高中数学(苏教版)必修一课时达标训练(二十二) 函数模型及其应用

课时达标训练(二十二) 函数模型及其应用
一、填空题 1．已知：
则x ，y ． (1)y ＝a ＋b
x
(2)y ＝a ＋bx (3)y ＝a ＋log b x
(4)y ＝a ·b x
2．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的4
5.经过
________年，剩留的物质是原来的64
125
.
3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________．
4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为
f (x )＝⎩⎨⎧
c
x
，x <A ，c
A ，x ≥A
(A ，c 为常数)．
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的
值分别是________．
5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2
和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000·ln(1＋M m )．当燃料质量是火箭质量的
________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
二、解答题
7．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
8．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝
⎛⎭⎫5x ＋1－3
x 元． (1)求证：生产a 千克该产品所获得的利润为100a ⎝⎛⎭
⎫5＋1x －3
x 2元； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
9．医学上为研究某种传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
答 案
1．解析：由表知x 可以取“0”，排除(1)、(3)， 对于(2)：当x ＝0时，y ＝a ＝1，∴a ＝1， 当x ＝1时，y ＝a ＋b ＝2.02.b 可以取1， 当x ＝2时，y ＝1＋2＝3；
当x ＝3时，y ＝1＋3＝4与表中各数据相差较大，可知只有(4)正确． ★答案★：(4)
2．解析：先求剩留量y 随时间x (年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y ＝1×45＝45，经过2年，y ＝45×45＝(45)2，…，那么经过x 年，则y ＝(4
5)x .依题意得
(45)x ＝64
125
，解得x ＝3. ★答案★：3
3．解析：设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108. ★答案★：108元
4．解析：因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以
c
A
＝15①， 所以必有4<A ，且
c 4＝c
2
＝30②， 联立①②解得c ＝60，A ＝16. ★答案★：60,16
5．解析：依题意可设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆，所以总利润S ＝5.06x －0.15x 2
＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0)，所以当x ＝10时，
S max ＝45.6(万元)． ★答案★：45.6万元
6．解析：当v ＝12 000时，2 000·ln(1＋M
m )＝12 000，
∴ln(1＋M m )＝6，∴M
m ＝e 6－1.
★答案★：e 6－1
7．解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为 f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .
由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝1
2＝k 2，
所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝1
2
x (x ≥0)．
(2)设投资债券类产品为x 万元，则投资股票类产品为(20－x )万元．依题意得 y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1
220－x (0≤x ≤20)．
令t ＝20－x (0≤t ≤25)， 则y ＝20－t 28＋12t ＝－18
(t －2)2＋3，
所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，即投资债券16万元，投资股票4万元时获得最大收益，最大收益y max ＝3万元．
8．解：(1)证明：生产a 千克该产品，所用的时间是a
x 小时，
所获得的利润为100(5x ＋1－3x )·a
x
.
所以，生产a 千克该产品所获得的利润为100a ⎝⎛⎭⎫5＋1x －3
x 2元． (2)生产900千克该产品，所用的时间是900
x
小时，获得的利润为90 000⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 1≤x ≤10.
设f (x )＝－3x 2＋1
x ＋5 1≤x ≤10，
则f (x )＝－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋1
12＋5.
当且仅当x ＝6时，f (x )取到最大值f (6)＝6112.
所以获得最大利润90 000×61
12
＝457 500(元)．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457 500元．
9．解：(1)由题意病毒细胞总数y 关于时间x 的函数关系式为y ＝2x －
1(其中x ∈N *)， 则由2x －
1≤108，两边取常用对数得(x －1)lg 2≤8，
从而x≤8
lg 2＋1＝27.58.
即第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为226×2%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为226×2%×2x，
由题意226×2%×2x≤108，
两边取常用对数得26lg 2＋lg 2－2＋x lg 2≤8，
解得x≤6.5.
故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．。