数学必修四第三章试卷(含答案).
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必修四第三章
姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题 1.若
sin cos 1
sin cos 2αααα+=-,则tan 2α等于( )
A .34
-
B .
34
C .43
-
D .
43
2.计算212sin 22.5-︒的结果等于( )
A .
12
B .
2
C D 3.已知1
(0,),sin cos ,cos 22
απααα∈+=且则的值为( ) )
A .±
B C D .-
34
4.
13
cos80-
的值为( ) A .2
B .4
C .6
D .8
5.若3sin 5α=
,,22ππα⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
,则5cos 4πα⎛⎫
+
= ⎪⎝⎭
( )
A .10
-
B .
10
C .10
-
D .
10
6.若tan θ+
1
tan θ
=4,则sin2θ= A .
15 B .
14
C .
13
D .
12
—
A .2π
B .
C .π
D .
4
π 8.已知函数22
()3cos sin 3f x x x =-+,则函数( ) A .()f x 的最小正周期为π,最大值为5
B .()f x 的最小正周期为π,最大值为6
C .()f x 的最小正周期为2π,最大值为5
D .()f x 的最小正周期为2π,最大值为6
9.若1 s in 3α=
,则2 c os +24απ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
( ) A .
23
B .
12
C .
13
D .0
}
10.已知,则( )
A .
B .
C .
D .
11.若α,β均是锐角,且αβ<,已知()3cos 5
αβ+=,()12
sin ,13αβ-=-,则
sin 2α=( )
A .16
65
-
B .
5665
C .
5665或
16
65
D .
5665
或1665-
12.若sinθcosθ=1
2,则tanθ+cosθ
sinθ的值是( )
1
二、填空题 13.已知1sin 23α=,则2
cos ()4
πα-= _ . @
14.已知tan 3α=,则2sin sin 2αα-=______.
15.如果tanα+tanβ=2, tan(α+β)=4,那么tanαtanβ等于_______.
16.已知1tan 2
α=,()2
tan 5αβ-=-,则()tan 2βα-=____________.
三、解答题
17.已知函数23()cos()cos()2f x x x x ππ=+-+
. (I )求()f x 的最小正周期和最大值; (II )求()f x 在2
[
,]63
ππ上的单调递增区间. [
18.已知3sin cos 0x x +=,求下列各式的值, (1)
3cos 5sin sin cos x x
x x
+-;(2)22sin 2sin cos 3cos x x x x +-.
\
19.已知,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
,且1sin 3α=.
.1)求sin 2α的值;(2)若()3
sin 5
αβ+=-.0,
2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,求sin β的值.
]
20.已知函数()sin cos cos sin 22x x x x f x ππ⎛⎫
⎛
⎫=-
-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭,x ∈R . (1)求12f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值; (2)求函数()f x 的单调递增区间.
~
21.已知函数2(cos cos f x x x x +. "
(Ⅰ)求()f x 的最小正周期.
(Ⅰ)求()f x 在区间ππ,63⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值.
—
22.设函数f(x)=2cosx(cosx+√3sinx)(x∈R). (1)求函数y=f(x)的周期和单调递增区间;#
]时,求函数f(x)的最大值.(2)当x∈[0,π
2
参考答案
1.B 【解析】
试题分析:
sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---,2
2tan 63
tan 21tan 84
ααα-===--. 考点:三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系. 2.B 【解析】 【分析】
由余弦的二倍角公式可得结果. 【详解】
由余弦的二倍角公式得 212sin 22.5cos 452
-︒=︒=
故选:B 【点睛】
本题考查余弦二倍角公式的应用,属于简单题. 3.C 【解析】 【详解】
试题分析:
1
sin cos 2
αα+=
,(0,)απ∈,
3,
24ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭
32,
2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝
⎭
,sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭,
cos 44πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝
⎭
cos 2sin 22sin cos 224444πππαααα⎛⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+=++=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
考点:二倍角公式的运用,同角三角函数间的关系. 4.B 【解析】 【分析】
利用诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式进行化简,求得表达式的值. 【详解】
13cos80-13sin10=-cos103sin10
-=()
2sin 3010sin10cos10
-=
2sin 20
41
sin 202
=
=. 故选:B 【点睛】
本小题主要考查三角恒等变换,主要是诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式的应用,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.
5.A 【解析】 【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α的值,进而根据两角和的余弦函数公式,特殊角的三角函数值即可计算得解. 【详解】
解:
3sin 5α=
, ,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
,
4
cos 5
α∴==
,
)5cos cos sin 4210πααα⎛
⎫
∴+
=--=- ⎪
⎝
⎭
. 故选:A . 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式,两角和的余弦函数公式,特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题. 6.D 【解析】
本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.
因为221sin cos sin cos 1
tan 4
1tan cos sin sin cos sin 22
θθθθθθθθθθθ++=+===,所以.1sin 22
θ=. 【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式sin tan cos θ
θθ
=
转化;另外,22sin cos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的
齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等 7.A 【解析】 【分析】
把三角函数式整理变形,变为()()sin f x A x =+ωϕ的形式,再用周期公式求出最小正周期. 【详解】
()sin cos f x x x =+
sin 22x x ⎫=+⎪⎪⎭
4x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭,
2T π∴=.
故选:A. 【点睛】
本小题主要考查辅助角公式,考查三角函数最小正周期的求法,属于基础题. 8.B 【解析】 【分析】
利用降次公式化简()f x ,由此求出函数的最小正周期和最大值. 【详解】 依题意()1cos 21cos 2332cos 2422x x f x x +-=⨯
-+=+,故最小正周期为2π
π2
T ==,最大值为246+=,所以本小题选B. 【点睛】
本小题主要考查降次公式,考查三角函数的最小正周期,考查三角函数的最大值的求法,属于基础题. 9.C 【解析】 【分析】
直接利用降幂公式和诱导公式化简求值. 【详解】
2
cos +24απ⎛⎫= ⎪⎝⎭
21cos()1sin 1322223
π
αα++-===.
故答案为:C. 【点睛】
(1)本题主要考查降幂公式和诱导公式,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)降幂公式:2
21cos 1cos sin ,cos 2
222
α
ααα-+=
=,这两个公式要记准,不要记错了. 10.C 【解析】
分析:利用余弦的差角公式将cos 6x π⎛
⎫-
= ⎪
⎝⎭展开,1sin 2x x += ,将cos cos 3x x π⎛
⎫
+-
⎪⎝
⎭
展开合并化简,即可求出值.
详解:∵cos 63
x π⎛⎫-
= ⎪
⎝⎭
1sin 2x x +=
∵3cos cos cos 32x x x x π⎛
⎫
+-
= ⎪⎝
⎭
1
cos sin 22x x ⎫=+⎪⎪⎭
13⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
所以选C
点睛:本题考查了余弦差角公式的应用,主要注意符号的变化,属于简单题. 11.A 【解析】 【分析】
根据α,β的范围,得到αβ+和αβ-的范围,结合条件,得到()sin αβ+和()cos αβ-,
由()()sin2sin ααβαβ⎡⎤=++-⎣⎦,根据两角和的正弦公式,得到答案. 【详解】
α,β均是锐角,且αβ<
()0,αβπ∴+∈,,02παβ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
()3cos 5αβ+=
, ()4sin 5αβ∴+==,
()12sin 13αβ-=-
,()5cos 13
αβ∴-==, ∴()()sin2sin ααβαβ⎡⎤=++-⎣⎦
()()()()sin cos cos sin αβαβαβαβ=+-++-
45312513513⎛⎫
=⨯+⨯- ⎪⎝⎭
1665
=-
故选:A. 【点睛】
本题考查同角三角函数关系,两角和的正弦公式,属于简单题. 12.B 【解析】
依题意有:tanθ+cosθ
sinθ=1
sinθcosθ=2.
点睛:本题主要考查:同角三角函数的基本关系,是个简单题,主要要熟记两个同角三角函数的基本关系,即:tanθ=
sinθcosθ
和sin 2θ+cos 2θ=1.在运算过程中,主要采用的是切化弦
的方法,即遇到正切,一般情况下是化为正弦和余弦来化简,化简过程中要注意通分和合并同类项,有时候还要结合二倍角公式来考虑. 13.
23
【解析】
试题分析:21cos 21cos 21sin 2222cos 42223ππααπαα⎛⎫⎛⎫
+-+- ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭-==
== ⎪⎝
⎭.
考点:1余弦的二倍角公式;2诱导公式. 14.
3
10
【解析】 【分析】
利用二倍角公式将sin 2α化简,再把分母看做22sin cos αα+,分子分母同时除以2cos α,即可求得. 【详解】
tan 3α=,
22sin sin 2sin 2cos sin ααααα-=-
222
sin 2cos sin cos sin ααα
αα-=+ 22
tan 2tan tan 1αα
α-=+ 96
91
-=
+ 310
=
. 故答案为:310
. 【点睛】
本题主要考查的是二倍角正弦公式的应用,以及同角三角函数基本关系式的应用,熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键,是基础题.
15.
【解析】 【分析】 由tan(α+β)=
tanα+tanβ1−tanαtanβ
可得tanαtanβ=1−
tanα+tanβtan(α+β)
,从而可得结果.
【详解】 因为tan(α+β)=
tanα+tanβ
1−tanαtanβ
,tanα+tanβ=2, tan(α+β)=4,
所以tanαtanβ=1−
tanα+tanβtan(α+β)
=1−24
=12
,故答案为12
.
【点睛】
三角函数求值有三类,(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.
16.1
12
-
【解析】
()25tan αβ-=-,()2
5
tan βα∴-=
()()()()211522tan 21112152
tan tan tan tan tan βααβαβααβαα---⎡⎤-=--===-⎣⎦+-⨯+⨯ 17.(I )()f x 的最小正周期为π,最大值为1;(II )5
[,]612
ππ.
【解析】
试题分析:(I )利用三角恒等变换的公式,化简()sin(2)3
f x x π
=-,即可求解()f x 的最小正周期和最大值;(II )由()f x 递增时,求得5
12
12
k x k π
πππ-≤≤+
()k Z ∈,即可得到()f x 在5
[
,
]612ππ上递增.
试题解析:1cos 2()-cos )(sin )2x f x x x +=⋅-+
(
1sin 22sin(2)23
x x x π
=
=- (I )()f x 的最小正周期为π,最大值为1; (II ) 当()f x 递增时,222? ()2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈,
即5
12
12
k x k π
πππ-
≤≤+
()k Z ∈, 所以,()f x 在5
[
,]612
ππ上递增 即()f x 在2
[
,]63ππ上的单调递增区间是5
[,]612
ππ 考点:三角函数的图象与性质. 18.(1)-1;(2)16
5
- 【解析】 【分析】
(1)由题意可得1tan 3
x =-,将原式化为含tan x 的表达式,代入可得答案;
(2)将原式化为含tan x 的表达式,代入1tan 3
x =-可得答案. 【详解】
解:由题意得:3sin cos 0x x +=,可得1tan 3
x =-,
可得(1)
5
33cos 5sin 35tan 311sin cos tan 11
3
x x x x x x -
++===-----; (2)222
2
22sin 2sin cos 3cos sin 2sin cos 3cos sin cos x x x x
x x x x x x
+-+-=+
22
2211()2()3
tan 2tan 316331tan 15()13
x x x -+⨯--+-===-+-+
【点睛】
本题主要考查三角恒等变化,相对简单,得出1tan 3
x =-代入各式子是解题的关键.
19.
(1) .
. 【解析】 【详解】
分析:(1)根据正弦的二倍角公式求解即可;(2)由()βαβα=+-,然后两边取正弦计算即可.
详解:
(Ⅰ)
2
(,)π
απ∈
,且1sin 3α=,cos α∴=,-------2分
于是 sin22sin cos 9
ααα==-
; (Ⅱ),2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
,02πβ∈(,),322(,)παβπ∴+∈,结合()3sin 5αβ+=-得:
()4
cos 5
αβ+=-, 于是
()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦
3414535315
⎛+⎛⎫=-⋅---⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 点睛:考查二倍角公式,同角三角函数关系,三角凑角计算,对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键,属于中档题.
20.(1)122f π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
(2)(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】
先根据诱导公式及降幂公式化简得()f x cos2x =-;
(1)代入求值即可;
(2)由222,k x k k Z πππ≤≤+∈即可解出答案. 【详解】
解:()sin cos cos sin 22x x x x f x ππ⎛⎫
⎛⎫=-
-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭22sin cos x x =-cos2x =-;
(1)cos 1262f ππ⎛⎫
=-=-
⎪
⎝⎭
; (2)由222,k x k k Z πππ≤≤+∈得,,2
k x k k Z π
ππ≤≤+
∈,
∴函数()f x 的单调递增区间是(),2k k k Z πππ⎡
⎤
+
∈⎢⎥⎣
⎦
. 【点睛】
本题主要考查三角函数的化简与性质,属于基础题. 21.(Ⅰ)π(Ⅰ)最大值和最小值分别是3
2
,0. 【解析】
试题分析:(1)将()2
cos cos f x x x x =+通过降幂公式、辅助角公式化简为
()π1sin 262f x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭,得到周期;(2)通过整体思想,得到ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦
,求
得π1sin 2,162x ⎛
⎫⎡⎤+
∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦,所以最大值和最小值分别是32
,0. 试题解析:
解:(Ⅰ)()2
cos cos f x x x x +
1cos22
x
x +=
+
π1sin 262x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭.
(Ⅰ)Ⅰππ,63x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
, Ⅰππ5π2,666x ⎡⎤+
∈-⎢⎥⎣⎦
, Ⅰπ1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+
∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
, Ⅰ()30,2f x ⎧⎫
∈⎨⎬⎩⎭
,
Ⅰ()f x 在区间ππ,63⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值分别是32,0.
点睛:三角函数的化简需要对三角函数的二倍角公式(降幂公式)、辅助角公式熟悉应用,三角函数的性质考察通常利用整体思想解题,然后通过()sin f x x =的原始性质进行解题,得到对应的解。
22.(1)(kπ−π
3,kπ+π
6) (k ∈Z);(2)3. 【解析】
试题分析:(1)本问考查三角恒等变换公式,f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx ,根据二倍角公式整理可得f(x)=(2cos 2x −1)+√3sin2x =√3sin2x +cos2x =1
2sin(2x +π
6),然后根据正弦型函数图像及性质周期为T =
2π2
=π ,−π2
+2kπ≤2x +π6
≤π
2
+2kπ(k ∈Z) 即可求得
递增区间;(2)本问考查求三角函数值域问题,可以根据整体法,由x ∈[0,π2
] ,求出2x +π6
的取值范围,然后根据正弦函数图像,可以求出函数f(x)的值域,于是得到最大值.
试题解析:(1)因为f(x)=2cosx(cosx +√3sinx)= 2sin(2x +π
6)+1.
∵2kπ−π
2≤2x +π
6≤ 2kπ+π
2,∴kπ−π
3≤x ≤kπ+π
6,
∴函数y=f(x)的单调递增区间为:(kπ−π
3,kπ+π
6
)(k∈Z);
(2)∵x∈[0,π
2],∴2x+π
6
∈[π
6
,7π
6
],
∴sin(2x+π
6)∈[−1
2
,1],
∴f(x)=2sin(2x+π
6
)+1的最大值是3.
考点:1.三角恒等变换公式;2.正弦型函数图像及性质.~。