波 的 能 量
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• 在这方面波动与振动的情况是完全不同的。
• 对于振动系统，质元的总机械能是恒定的，总是在动能达 到最大时势能为零，反之亦然，因而不传播能量。
• 而振动能量的辐射，实际是依靠波动把能量传播出去的。
1.2 能量密度
• 波在介质中传播时，单位体积内的能量叫波的能量密度。 • 用w来表示，则介质中 x 处在 t 时刻的能量密度是
大学物理
波的能量
1.1 波的能量 1.2 能量密度 1.3 能流密度
1.1 波的能量
波在介质中传播时，质点在平衡位置附近振动， 由于各质点有振动速度，所以他们具有振动动能， 同时，该处介质发生了形变，使得波也具有了势能。 从中可以看出，初始时刻，质点没有能量， 当波传播到该处质点时，质点发生振动，才有了能量， 而能量显然来源于波源。 因此可以说，波的传播过程伴随着能量的传播，这是波动过 程的一个重要特征。 我们以棒中传播的平面简谐纵波为例，说明波传播过程中能 量的传输特性。
w
E V
A22 sin2
t
x u
在一个周期内能量密度的平均值叫平均能量密度，表示为
w
1 T
T
wdt
0
1 T
T
0
A2 2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2 2
表明，介质中波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和、 介质密度的乘积成正比。这个公式对于横波也适用。
1.3 能流密度
能量随着波的传播在介质中流动，但是能量和能量密度没有 反映出波动传播过程中能量流动的特性，因此我们引入能 流和能流密度的概念。
1.1 波的能量
• 设有一纵波沿着固体细长棒传播，如图所示，介质密度为ρ，取一体积元为ΔV 的质元，当平面简谐波
y
A cos
t
x u
在介质中传播时，
此质元在时刻t 的
振动速度为
v
dy dt
Asin
t
x u
1.1 波的能量
• 此时，质元的振动动能
Ek
1 2
Vv2
1 2
V2 A2
sin2
P wSu 1 A22Su
2
垂直于通过单位面积的平均能流叫做能流密度，用 I 表示， 单位是W·m-2
I P wu 1 A22u
S
2
能流密度是单位时间流过垂直于波速方向的单位面积的能量。 能流密度I又称为波的强度。
1.3 能流密度
• 在现实中，波在介质中传播时，不可能没有损耗，总会有 一部分能量被介质吸收转变为热能。
所以球面简谐波的波动方程为
y
A0 r
cos
tLeabharlann r u由此可见，球面波的振幅即使在介质中不吸收能量的情况
下，也要随 r 的增加而减小。
大学物理
1 2
A222u4 r22
因此有
A1 r2 A2 r1
这表明在均匀无吸收的各项同性介质中传播的球面波的振幅 与离波源的距离成反比。
1.3 能流密度
以 A0 表示离波源的距离为单位长度处的振幅，
则在离波源任意距离 r 处的振幅为 A A0 r
由于振动的相位随r的增加而落后的关系与平面简谐波类似，
E
Ek
Ep
A22
S x sin 2
t
x u
1.1 波的能量
E
Ek
Ep
A22
S x sin 2
t
x u
• 从上式中可以看出，波在介质传播过程中，给定质元的总 机械能不是个守恒量，它总是随着时间的变化而周期性的 增大或者减小。
• 这表明，质元在参与波动过称中不断地接受来自波源的能 量，同时又不断地把能量释放出去。
• 解：有一平面波在均匀介质中沿 x 轴方向以速度 u 传播。
• 设通过垂直于相同波线上的两个面积相等的平面S1和S2的平
均能流为 P1 和 P2 ，两平面上波的振幅分别为A1和A2，若介
质不吸收能量，则有 P1 P2 ，而
P1
w1S1u
1 2
A122S1u
P2
w2 S2u
1 2
A222S2u
波动能量在介质中传播，我们可以假设能量沿着波速方向流 动。则单位时间内通过某一面积的能量叫做通过该面积的 能流，用P表示，单位W（瓦特）。
在介质中取垂直于波速u的面积S， 则在单位时间内通过S面的能量等于 体积uS 内的能量，于是有
P wSu
1.3 能流密度
• 显然，P和w一样，是随时间周期性变化的，取其时间平 均值，则
比较，有A1=A2，这表明在均匀的不吸收能量的介质中传播的
平面波的振幅保持不变。
1.3 能流密度
若有一球面波，波源在球心O。在离波源为r1和r2处取两个球 面S1和S2，两球面上波的振幅分别为A1和A2，若介质不吸收能
量，则通过两球面的能流应相等，即 P1 P2 ，则
1 2
A122u4 r12
t
x u
质元发生的相对形变为
y x
A sin
u
t
x u
根据杨氏弹性模量的定义和胡克定律，该质元由于形变产
生的弹性力的大小为
F YS y ky x
1.1 波的能量
细棒的劲度系数为 k YS x
因 V Sx u Y Y u2
该质元的弹性势能则可表示为
Ep
1 2
k (y)2
1 2
Y
S x ( y )2
x
1 2
u2 (Sx)
A
u
sin( t
x u
)2
1 2
A2 2
Sx
sin2
t
x u
1.1 波的能量
• 比较式
Ek
1 2
Vv2
1 2
V2 A2
sin2
t
x u
Ep
1 2
A2 2
Sx
sin2
t
x u
质元的弹性势能的表示式与振动动能的表示式完全相同，都是 时间的周期函数，并且大小相等，相位相同。 将上述两式相加，可得该处质元的总机械能为
• 因此，波的强度和振幅都会随着传播距离的增大而逐渐减 小，这种现象称为波的吸收。
• 实验表明，在有吸收的情况下，波的强度随距离按指数规 律衰减，即
I I0e2 x
• 式中 I0 和 I 分别表示为 x=0 和 x 处波的强度， α为介质
的吸收系数。
1.3 能流密度
• 例 10-6 试证明：如果没有能量损失，在均匀介质中传播的 平面波的振幅保持不变，球面波的振幅与离波源的距离成反 比，并求球面简谐波的波函数。
• 对于振动系统，质元的总机械能是恒定的，总是在动能达 到最大时势能为零，反之亦然，因而不传播能量。
• 而振动能量的辐射，实际是依靠波动把能量传播出去的。
1.2 能量密度
• 波在介质中传播时，单位体积内的能量叫波的能量密度。 • 用w来表示，则介质中 x 处在 t 时刻的能量密度是
大学物理
波的能量
1.1 波的能量 1.2 能量密度 1.3 能流密度
1.1 波的能量
波在介质中传播时，质点在平衡位置附近振动， 由于各质点有振动速度，所以他们具有振动动能， 同时，该处介质发生了形变，使得波也具有了势能。 从中可以看出，初始时刻，质点没有能量， 当波传播到该处质点时，质点发生振动，才有了能量， 而能量显然来源于波源。 因此可以说，波的传播过程伴随着能量的传播，这是波动过 程的一个重要特征。 我们以棒中传播的平面简谐纵波为例，说明波传播过程中能 量的传输特性。
w
E V
A22 sin2
t
x u
在一个周期内能量密度的平均值叫平均能量密度，表示为
w
1 T
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A2 2
sin2
t
x u
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表明，介质中波的平均能量密度与振幅的平方、频率的平方和、 介质密度的乘积成正比。这个公式对于横波也适用。
1.3 能流密度
能量随着波的传播在介质中流动，但是能量和能量密度没有 反映出波动传播过程中能量流动的特性，因此我们引入能 流和能流密度的概念。
1.1 波的能量
• 设有一纵波沿着固体细长棒传播，如图所示，介质密度为ρ，取一体积元为ΔV 的质元，当平面简谐波
y
A cos
t
x u
在介质中传播时，
此质元在时刻t 的
振动速度为
v
dy dt
Asin
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1.1 波的能量
• 此时，质元的振动动能
Ek
1 2
Vv2
1 2
V2 A2
sin2
P wSu 1 A22Su
2
垂直于通过单位面积的平均能流叫做能流密度，用 I 表示， 单位是W·m-2
I P wu 1 A22u
S
2
能流密度是单位时间流过垂直于波速方向的单位面积的能量。 能流密度I又称为波的强度。
1.3 能流密度
• 在现实中，波在介质中传播时，不可能没有损耗，总会有 一部分能量被介质吸收转变为热能。
所以球面简谐波的波动方程为
y
A0 r
cos
tLeabharlann r u由此可见，球面波的振幅即使在介质中不吸收能量的情况
下，也要随 r 的增加而减小。
大学物理
1 2
A222u4 r22
因此有
A1 r2 A2 r1
这表明在均匀无吸收的各项同性介质中传播的球面波的振幅 与离波源的距离成反比。
1.3 能流密度
以 A0 表示离波源的距离为单位长度处的振幅，
则在离波源任意距离 r 处的振幅为 A A0 r
由于振动的相位随r的增加而落后的关系与平面简谐波类似，
E
Ek
Ep
A22
S x sin 2
t
x u
1.1 波的能量
E
Ek
Ep
A22
S x sin 2
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• 从上式中可以看出，波在介质传播过程中，给定质元的总 机械能不是个守恒量，它总是随着时间的变化而周期性的 增大或者减小。
• 这表明，质元在参与波动过称中不断地接受来自波源的能 量，同时又不断地把能量释放出去。
• 解：有一平面波在均匀介质中沿 x 轴方向以速度 u 传播。
• 设通过垂直于相同波线上的两个面积相等的平面S1和S2的平
均能流为 P1 和 P2 ，两平面上波的振幅分别为A1和A2，若介
质不吸收能量，则有 P1 P2 ，而
P1
w1S1u
1 2
A122S1u
P2
w2 S2u
1 2
A222S2u
波动能量在介质中传播，我们可以假设能量沿着波速方向流 动。则单位时间内通过某一面积的能量叫做通过该面积的 能流，用P表示，单位W（瓦特）。
在介质中取垂直于波速u的面积S， 则在单位时间内通过S面的能量等于 体积uS 内的能量，于是有
P wSu
1.3 能流密度
• 显然，P和w一样，是随时间周期性变化的，取其时间平 均值，则
比较，有A1=A2，这表明在均匀的不吸收能量的介质中传播的
平面波的振幅保持不变。
1.3 能流密度
若有一球面波，波源在球心O。在离波源为r1和r2处取两个球 面S1和S2，两球面上波的振幅分别为A1和A2，若介质不吸收能
量，则通过两球面的能流应相等，即 P1 P2 ，则
1 2
A122u4 r12
t
x u
质元发生的相对形变为
y x
A sin
u
t
x u
根据杨氏弹性模量的定义和胡克定律，该质元由于形变产
生的弹性力的大小为
F YS y ky x
1.1 波的能量
细棒的劲度系数为 k YS x
因 V Sx u Y Y u2
该质元的弹性势能则可表示为
Ep
1 2
k (y)2
1 2
Y
S x ( y )2
x
1 2
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A
u
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x u
)2
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A2 2
Sx
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1.1 波的能量
• 比较式
Ek
1 2
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1 2
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1 2
A2 2
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sin2
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质元的弹性势能的表示式与振动动能的表示式完全相同，都是 时间的周期函数，并且大小相等，相位相同。 将上述两式相加，可得该处质元的总机械能为
• 因此，波的强度和振幅都会随着传播距离的增大而逐渐减 小，这种现象称为波的吸收。
• 实验表明，在有吸收的情况下，波的强度随距离按指数规 律衰减，即
I I0e2 x
• 式中 I0 和 I 分别表示为 x=0 和 x 处波的强度， α为介质
的吸收系数。
1.3 能流密度
• 例 10-6 试证明：如果没有能量损失，在均匀介质中传播的 平面波的振幅保持不变，球面波的振幅与离波源的距离成反 比，并求球面简谐波的波函数。