2009-2019真题试卷演练(数学一)试题答案及分析

y cos xdxdy 0, I3 2
y cos xdxdy 0 ，
{( x, y )| y x,0 x1}
{( x, y )| y x,0 x1}
所以正确答案为 A.
（3）设函数 y f (x) 在区间[-1,3]上的图形为
O
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-2 -1 0
23 x
则函数 F (x) x f (t)dt 为（） 0 f (x)
n 1
n 1
（方法 2）反例：对 A 取 an bn (1)n
1 n
，对
B
取 an
bn
1 n
，对
D
取 an
bn
1 n
。
（5）设
a1
,
a2
,
a3
是
3
维向量空间
R3
的一组基，则由基
a1
,
1 2
a2
,
1 3
a3
到基
a1 a2, a2 a3, a3 a1 的过渡矩阵为（）
1
（A）
2
0
0 2 3
D I4.
【答案】A.
【 详 解 】 D2, D4 关 于 x 轴 对 称 ， 而 被 积 函 数 y cos x 是 关 于 y 的 奇 函 数 ， 所 以
I2 I4 =0; D1, D3 两区域关于 y 轴对称，被积函数 y cos x 是关于 x 的偶函数，由积分对称
性和保号性可知 I1 2
x (2,3) 时， f (x) 0, F (x) 为常值函数。正确选项为 D.
（4）设有两个数列{an},{bn}
，若
lim
n
an
0
，则（）
（A）当 bn 收敛时， anbn 收敛
n 1
n 1
（B） bn 发散时， anbn 发散
n 1
n 1
（C）当 | bn | 收敛时， an2bn2 收敛 （D） | bn | 发散时， an2bn2 发散
所以
xds
L
2x
0
1
4x2
dx
1 8
2 0
1
4x2
d (1
4x2
)
1 8
.
2 3
(1 4x2 )3
2 0
13 6
.
（12）设 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1} ，则 z2dxdydz _________。
【答案】
4 15
.
【详解】（方法一）由轮换对称性， x2dxdydz y2dxdydz z2dxdydz
1 6
ax
3
bx3
o
x3
=1
a
1,
a3 6
b
，解得
a
1, b
1 6
所以选 A。
（2）如图，正方形 x, y x 1, y 1 被其对角线划分为
四个区域 Dk k 1, 2,3, 4 ， Ik y cos xdxdy ， Dk
则 max 1k 4
Ik
（
）
A I1 .
B I2.
C I3 .
n 1
n 1
n 1
n 1第 4 页Biblioteka 共 142 页【答案】C.
【详解】（方法
1）
|
n 1
bn
| 收敛，则 lim n
|
bn
|
0
，又 lim n
|
an
|
0
，必存在
N，使当
n>N
时
|
bn
|
1 2
且|
an
|
1 2
（极限的有界性!），
an2bn2
|
bn
|
，立即由正项级数的直接比较法得到：
当 | bn | 收敛时， | an2bn2 | 收敛.应选 C.
0
z)
P( X
z)] .
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（1）若
z
0
，则
Fz
(z)
1 2
(z)
，（2）若
z
0
，则
Fz (z)
1 2
(1
( z ))
，故
z 0 为间断点，本题选（B）
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。
（9）设函数 f (u,v) 具有二阶连续偏导数，z= f (x, xy) 则 2z =________. xy
0
2
.
cos3 3
0
15d
4 15
（13）若 3 维向量 a, 满足 aT 2 ，其中 aT 为 a 的转置，则矩阵 aT 的非零特征值为
______ 【答案】2
【详解】由 aT 2, aT (aT ) 2 , 得 aT 的非零特征值为 2。
___
（14）设 X1, X 2,..., X m 为来自二项分布总体 B(n, p) 的简单随机样本， X 和 S 2 分别为样本
o
f (x)
1
1
-2
01 2 3
x
-2
01 2 3
x
A .
-1
B .
-1
f (x)
f (x)
1
1
-1 0 1 2 3
x
C.
-2
01 2 3 x
D . -1
【答案】D. 【详解】
x (1,0) 时， f (x) 0 且为常数，应有 F (x) 单调递增且为直线函数。
x (0,1) 时， f (x) 0, F (x) 0 ，且单调递减。 x (1, 2) 时， f (x) 0, F (x) 单调递增。
1，所以
E(X
)
0.3
0
0.7 1
0.7
.
2 2
（8）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N (0,1) , Y 的概率分布为
P Y
0
PY
1
1 2
，记
Fz (z) 为随机变量
Z
XY
的分布函数，则函数
Fz (z) 的间断
点个数为（）
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
【答案】B
O 2A
（A）
2
A
O
（B）
3
A
O
（C）
2B
O
（D）
3B
O
【答案】B.
【详解】由于分块矩阵
0 B
A 0
的行列式
0A B
(1)22
|
A ||
B
|
23
6
，即分块矩
阵可逆，根据公式 C | C | C 1 ，
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0
B
A
0
0A B0
0
B
A 0
1
(D)1
【答案】C.
【详解】因为
F
(x)
0.3( x)
0.7
x
1 2
所以
F
(
x)
0.3
(
x)
0.7 2
x
2
1
0.3
1
e
x2 2
0.7
1
e ，
( x 1)2 222
2
2 2
由于
1
e
x2 2
是
N
(0,1)
的密度函数，故其期望值为
0，
2
1
e
( x 1)2 222
是
N
(1,
22 )
的密度函数，其期望值为
【答案】 y xex x 2 .
【详解】由 y (C1 C2 )ex ，得二阶常系数线性齐次微分方程 y ay by 0 的特征值
1 2 1 ，故 a 2 , b 1，要求解的微分方程为 y 2 y y x .
设特解 y0 Ax B 代入微分方程为 y 2 y y x ，得出 2A Ax B x , A 1 , B 2 , 故微分方程为的 y 2 y y x 特解 y x 2 ，通解为 y (C1 C2x)ex x 2
【详解】 Fz (z) P( XY z) P( XY z | Y 0)P(Y 0) P( XY z | Y 1)P(Y 1)
1 [P( XY 2
z
|Y
0)
P( XY
z
|Y
1)]
1 2
[P( X
0
z
|Y
0)
P( X
1
z
|
Y
1)]
由于
X
，Y
独立，所以 Fz (z)
1 [P(X 2
使用说明 1、本解析匹配真题试卷演练，如需要真题题型分类中的解析，可以 根据其题目的考研年份，试卷类别与题目编号，在此解析中查找。 2、若本解析与老师中视频讲解出现不一致的情况，请以老师视频中 的讲解为准。
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目录
2009 年全国硕士研究生入学统一考试..........................................................................3 2010 年全国硕士研究生入学统一考试........................................................................14 2011 年全国硕士研究生入学统一考试 ........................................................................27 2012 年全国硕士研究生入学统一考试........................................................................39 2013 年全国硕士研究生入学统一考试........................................................................52 2014 年全国硕士研究生入学统一考试........................................................................65 2015 年全国硕士研究生入学统一考试........................................................................79 2016 年全国硕士研究生入学统一考试........................................................................91 2017 年全国硕士研究生入学统一考试......................................................................105 2018 年全国硕士研究生入学统一考试......................................................................118 2019 年全国硕士研究生入学统一考试......................................................................133
代入初始条件 y(0) 2, y(0) 0 ，得 C1 0,C2 1，要求的解为 y xex x 2 .
（11）已知曲线 L : y x2 (0 x 【答案】 13
6
2) ，则 xds =_________。 L
【详解】由题意， x x, y x2,0 x 2 ，则 ds (x2 ) ( y2 )dx 1 4x2 dx ，
（A）
a
1,b
1 6
（B）
a
1,b
1 6
（C）
a
1, b
1 6
（D）
a
1, b
1 6
【答案】A
【详解】
sin
ax=ax
1 6
ax 3
o
x3
， ln(1 bx) bx
所以
lim
x0
x sin ax x2 ln(1 bx)
lim
x0
x
ax
1 6
x2
ax3 bx
o
x3
lim
x0
1
a
x
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z 2 dxdydz
1 3
(x2
y2
z2 )dxdydz
1 3
2 d
0
d
0
1 2. 2
0
sin d
4 15
（方法二） z2dxdydz 2 d d 1 2 sin 2 cos2 d
0
0
0
2 d
0
cos2d ( cos)
0
1 4d
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2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题及解析
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）当 x 0 时， f (x) x sin ax 与 g(x) x2 ln(1 bx) 等价无穷小，则（）
1
1
0
（B）
0
3
1
2 2 0
1
0 3 3
（C）
2
1 2
1
2
1
4
1
4
1 4
1 6
1
6
（D）
1 2 1 4
1 6
1 6
1 2
1
4
1
6
1
2
1 4
1 6
【答案】A.
【详解】由基
a1,
1 2
a2 ,
1 3
a3到a1
a2 ,a2
a3 , a3
a1 的过渡矩阵满足
【答案】 xf12 f2 xyf22 .
【详解】 z x
f1
f
2.
y,
2z xy
xf12
f2
xyf22 .
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程 y ay by 0 的通解为 y (C1 C2x)ex ，则非 齐次方程 y ay by x 满足条件 y(0) 2, y(0) 0 的通解为 y=_________.
6
0 A1
B 1 0
6
|
1 A
0 |A
|
1 B
|
B
0
0
6
1 2
A
1 3
B 0
0 3A
2B
0
，故答案为 B.
（7）设随机变量
X
的分布函数为
F
(x)
0.3( x)
0.7
x
1 2
其中
(x)
为标准正态分
布函数，则 E( X ) （ ）
（A）0
(B)0.3
(C)0.7
(a1
a2 ,
a2
a3 ,
a3
a1)
a1,
1 2
a2 ,
1 3
a3
1 2 0
0 2 3
1
0 3
所以此题选（A）.
（6）设 A,B 均为 2 阶矩阵， A, B 分别为 A，B 的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩