1CD =，动点P 在边BC 上，且满足AP mAB nAD =+u u u r u u u r u u u r （m ，n 均为正实数），则11
m n
+的最小
值为（ ）
A ．5 B
．
7
4
+C ．
185
D ．
103
【答案】B
【解析】根据向量的线性运算得到4n AP m AB nAC ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭u u u r u u u
r u u u r 后,利用三点共线的结论列
式可得3
14
m n +=,再根据基本不等式可得最小值. 【详解】
依题意得//CD AB ，∴14
AD AC CD AC DC AC AB =+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
∴144n AP mAB nAD mAB n AC AB m AB nAC ⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r u u u r ．
∴C ，P ，B 三点共线， ∴14n m n ⎛
⎫-
+= ⎪⎝⎭，即3
14
m n +=， 又∴m ，n 均是正实数，
∴
11113737744444
m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
当且仅当34m n n m =
，即44m n ⎧=-⎪
⎨=-+
⎪⎩
时，等号成立． 故选:B ． 【点睛】
本题考查了向量的线性运算,考查了三点共线的结论,考查了基本不等式求和的最小值,属于中档题.
11．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[]
3,2--上是减函数，若,A B 是锐角三角形ABC 的两个内角，则下列各式一定成立的是( ) A ．()()sin cos f A f B < B ．()()sin sin f A f B > C ．()()sin cos f A f B > D ．()()cos cos f A f B >
【答案】C
【解析】分析：由(2)()f x f x +=求出函数()f x 的周期，由周期性和条件可得()f x 在[3,2]--上的单调性，进而由函数的奇偶性和周期性得到函数在[0,1]上的单调性，根据锐角三角形的条件和诱导公式、以及正弦函数的单调性判断出sin A 和cos B 的大小，根据()f x 的单调性，即可得到结论.
详解：由(2)()f x f x +=得，函数()f x 为周期为2，
因为函数()f x 在[3,2]--为单调递减函数，所以函数()f x 在[1,0]-为减函数， 又由函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[0,1]为单调递增函数， 因为锐角三角形，所以2A B π+>，且,A B 都为锐角，所以2
A B π
>-且,A B 都为锐角，
由sin y x =在[0,
]2π
上为单调递增函数，所以sin sin()cos 2
A B B π
>-=，
所以()()sin cos f A f B >，故选C.
点睛：本题主要考查了正弦函数的单调性及锐角三角形的性质、函数的基本性质的综合应用，其中解答中正确应用函数的基本性质，合理作出运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想方法的应用.
12．定义：对于函数()y f x =，x D ∈．若存在常数c ，对于任意1x D ∈，存在唯一
的2x D ∈，使得
()()
122
f x f x c +=，则称函数()f x 在D 上的“均值”为c ．若
()lg f x x =
，x ∈，则函数()lg f x x =
在上的“均值”为（ ）
A ．
3
2
B ．
34
C ．
54
D ．10
【答案】C
【解析】假设存在常数c
，对于任意1x ∈
，存在唯一2x ∈，使得
12
lg lg 2
x x c +=,
即221
10c x x =
,
由1x ∈,
得22210[100c c x ∈,
再根据2210[100c c
列式可解得答案. 【详解】
假设存在常数c
，对于任意1x ∈
，存在唯一2x ∈，
使得12lg lg 2
x x c +=，即21210c
x x =，则22110c x x =．
故当1x ∈
时，22210100c c x ⎡⎤∈⎢⎣
，依题意可得2210[
100c c
,
∴2210100
100c
c ⎧≥⎪⎪⎨≤
，从而210c =，即5221010c =， ∴5
4
c =
． 故选:C ． 【点睛】
本题考查了对新定义的理解能力,考查了根据子集关系求参数,考查了对数的运算性质,属于中档题.
二、填空题
13．观察下列式子：2222221311511171,1,1,,222332344+
<++<+++<L 根据以上式子可以猜想：222
111
1232019++++
<L L __________．
【答案】
4037
2019
【解析】确定的不等式的左边各式分子是1，分母值自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求解． 【详解】
由已知中的不等式2222221311511171,1,1,,222332344
+
<++<+++<L 可知不等式的左边各式分子是1，分母值自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以不等式右边的第2018项为3(20181)24037
20192019
+-⨯=
所以2221114037
12320192019
++++<L L ．
【点睛】
本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)． 14．等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且31
3n n S n T n +=+，则220715
a a
b b +=+______． 【答案】83
【解析】根据等差数列的性质可得22012121
71512121
a a a a S
b b b b T ++==++，结合题中条件，即可求
出结果. 【详解】
因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，
由等差数列的性质，可得
1212201212112171512121
21()
221()2
a a a a a a S
b b b b b b T +++===+++， 又
313
n n S n T n +=+， 所以
220217152132118
2133
a a S
b b T +⨯+===++.
故答案为83
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和，熟记等差数列的性质与前n 项和公式，即可得出结果.
15．如图,AB 为圆O 的直径,点C 在圆周上(异于点A ,)B ,直线PA 垂直于圆O 所在的平面,点M 是线段PB 的中点.有以下四个命题：
①MO ①平面PAC ； ①PA ①平面MOB ； ①OC ⊥平面PAC ； ①平面PAC ⊥平面PBC ． 其中正确的命题的序号是______． 【答案】∴∴
【解析】根据线面平行的判定与线面,面面垂直的判定方法逐个证明即可. 【详解】
对∴,因为,M O 为,BP BA 的中点,故MO 为三角形BPA 的中位线,故MO ∴平面PAC . 故∴正确.
对∴,因为PA ⊆平面MOB ,故∴错误.
对∴,因为BC AC ⊥,故OC 不会垂直于AC ,故OC 不垂直于平面PAC .故∴错误 对∴, 因为BC AC ⊥,PA ⊥面ABC ,故PA BC ⊥.又PA AC A =I . 故BC 平面PAC ⊥,又BC ⊆平面PBC ,故平面PAC ⊥平面PBC .故∴正确. 故答案为∴∴ 【点睛】
本题主要考查了线面平行与线面垂直等判定,属于中等题型.
16．已知关于x 的方程()
2
ln 0x x a x x --=在()0,∞+上有两个不等的实数根，则a
的取值范围是________．
【答案】(0,1)(1,2ln 2)⋃
【解析】将问题转化为函数()ln g x x =与()(1)h x a x =-在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上有两个交点,再根据两个函数的图象分析可得答案. 【详解】
因为方程(
)
2
ln 0x x a x x --=在1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上有两个实数根等价于ln (1)0x a x --=在1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上有两个实数根, 等价于函数()ln g x x =与()(1)h x a x =-在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上有两个交点，显然(1,0)为一个交点，
结合()ln g x x =与()(1)h x a x =-的图象，图象如下:
当()(1)h x a x =-经过点1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭
时，2ln2a =．
当()(1)h x a x =-与()ln g x x =相切时，设切点为00(,ln )x x , 由1
'()g x x
=
,根据导数的几何意义得0
1a x =,又00ln (1)x a x =-
所以ln 1a a -=,
令ln y x x =-,所以1'1y x =-
1x x
-=,所以ln y x x =-在(0,1)上递减,在(1,)+∞上递增,所以1x =时ln y x x =-取得最小值1,所以1a =， 所以当1a =时, 函数()ln g x x =与()(1)h x a x =-在1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上只有一个交点. 所以当(0,1)(1,2ln 2)a ∈⋃时, 函数()ln g x x =与()(1)h x a x =-在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上有两个交点,
所以当(0,1)(1,2ln 2)a ∈⋃时，关于x 的方程()
2
ln 0x x a x x --=在()0,∞+
上有两
个实数根.
【点睛】
本题考查了由方程的实根个数求参数的取值范围,考查了等价转化思想,考查了数形结合思想,考查了导数的几何意义,属于中档题.
三、解答题
17．为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；
（3）在上述喜好体育运动的6人中随机抽取两人，求恰好抽到一男一女的概率．
参考公式：
2
2
()
,() ()()()()
n ad bc
K n a b c d
a c
b d a b
c d
-
==+++
++++
．
独立性检验临界值表：
【答案】（1）列联表见解析；（2）能，理由见解析；（3）
8 15
.
【解析】(1)利用
6
5030
10
⨯=求得喜好体育运动的人数后,根据表格中数据可得表格中
其它数据;
(2)求出观测值后,利用临界值表可得结论;
(3)用列举法得到基本事件的总数以及所求事件包含的结果数,然后用古典概型概率公式计算可得. 【详解】
（1）喜好体育运动的人数为：6
5030⨯=，列联表补充如下：
（2）∴2
2
50(2015105)8.333 6.63530202525
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．
∴能在犯错概率不超过0.01的前提下认为喜好体育运动与性别有关．
（3）6人中有男生4人，设为1A ，2A ，3A ，4A ，女生2人，设为1B ，2B ， 随机抽取两人所有的情况为：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A
B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15种．
其中一男一女包含8种情况，故概率为8
15
P =． 【点睛】
本题考查了分层抽样,考查了独立性检验,考查了古典概型的概率公式,属于基础题. 18．已知数列{}n a 是公比为3的等比数列，且2a ，36a +，4a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记31log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）1
3-=n n a ；（2）(1)31
22
n n n n T +-=+
. 【解析】(1)根据2a ，36a +，4a 成等差数列,可得()32426a a a +=+,再利用等比数列的通项公式计算出11a =,然后写出通项公式即可;
(2)分组后根据等差数列与等比数列的前n 项和公式计算,即可得到答案.
【详解】
（1）由题意可得()32426a a a +=+， 即()111296327a a a +=+，解得：11a =． ∴数列{}n a 的通项公式为13-=n n a ． （2）1
31log 3
n n n n b a a n -+=+=+．
()0121123(123)3333n n n T b b b b n -=+++⋯+=+++⋯++++++L (1)13(1)31
21322
n n n n n n +-+-=+=+
-． 【点睛】
本题考查了等差中项,考查了等比数列的通项公式,考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式,属于基础题.
19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．
（1）证明：1B C AB ⊥； （2）若1AC
AB ⊥，160CBB ︒∠=，1BC =，求1B 到平面ABC 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
7
． 【解析】(1)先根据11BC B C ⊥,1AO B C ⊥可证明1B C ⊥平面ABO ,再根据直线与平面垂直的性质可证1B C AB ⊥;
(2)先作出点O 到平面ABC 的距离: 作OD BC ^，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，则OH 就是点O 到平面ABC 的距离,然后根据已知条件计算出OH ,再根据
O 为1B C 的中点可得1B 到平面ABC 的距离.
【详解】
（1）证明：连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，
∴侧面11BB C C 为菱形，∴11BC B C ⊥， ∴AO ⊥平面11BB C C ，∴1AO B C ⊥， ∴1AO BC O ⋂=，∴1B C ⊥平面ABO ， ∴AB Ì平面ABO ，∴1B C AB ⊥．
（2）作OD BC ^，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ， ∴BC AO ⊥，BC OD ⊥，AO OD O ⋂=， ∴BC ⊥平面AOD ， ∴OH BC ⊥，
∴OH AD ⊥，BC AD D ⋂=， ∴OH ⊥平面ABC ．
∴160CBB ︒
∠=，∴1CBB V
为等边三角形，
∴1BC =，∴4
OD =
， ∴1AC
AB ⊥，∴11122
OA B C ==，
∴AD =，由OH AD OD OA ⋅=⋅，∴14
OH =， ∴O 为1B C 的中点，
∴1B 到平面ABC 的距离为7
． 【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定定理与性质定理,考查了求点到平面的距离,作出点O 到平面ABC 的距离是解题关键,属于中档题.
20．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，焦距为()2,1在该椭圆上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线2x =与椭圆交于,P Q 两点，P 点位于第一象限，,A B 是椭圆上位于直线
2x =两侧的动点．当点,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜率是否
为定值，请说明理由．
【答案】（1）22
182
x y +=；
（2）12 【解析】（1
）由题可得c =2
8a = 所以2
2b = ，则椭圆C 的方程为22
182
x y +=
（2）将2x =代入椭圆方程可得2
4182
y +=，解得1y =± ，则()()2,1,2,1P Q - ，
由题可知直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，写出直线,PA PB 的方程与椭圆方程联立整理可得()1212121241
2
AB k x x k y y k x x x x +--===--。

【详解】
（1）因为椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，
所以设椭圆方程为22
221x y a b
+=
因为焦距为
所以c
，焦点坐标)1
F
，()
2F
又因为点()2,1在该椭圆上，代入椭圆方程得 所以
22411a b += ，即2241
16
a a +=- 解得28a = 所以22
b =
则椭圆C 的方程为22
182
x y +=.
（2）将2x =代入椭圆方程可得2
4182
y +=，解得1y =±
则()()2,1,2,1P Q -
当点,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，则直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数， 不妨设0PA k k =>，则PB k k =-，()0k ≠ 所以直线PA 的方程为()12y k x -=-，
联立()22
1218
2y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得()()2222
14816161640k x k k x k k ++-+--= 因为12,x 是该方程的两根，
所以21216164214k k x k --=+，即212
882
14k k x k --=+， 同理直线PB 的方程为21y kx k =-++且222
882
14k k x k +-=+ 所以2121222
16416,1414k k
x x x x k k
-+=-=-++ 所以()1212121241
2
AB k x x k y y k x x x x +--=
==-- ，
即直线AB 的斜率为定值。

【点睛】
直线与椭圆的位置关系是近几年的高考重要考点，求椭圆的标准方程时要注意焦点的位置，本题解题的关键是先求出椭圆的标准方程，且由APQ BPQ ∠=∠可知直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，属于偏难题目。

21．已知函数2
1()ln (,0)2
f x m x x m R m =-
∈>. （1）若2m =，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （2）若()y f x =
在]e 上有零点，求m 的取值范围.
【答案】（1）2230x y --=（2）2
[,]2
e e
【解析】（1）对函数进行求导，由()11f '=得切线的斜率，再由()1
12
f =-
，利用点
斜式得到切线方程.
（2）利用导数对m 分类讨论说明()f x 的单调性及极值，结合零点存在定理分别列出不等式，可求解m 的范围. 【详解】
（1）2m =时，()112f =-
，()2
f x x x
'=-， ∴()11f '=.故所求切线方程为1
12
y x +=-，即2230x y --=.
（2）依题意(
)
)
1
m f x x x x x x
=-=
' ∴当0m e <≤时，()0f x '≤，()f x
在e ⎤⎦
上单调递减，依题意，()00
f f e ⎧≥⎪⎨
≤⎪⎩，解得2
2
e e m ≤≤ 故此时m e =.
∴当2
m e ≥时，()0f x '≥，()f x
在e ⎤⎦
上单调递增，依题意，()0
f f e ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩，即22m e
e m ≤⎧⎪⎨≥
⎪⎩
此不等式无解.（注：亦可由2m e ≥得出()0f x >，此时函数()y f x =无零点） ∴当2e m e <<
时，若x ∈
，()0f x '>，()f x 单调递增，
x e ⎤∈
⎦，()0f x '<，()f x 单调递减，
由m e >
时，02
m e
f
-=>. 故只需()0f e ≤，即2102m e -≤，又2
2
e e ≤，
故此时2
2
e e m <≤ 综上，所求的范围为2,2e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的零点、单调性、极值与最值问题，涉及零点存在定理的应用，属于中档题．
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 12sin x y α
α=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线l
的参数方程为121x t y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），且直线l 与曲线C 交于,A B 两点，以直角
坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2） 已知点P 的极坐标为3(1,)2
π，求11PA PB +的值
【答案】(1)2
4cos 2sin 10ρρθρθ--+=.
(2)
1112
PA PB +=. 【解析】分析：(1)曲线C 的参数方程消去参数α，得曲线C 的普通方程
()()
22
214x y -+-=，整理得到224210x y x y +--+=，由此，根据极坐标与平面
直角坐标之间的关系，可以求得曲线C 的极坐标方程；
(2)将直线的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用直线方程中参数的几何意义，结合韦达定理，求得结果.
详解：（1）C 的普通方程为()()22
214x y -+-=，
整理得22
4210x y x y +--+=，
所以曲线C 的极坐标方程为2
4cos 2sin 10ρρθρθ--+=.
（2）点P 的直角坐标为()0,1-，设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t ，
将直线l 的参数方程代入曲线C
的普通方程中得2
2
121142t ⎛
⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
整理得(2
240t t -++=.
所以121224t t t t ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩
10t >，20t >，
由参数t 的几何意义可知，1PA t =，2PB t =，
所以
1212111111PA PB t t t t +=+=+
1212t t t t +==
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，曲线的平面直角坐标方程向极坐标方程的转化，直线的参数方程中参数的几何意义，在解题的过程中，要认真分析，细心求解.
23．已知函数()2f x x a x =++-.
（1）若()f x 的最小值为3，求实数a 的值；
（2）若2a =时，不等式()4f x ≤的解集为A ，当m n A ∈，
时，求证：|4|2||mn m n ++….
【答案】（1）1或5-；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用绝对值不等式得到|2|3a +=，计算得到答案.
（2）去绝对值符号，解不等式()4f x ≤得到集合[]2,2A =-，利用平方作减法判断大小得证.
【详解】
（1）因为()|||2||()(2)||2|f x x a x x a x a =++-+--=+…（当且仅当
()(2)0x a x +-…时取“=”）.
所以|2|3a +=，解得1a =或5-.
（2）当2a =时，2,2()224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-<⎨⎪⎩
…….
当2x <-时，由()4f x ≤，得24x -≤，解得2x ≥-，又2x <-，所以不等式无实数解；
当22x -≤<时，()4f x ≤恒成立，所以22x -≤<；
当2x ≥时，由()4f x ≤，得24x ≤，解得2x ≤，又2x ≥，所以2x =； 所以()4f x ≤的解集为[]2,2A =-.
()()222222(4)4()81642mn m n m n mn m n mn +-+=++-++
22221644m n m n =+--
()()22224164m n m n =-+-
()()2244m n =-- .
因为[],2,2m n ∈-，所以224040m n --，≤≤，所以22(4)4()0mn m n +-+…，
即22
(4)4()mn m n ++…，所以|4|2||mn m n ++…
. 【点睛】
本题考查了绝对值不等式，绝对值不等式的证明，讨论范围去绝对值符号是解题的关键.。