高中数学 简单的组合体特征

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简单的组合体特征
多面体:由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋转体:我们把一个平面图形绕着它所在平面内的一条直线旋转所行成的封闭几何体叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴.
一个矩形绕着它的一条边所在的一条直线旋转所成的封闭几何体叫做圆柱,这条定直线叫做圆柱的轴.
棱柱的结构特征:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的多面体叫做棱柱.
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
棱锥的结构特征:一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共点的三角形,由这些面围成的多面体叫做棱锥.
四棱锥S-ABCD 三棱锥四棱锥五棱锥
棱台的结构特征:一般地,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面中间的部分的多面体叫做棱台.
棱台的特点:两个底面是相似多边形,侧面都是梯形;侧棱延长后交于一点。

圆柱的结构特征:
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.
旋转轴叫做圆柱的轴,无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
,
平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面,垂直于轴的边旋转而成的面叫圆柱的底面.
圆锥的结构特征:与圆柱一样,以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面,旋转轴叫做圆锥的轴,无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线,垂直于轴的边旋转而成的面叫圆锥的底面.
圆台的结构特征:与棱台类似,用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面中间的部分的旋转体叫做棱台.
球的结构特征:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.
斜二测法:
例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
()
()
()
1ABCDEF AD x MN y ,
o
O O,x Oy=45
1
2O,x A D=AD y M N=MN.N,B C
2
x,BC;M,E F x,EF.
3A B,C D,E F,F
在六边形中,取所在的直线为轴,对称轴所在直线为轴两轴交
于点。

画相应的x轴和y轴,两轴相交于点使
以为中心在上取,在轴上取以点为中心画平行于
轴并且等于再以为中心画平行于轴并且等于
连接
'''''

''''''''''
'''''
''''''''A,x y,ABCDEF
A B C D E F
并擦去辅助线轴和轴便获得正六边形水平放置
的直观图
''
''''''
例2、用斜二测画法画出下图所示的水平放置的直观图.
上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法,具体步骤:(1)建坐标系,定水平面;(2)与坐标轴平行的线段保持平行;(3)水平线段等长,竖直线段减半. 常用的一些空间图形的平面画法:
例3. 用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm 的长方体ABCD-A`B`C`D`的直观图. (1)画轴.画x 轴,y 轴,z 轴,三轴交于点O ,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面,在x 轴上取线段AB ,使AB=4cm.在y 轴上取线段AD,使AD=1.5cm ,分别过点D 和B 作x 轴和y 轴的平行线交于 C 点,四边形ABCD 就是长方形的底面ABCD
()''''3画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z 轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段
AA ,BB ,CC ,DD.
()(),''''4成图.顺次连接A ,B ,C ,D ,并加以整理去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线就可得到
长方体的直观图.
怎样画底面是正三角形,且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥?
例4、如图,一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形,它的底角为45°,两腰和上底边长均为1,则这个平面图形的面积是 .
()
==
A D A
B D C,A B
C B C=S S
+
'''''''''''
===∠︒+=⋅=+
2
2
22
14512222222
2

解:,故
例5、如图为水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B`到x`轴的距离为.
答案:
2
2
例6、右图是△ABC利用斜二测画法得到的水平放置的直观图△A`B`C`,其中A`B`∥y`轴,B`C`∥x`轴,若△A`B`C`的面积是3,则△ABC的面积是 .
答案:62
三视图:
三视图对应关系为:正、俯视图长相等(简称长对正)正、侧视图高相等(简称高平齐)俯、侧视图宽相等且前后对应(宽相等)
画一个物体的三视图时,主视图,左视图,俯视图所画的位置如图所示,且要符合如下原则:长对正,高平齐,宽相等.
秒杀秘籍:实际面积与斜二测面积的转换
实际

S
S
4
2
=
柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积体积圆柱S

=2πrh V=Sh=πr2h
圆锥S
侧=πrl V=
1
3Sh=
1
3
πr2h=
1
3
πr2l2-r2
圆台S
侧=π(r1+r2)l V=1
3(S上+S下+S上S下)h=
1
3
π(r21+r22+r1r2)h
直棱柱S

=Ch V=Sh
正棱锥S
侧=
1
2Ch′V=
1
3Sh
正棱台S
侧=
1
2(C+C′)h′V=
1
3(S上+S下+S上S下)h
球S
球面=4πR2V=
4
3πR
3
几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.
例7:一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ). A .48 B .32+817 C .48+817
D .80
解:该几何体可以看成是底面为等腰梯形,高为4的直棱柱,且等腰梯形的两底分别为2,4,高为4,故腰长为17,所以该几何体的表面积为48+817. 答案 C
例8:若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于( ). A. 3 B .2 C .2 3
D .6
解:由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱,则此三棱柱的侧面积为2×1×3=6.答案 D
例9:如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( ).
A .18 3
B .12 3
C .9 3
D .6 3
解:该几何体为一个斜棱柱,其直观图如图所示,由题知该几何体的底面是
边长为3的正方形,高为3,故V =3×3×3=9 3.
答案 C
例10:如图1,在直角梯形ABCD 中,∠ADC =90°,CD ∥AB ,AB =4,AD =CD =2,将△ADC 沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体DABC ,如图2所示.
(1)求证:BC ⊥平面ACD ; (2)求几何体DABC 的体积.
(1)证明 在图中,可得AC =BC =22,从而AC 2+BC 2=AB 2,故AC ⊥BC ,取AC 的中点O ,连接DO , 则DO ⊥AC ,又平面ADC ⊥平面ABC ,平面ADC ∩平面ABC =AC ,DO ⊂平面ADC ,从而DO ⊥平面ABC ,∴DO ⊥BC ,又AC ⊥BC ,AC ∩DO =O ,∴BC ⊥平面ACD .
(2)解 由(1)可知,BC 为三棱锥BACD 的高,BC =22,S △ACD =2,∴V BACD =13S △ACD ·BC =13×2×22=42
3

由等体积性可知,几何体DABC 的体积为42
3
.
简单的组合体练习
1.给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的是( )
A .①②
B .②③
C .①③
D .②④
2.已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是( ) A .6:5 B .5:4 C .4:3 D .3:2
3.(2015•陕西)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
第3题 第4题 第5题 A .3π B .4π C .2π+4 D .3π+4
4.(2015•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积是( ) A .8cm 3 B .12cm 3
C .
D .
5.(2015•北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( ) A .2+ B .4+ C .2+2 D .5
6.(2015•安徽)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )
第6题第7题第8题
A.1+B.2+C.1+2D.2
7.(2015•北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()
A.1 B.C.D.2
8.(2015•河北)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()
A.1 B.2 C.4 D.8
9.(2015•福建)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()
第9题第10题
A.8+2B.11+2C.14+2D.15
10.(2015•重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
11.(2015•重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
12.(2015•安徽)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()
第12题第13题第15题
A.1+B.1+2C.2+D.2
13.(2015•湖南)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率
=)()A.B.C.D.
14.(2015•山东)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.C.2πD.4π
15.用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如图所示,则它的体积的最小值与最大值分别为()
A.9与13 B.7与10 C.10与16 D.10与15
16.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知O′B′=4,且△ABO的面积为16,过A′作A′C′⊥x′轴,则A′C′的长为()A.B.C.D.1
第16题第18题第19题第20题
17.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是()A.B.C.D.
18.如图,一个正方形OABC在斜二测画法下的直观图是个一条边长为1的平行四边形,则正方形OABC 的面积为()A.1 B.4 C.1或4 D.不能确定
19.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为2,则原梯形的面积为()
A.2 B.C.2D.4
20.如图是某平面图形的直观图,则原平面图形的面积是()
A.4 B.2C.4D.8
21.如图是水平放置的△ABC的直观图,A′B′∥y′轴,A′B′=A′C′,则△ABC是()
第21题第23题第24题
A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
22.已知三角形ABC是边长为2a的正三角形,那么它的平面直观图的面积是()
A.2B.2C.2D.a2
23.有一块多边形的菜地它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示∠ABC=45°AB=2,AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为.()A.2+2B.4+2C.1+D.1+
24.如图梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的斜二侧直观图,若A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=1,则四边形ABCD的面积是()A.10 B.5 C.5D.10
25.在正棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1C1=2,AA1=,D为BC的中点,则三棱锥A﹣B1DC1的体积为()A.B.2C.1 D.3
26.已知某个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为2的正方形,点B为边AC的中点,根据图中标出的尺寸(单位cm)可得这个几何体的体积是()A.B.C.3 D.4
DDDCC BCBBA BCABC AACDA CCBBCB。

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