2019年高考数学试题分类(数列极限)word资料12页

4.(广东)123
212lim 123
11
n n n
n n n n n →∞
--+-+
-+++++（
）
的值为 ( A) A. –1 B.0 C.
1
2
D.1 17. (广东) (12分)已知αβγ，，成公比为2的等比数列([]02απαβγ∈，），且s i n ，s i n ，s i n 也成等比数列. 求αβγ，，的值. 14．（辽宁）π
ππ
--→x x x x cos )(lim
= . π2-
8. （天津）已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上”是“}{n a 为等差数列”的B
A. 必要而不充分条件
B. 充分而不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 21. （天津）（本小题满分12分） 已知定义在R 上的函数)(x f 和数列}{n a 满足下列条件： 1211),...,4,3,2)((,a a n a f a a a n n ≠===-，
)...,4,3,2)(()()(11=-=---n a a k a f a f n n n n ，其中a 为常数，k 为非零常数。

（1）令n n n a a b -=+1*)(N n ∈，证明数列}{n b 是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式； （3）当1||<k 时，求n n a ∞
→lim 。

21. 本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分12分。

（1）证明：由0121≠-=a a b ，可得
0)()()(1212232≠-=-=-=a a k a f a f a a b 。

由数学归纳法可证01≠-=+n n n a a b *)(N n ∈。

由题设条件，当2≥n 时
111-+---=n n n n n n a a a a b b 11)()(----=n n n n a a a f a f k a a a a k n n n n =--=--1
1)
( 因此，数列}{n b 是一个公比为k 的等比数列。

（2）解：由（1）知，*))((121
11n n a a k b k b n n n ∈-==--
当1≠k 时，)2(11)( (1)
121
21≥---=+++--n k
k a a b b b n n
当1=k 时，))(1(...12121a a n b b b n --=+++- )2(≥n 。

而112312121)(...)()(...a a a a a a a a b b b n n n n -=-++-+-=+++-- )2(≥n 所以，当1≠k 时
k
k a a a a n n ---=--11)(1
121 )2(≥n 。

上式对1=n 也成立。

所以，数列}{n a 的通项公式为
*)(11)
)((1
N n k
k a a f a a n n ∈---+=-
当1=k 时
))(1(121a a n a a n --=- )2(≥n 。

上式对1=n 也成立，所以，数列}{n a 的通项公式为
))()(1(a a f n a a n --+= *)(N n ∈，
（2）解：当1||<k 时
]11))(([lim lim 1
k
k a a f a a n n n n ---+=-∞→∞→ k
a
a f a --+
=1)(
(3) （浙江）已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =
(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10 （22）（浙江）（本题满分14分）
如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 为线段BC 的中点,P 为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ),.2
1
21++++=
n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,4
14*+∈-
=N n y y n
n (Ⅲ)若记,,444*
+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列.
（22）（满分14分）
解：(Ⅰ)因为4
3
,21,153421==
===y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知2
1
3+-+=n n n y y y ∴32112
1
++++++=n n n n y y y a =
2
21
121++++++n n n n y y y y =
,2
1
21n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列。

∴.,21*
∈==N n a a n
(Ⅱ)将等式
22
1
21=++++n n n y y y 两边除以2，得 ,12
41
21=++++n n n y y y 又∵22
14++++=
n n n y y y ∴.4
14n
n y y -
=+
（Ⅲ）∵)4
1()41(44444341n n n n n y
y y y b ---=-=+++- =)(41
444n n y y --
+ =,41
n b -
又∵,041
431≠-=-=y y b
∴{}n b 是公比为4
1
-的等比数列。

（14）（北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n 项和的计算公式为________________ 3 当n 为偶数时，；当n 为奇数时， （18）（北京）（本小题满分14分）
函数是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。

（I ）求及，的值，并归纳出的表达式 （II ）设直线，，x 轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2……），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值
（18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。

满分14分。

解：（I ）由，得 由及，得 同理， 归纳得 （II ）当时
所以是首项为，公比为的等比数列 所以
的定义域为1，当时取得最小值
9．（福建）若(1-2x )9展开式的第3项为288，则)1
11(lim 2n n x x x +++∞→ 的值是 （ ）
A ．2
B ．1
C ．21
D ．5
2
20．（福建）（本小题满分12分）
某企业2019年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+
n
21
)万元（n 为正整数）. （Ⅰ）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识
解决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）依题设，A n =(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n －10n 2；
B n =500[(1+
21)+(1+221)+…+(1+n 21)]－600=500n －n 2
500
－100. （Ⅱ）B n －A n =(500n －n 2
500
－100) －(490n －10n 2)
=10n 2+10n －n 2500－100=10[n(n+1) － n 2
50
－10].
因为函数y=x (x +1) － n 2
50
－10在（0，+∞）上为增函数，
当1≤n ≤3时，n(n+1) －
n
250－10≤12－850－10<0；
当n ≥4时，n(n+1) － n 2
50－10≥20－1650
－10>0.
∴仅当n ≥4时，B n >A n .
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
8．（湖北）已知数列{n a }的前n 项和),
,2,1]()2
1
)(1(2[])
2
1
(2[11
=+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得
（ C ）
A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列
B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列
C ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列
D ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列
22．（湖北）（本小题满分14分）
已知.,2,1,1
,}{,011 =+
==>+n a a a a a a a n
n n 满足数列 （I ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞
→=lim （将A 用a 表示）；
（II ）设;)
(:,,2,1,1A b A b b n A a b n n
n n n +-==-=+证明
（III ）若 ,2,12
1
||=≤
n b n n 对都成立，求a 的取值范围. 22．本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题
和解决问题的能力，满分14分.
解：（I ）由两边取极限得对且存在n
n n n n n a a a A a A a 1
),0(lim ,lim 1+
=>=+∞
→∞
→
.2
4
,0.24,122++=∴>+±=+=a a A A a a A A a A 又解得
（II ）.1
1,11A
b a A b a a a A b a n n n n n n ++=++
=+=++得由
都成立
对即 ,2,1)
(.)
(1
1111=+-
=+-=++-=++
-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n n
n n n n n n
（III ）.2
1|)4(21|,21||21≤++-≤
a a a
b 得令
.
,2,12
1
||,23.2
3,14.2
1
|)4(21|
22都成立对时现证明当解得 =≤≥≥≤-+∴≤-+∴n b a a a a a a n n
（i ）当n=1时结论成立（已验证）.
（ii ）假设当那么即时结论成立,2
1
||,)1(k k b k k n ≤
≥=
k k k k k A b A A b A b b 2
1
||1|)(|||||1⨯+≤+=
+
故只须证明
.2
3
2||,21|
|1成立对即证≥≥+≤
+a A b A A b A k k
.
2
1
2121||,23.
2||,12
1
2||||.
2,14,23
,
422
4
1122
2++=⨯≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=
++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a a
a a a A 时故当即时而当由于
即n=k+1时结论成立.
根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立.
故).,23[,2,121||+∞=≤
的取值范围为都成立的对a n b n
n
8．（湖南）数列{}=+++∈=+=→++)(lim *,,5
6
,51,21111n n x n n n n a a a N n a a a a 则中 （ C ）
A ．
5
2
B ．
7
2 C ．
4
1 D ．
25
4 11．（湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。

2019年某地区农民人均收入为
3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元), 预计该地区自2019年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。

根据以上数据，2019年该地区农民人均收入介于 （ C ）
A ．4200元~4400元
B ．4400元~4600元
C ．4600元~4800元
D ．4800元~5000元
22．（湖南）（本小题满分14分）
如图，直线2
1
21:)21
,0(1:21+=
±≠≠-+=x y l k k k kx y l 与相交于点P.直线l 1与x 轴交于点P 1，过点P 1作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 1，过点Q 1作y 轴的垂线交直线l 1于点
P 2，过点P 2作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P 1、Q 1、P 2、Q 2，…，点P n （n=1，2，…）的横坐标构成数列{}.n x
（Ⅰ）证明*),1(21
11N n x k
x n n ∈-=
-+； （Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式；
（Ⅲ）比较5||4||22
122+PP k PP n 与的大小.
22．（Ⅰ）证明：设点P n 的坐标是),(n n y x ，由已知条件得
点Q n 、P n+1的坐标分别是：
).2
1
21,(),2121,(1+++n n n n x x x x
由P n+1在直线l 1上，得 .12
1
211k kx x n n -+=++
所以 ),1()1(211-=-+n n x k x 即 .*),1(2111N n x k x n n ∈-=-+
（Ⅱ）解：由题设知 ,011,1111≠-=--=k x k x 又由（Ⅰ）知 )1(21
11-=-+n n x k
x ，
所以数列 }1{-n x 是首项为,11-x 公比为k
21
的等比数列.
从而 .*,)21(21,)21(111N n k
x k k x n
n n n ∈⨯-=⨯-=--即
（Ⅲ）解：由⎪⎩
⎪
⎨⎧+=-+=,2121,1x y k kx y 得点P 的坐标为（1，1）.
所以 ,)21
(2)21(
8)11(2)1(2||22222
2
2
-+⨯=--++-=n n n n n k
k k kx x PP .945])10()11
1[(
45||42222
2
12
+=+-+--=+k k
k PP k （i ）当2121,21||>-<>k k k 或即时，5||42
12+PP k >1+9=10.
而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|
02
1222+<=+⨯<<<PP k PP PP k n n 故所以 （ii ）当)2
1,0()0,21(,21||0⋃-∈<<k k 即时，5||42
12+PP k <1+9=10.
而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|2
1222+>=+⨯>>PP k PP PP k
n n 故所以
15.（江苏）设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2
)
13(1-n a (对于所有n ≥1)，且a 4=54，则a 1的
数值是_______________________.2
20. （江苏）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .
(Ⅰ)若首项=1a 3
2 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；
(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2
k k S S =成立.
20、解：（1）4k =
（2）100a d =⎧⎨
=⎩或112a d =⎧⎨=⎩或11
a d =⎧⎨=⎩
4、（上海）设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=－
21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=3
8
,则a 1= .2 12、（上海）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无
穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是 第 ①、④组.(写出所有符合要求的组号)
①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和. 22、（上海）(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分
设P 1(x 1,y 1), P 1(x 2,y 2),…, P n (x n ,y n )(n≥3,n ∈N) 是二次曲线C 上的点, 且a 1=1OP 2, a 2=2OP 2, …, a n =n
OP 2
构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O 是坐标原点. 记
S n =a 1+a 2+…+a n .
(1) 若C 的方程为25
1002
2y x +=1,n=3. 点P 1(3,0) 及S 3=255, 求点P 3的坐标； (只需写出一个)
(2)若C 的方程为122
22=+b
y a x (a>b>0). 点P 1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d 变化时,
求S n 的最小值；
. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P 1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件,并说明理由.
22、【解】(1) a 1=1OP 2
=100,由S 3=
2
3(a 1+a 3)=255,得a 3=3OP 3
=70.
由22
2211002570x y x y ⎧+=⎪
⎨⎪+=⎩
,得226010x y ⎧=⎨=⎩ ∴点P 3的坐标可以为(215,
10).
(2) 【解法一】原点O 到二次曲线C:122
22=+b
y a x (a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距
离为a.
∵a 1=1OP 2=a 2, ∴d<0,且a n =n OP
2=a 2+(n －1)d≥b 2
, ∴122--n a b ≤d<0. ∵n≥3,2)1(-n n >0
∴S n =na 2
+2
)
1(-n n d 在[122--n a b ,0)上递增,
故S n 的最小值为na 2
+2
)1(-n n ·122--n a b =2)
(22b a n +.
【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),
由 ()2
22222
211k k k k x y a k d x y a b ⎧+=+-⎪⎨+=⎪⎩
,解得y 2
k =2
22
)1(b a d k b ---
∵0< y 2
k
≤b 2
,得1
2
2--k a b ≤d<0
∴1
2
2--n a b ≤d<0
以下与解法一相同.
(3) 【解法一】若双曲线C:22a x －22
b
y =1,点P 1(a,0),
则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是d>0.
∵原点O 到双曲线C 上各点的距离h ∈[a ,+∞),且1OP =a 2
, ∴点P 1, P 2,…P n 存在当且仅当n OP 2>1OP 2,即d>0.
【解法二】若抛物线C:y 2=2x,点P 1(0,0),
则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是d>0.理由同上 【解法三】若圆C:(x －a)+y 2=a 2(a≠0), P 1(0,0),
则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是0<d≤1
42
-n a .
∵原点O 到圆C 上各点的最小距离为0,最大距离为2a ,
且1OP =0, ∴d>0且n OP 2
=(n －1)d≤4a 2
.即0<d≤1
42
-n a . 9．（重庆） 若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，
则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（ B ）
A 4005
B 4006
C 4007
D 4008 15．（重庆）如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为
1
2
的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..P n …,记纸板P n 的面积为n S ，则
lim ______n x S →∞=3π
22．
14
分）
设数列{}n a 满足111
2,,(1,2,3.......)n n n
a a a n a +==+
= (1) 证明n a n 成立； (2) 令1,2,3......)n b n =
=,判断1n n b b +与的大小，并说明理由。

22．（本小题14分）
（I ）证法一：当,1122,11+⨯>
==a n 时不等式成立.
.
1)1(2,1.1)1(213221,
1.
12,12
22
21时成立时时当成立时假设++>+=∴++>++>++=+=+>=++k a k n k a k a a a k n k a k n k k k k k k
综上由数学归纳法可知，12+>
n a n 对一切正整数成立.
证法二：当n=1时，112321+⨯=>=a .结论成立.
假设n=k 时结论成立，即 .12+>
k a k
当)1(1
)(,1>+
=+=x x
x x f k n 由函数时的单增性和归纳假设有
.
0121
32)12112(.32121
12:.1
2112121显然成立而这等价于因此只需证≥+⇔+≥++++≥++++++>+
=+k k k k k k k k k a a a k k k
所以当n=k+1时，结论成立. 因此，12+>
n a n 对一切正整数n 均成立.
证法三：由递推公式得 ,1
22
1
2
12
--+
+=n n n a a a
21
212
22
2
2
2211
2,1
2a a a a a a n n n +
+=+
+=---
上述各式相加并化简得 )1(2211)1(2221
212
12-+>+++
-+=-n a a n a a n n
).
,2,1(12,12,1).
2(1222 =+>+>=≥+>+=n n a n a n n n n n n 故明显成立时又 （II ）解法一：
1)1211(1)11(1
211+++<++=+=++n n
n n n a n a n a b b n n n n n .
.12
141
)21(1
2)1(21)12()1(212n n b b n n n n n n n n n <<+
-
+=
++=+++=+故
解法二：n
a a a n n
a n a
b b n n n n n n n -+
+=
-
+=
-++)1
(1
11
11
.
.
0)
1()1(1)]
1()1([)1()1(1
)]12()1([)1)(1(1
))()](12)(1([)1(1]
)1([)1(112
n n n
n
n
n
n n
b b n n a n n n n n n a n n n n n n n n a n n n n n n n n a n n a n n n a n n <<+-++=+-++++=+-+++++=
+-+-+≤-+-+=+所以的结论由
解法三：n a n a b b
n n n
n 221
22
1
1-+=-++
0)1121(11)121212(11)
12(11)21(1122222
<-++=+-+++<-++=-+++=n
n n n n n n n a a n n a a a n n n
n n
n
故n n n n b b b b <<++12
21,因此.
I。