北师大版八年级数学(下)期末专题复习

八年级（下）期末复习资料
一、三角形
考点一、特殊三角形
1、已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ） A ．9 B ．12 C ．15 D ．12或15
2. 等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为__________ 3、等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是________ 4、等腰三角形的顶角为120°，腰长为4，则底边长为__________ 考点二、三角形的特殊线段 一、垂直平分线
1、如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.
2、如图：△ABC 中，AB=AC,∠BAC=1200,EF 垂直平分AB, EF=2,求AB 与BC 的长。

二、角平分线 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线交BC 于E ，
DE⊥AB 于D ，BC=8，AC=6，AB=10，则△BDE 的周长为_________。

2、如右下图，在△ABC 中，∠ACB=90°,BE 平分∠ABC，DE⊥AB 于D ，如果AC=3 cm ，那么AE+DE 等于 。

A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
3.如右图，已知BE⊥AC 于E ，CF⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD=CD. 求证：AD 平分∠BAC. 考点三、三角形全等
1、.如下图，已知∠ABC=∠ADC=90°，E 是AC 上一点，AB=AD ，求证：EB=ED.
2、如右图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE =CD . 拓展与提高
1..如图24，在∆A B C 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交BC 的延长线于点M ，
若0
40A ∠=.
（1）求NMB ∠的度数；
（2）如果将（1）中A ∠的度数改为0
70，其余条件不变，再求NMB ∠的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的A ∠改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？
2.如图，在△ABC 中，AB=AC 、D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且CE=BD ，连结DE 交BC 于F 。

（1）猜想
B
C
A
E
D
图1
E B
F C
A
DF 与EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。

3.如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ． （1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE； 考点四、直角三角形
1.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上滑动，求点B 到原点的最大距离。

2.（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A＝0
40，求∠NMB 的大小 （2）如果将（1）中∠A 的度数改为0
70，其余条件不变，再求∠NMB 的大小 （3）你发现有什么样的规律性？试证明之.
（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 3.在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。

二、不等式（组） 考点一、不等式的基本性质 例1、若b a <，则下列不等式中不成立的是（ ） A.55-<-b a B.b a 55< C.0<-b a D.b a 55-<- 练习：
1、如果a>b ，那么下列不等式中不成立的是（ ） A 、a-3>b-3 B 、-3a>-3b C 、
3
3b
a > D 、
b a -<- 2、已知不等式（a+1）x ＜2的解集是x ＜1，则a 的值为 ． 考点二、不等式（组）的解集 例1、把不等式组⎩⎨
⎧≤->1
1
x x 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ▲ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 例2、不等式组⎩⎨⎧>-≤+0
1x x 的解集为（ ）
A.1-<x
B.0<x
C.01<≤-x
D.1-≤x
练习：
1、关于x 的不等式12-≤-a x 的解集如图所示，则a 的取值是（ ） A.0 B.-3 C.-2 D.-1
2、不等式2-x≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A 、 B.
C. D.
1 0 1 0 1 0 1
0 A B C N
M
A
B
C N
M A B
C
N
M
3.直线1l ：b x k y +=1与直线2l ：x k y 2=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式
b x k x k +<12的解集为（ ）
A 、1-<x
B 、1->x
C 、2>x
D 、2<x 考点三、含有参数的不等式
例1、若关于x 的不等式03>+-m x 的解集是x<2，则关于x 的不等式03<+-m x 的解集是 。

练习：
1、关于x 的一元一次不等式组⎩⎨
⎧-<+>2
32
b x b x 有解，则直线b x y +-=不经过第________象限
2、已知不等式03≤-a x 的整实数解恰巧是1、2、3，则a 的取值范围是（ ）
3、如果关于x 的方程13922=---x x x m 的解也是不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧->+≤--13
2110
)1(3x x x x 的一个解，求m 的取值范围是 。

4、若||()x x y m -+--=4502
，求当y ≥0时，m 的取值范围 。

5、若不等式组0
122x a x x +≥⎧⎨
->-⎩
有解，则a 的取值范围是 。

考点四、解不等式
1、把不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--
>+2
321123
x x x 的解集在数轴上表示出来，并求出不等式组的整数解。

2、解不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤--322813
7x x x
，并把解集在数轴上表示出来；
3、解不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧->+≥--13
214)2(3x x x x ，并写出不等式组的非负数解。

考点五、不等式应用
例1、某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用3.2万元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用6.8万元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？
（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于35%，那么每套售价至少是多少元？（利
润率100%=
⨯利润
成本） 练习：
1、某企业在生产甲、乙两种节能产品时需用A 、B 两种原料，生产每吨节能产品所需原料的数量如下表所示：
本次销售甲、乙两种产品的利润m （万元）与销售量n （吨）之间的函数关系如图所示．已知该企业生产了甲种产品x 吨和乙种产品y 吨，共用去A 原料200吨． （1）写出x 与y 满足的关系式；
（2）为保证生产的这批甲种、乙种产品售后的总利润不少于220万元，那么至少要用B 原料多少吨？
2、某电器城经销A 型号彩电，今年四月份毎台彩电售价为2000元．与去年同期相比，结果卖出彩电的数量相同的，但去年销售额为5万元，今年销售额为4万元． （1）问去年四月份每台A 型号彩电售价是多少元？
（2）为了改善经营，电器城决定再经销B 型号彩电，已知A 型号彩电每台进货价为1800元，B 型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？
（3）电器城准备把A 型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B 型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？
3、某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降。

今年三月份的电脑售
价比去年同期每台降低1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年售价8万元
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，共有哪几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为了打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
三、因式分解
考点一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
例(1)多项式32223
15520m n m n m n +-的公因式是( )
A 、5mn
B 、225m n
C 、25m n
D 、2
5mn
(2)()()2
3
2x y y x ---； (3)23++-n n
n
a a
a ；
考点二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a 2±2ab+b 2 a 2±2ab+b 2=(a±b)2；
(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3 a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；
1.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且2
2
2
a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 2、分解因式 （1）
14a 2b 2－1 (2)－1
4
xy 3＋0.09xy ； （3）－(x ＋2)2＋16(x －1)2． (4)2
2224)1(4)1(a a a a ++-+ (5)222)1(4+-a a (6)222224)(b a b a -+
3 在实数范围内分解因式
（1） x 2
－2； （2） 5x 2
－3 （3）44
4a b -
4求证：当n 为自然数时， ()()2
2
57--+n n 能被24整除．
5．已知：a ，b ，c 是三角形的三边，且满足()()
2
222
3c b a c b a ++=++．求证：这个三角形是等边三角形。

6计算： 22221111111123910⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式 1、分解因式：
(1)bn bm an am +++ (2)bx by ay ax -+-5102
(3)bc ac ab a -+-2
(4)1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 2、分解因式：
(1)ay ax y x ++-22 (2)2
222c b ab a -+- (3)y y x x 3922--- （4）yz z y x 22
22--- 四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2
q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

1分解因式：
(1)652
++x x (2)1522--y y
（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件：（1）21a a a = 1a 1
（2）21c c c = 2a 2c
（3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2
=))((2211c x a c x a ++ 2分解因式：
(1)101132+-x x （2）2732+-x x （3）317102
+-x x （三）二次项系数为1的齐次多项式 3分解因式
(1)221288b ab a -- (2)2286n mn m +- (3)2
26b ab a -- （四）二次项系数不为1的齐次多项式
(1)2
2
672y xy x +- (2)232
2
+-xy y x （3）abc x c b a abcx +++)(2
222
五、换元法
分解因式（1）2
)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++
（2）90-)384)(23(22++++x x x x （3）2
22222)3(4)5()1(+-+++a a a 六、添项、拆项、配方法
分解因式（1）32623+-x x （2）673+-x x （3）1224+-x x 七、待定系数法
1、分解因式61362
2-++-+y x y xy x
2、（1）当m 为何值时，多项式652
2-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式。

（2）如果82
3+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

中考链接：
1、（2014•毕节地区）下列因式分解正确的是（ ） A ． 2x 2
﹣2=2（x +1）（x ﹣1）
B ． x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2
C ． x 2+1=（x +1）2
D ． x 2﹣x +2=x （x ﹣1）+2
2、（2014·台湾，第17题3分）(3x ＋2)(﹣x 6＋3x 5)＋(3x ＋2)(﹣2x 6＋x 5)＋(x ＋1)(3x 6﹣4x 5)与下列哪一个式子相同？( )
A ．(3x 6﹣4x 5)(2x ＋1)
B ．(3x 6﹣4x 5)(2x ＋3)
C ．﹣(3x 6﹣4x 5)(2x ＋1)
D ．﹣(3x 6﹣4x 5)(2x ＋3)
3、（ 2014•广西玉林市、防城港市）下面的多项式在实数范围内能因式分解的是（ ） A ． x 2+y 2 B ．x 2﹣y C ． x 2+x +1 D ． x 2﹣2x +1 3、（2014•襄阳，第18题5分）已知：x =1﹣，y =1+
，求x 2
+y 2
﹣xy ﹣2x +2y 的值。

4、关于x 的分式方程
2
3
4222+=
-+-x x ax x 无解，则a 的值为 5、先化简：444
(
)(m 4)3m (1)2m m m m
⎡⎤+--÷-⎢⎥-⎣⎦，再任选一个你喜欢的整数m 代入并求值。

6、已知实数满足方程222322x x x x +-=+，则22x x
+= 四、分式
题型一、分式的意义及分式的值
1、若分式
应满足有意义，则x x x x )
1)(3(1
-+- 。

2、________4
1
的取值范围是中，自变量在x x x y -+=
3、__________02
1
2
2的值是，则的值是已知分式x x x x -+- 4、组的整数值共有分式
_______1
3
2+-x x 5、当x 发生变化时，分式的最小值是 题型二、解分式方程 ①
②x x ─ 1 ─ 2 x ─ 2
x ─ 1 = 0
③
④
13
-x －)
1(2-+x x x =0 题型三、化简求值
（1）()
2
2111a a a ⎛⎫-+÷+ ⎪+⎝
⎭，其中21a =-
（2）先化简下列式子，x x x x x x
x x -++⨯-+÷+--39
623446222
再从2，﹣2，3，4，-3中选择一个合适的数进行计算．
（3）化简并求值：，其中a 的值从不等式组
的解集中选取一个你认为合
适的整数
（4）先化简.再求值.222211y xy x y y x y x +-÷⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--
其中21+=x 21-=y .
（5）已知1
13)1)(1(2732++-+=+-+-x B
x A x x x x ，A 、B 为常数，求2A+3B 的值
（6）设m ＞n ＞0，m 2
＋n 2
＝4mn ，求22
m n mn
-的值
（7）若a 、b 、c 两两不等，求
bc ac ab a c b a +----22+ac bc ab b a c b +----22+ab
bc ac c b
a c +----22
题型四、关于增根、无解及解的正负 1、 若方程
1
13142
-=-++x k
x x 有增根,则k 的值为
2、 若关于x 的方程1
1122+=
-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值？ 3、 若关于x 的方程
31-x 9
332
-+=++x k
x k 无解，则k 的为 4、 当a 为何值时,
)
1)(2(21221+-+=+----x x a
x x x x x 的解是负数 题型五、应用题
1、某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）若甲工程队独做a 天后，再由甲、乙两工程队合作 天（用含a 的代数式表示）可完成此项工程；
（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
2、某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
3、某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款l ．1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．
问：甲、乙两队单独完成这项上程各需多少天？在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款？ 4、为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：
（1）若剑江河首批需要清淤的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由（体积可按面积×高进行计算）
（2）若甲公司单独做了2天，乙公司单独做了3天，恰好完成全部清淤任务的一半；若甲公司先做2天，剩下的清淤工作由乙公司单独完成，则乙公司所用时间恰好比甲公司单独完成清淤任务所用时间多1天，则甲、乙两公司单独完成清淤任务各需多少时间？
中考链接：
1．（2014·浙江金华）在式子11
,,x 2,x 3x 2x 3
---- 中，x 可以取2和3的是（ ） A ．
1x 2- B ．1
x 3
- C ．x 2- D ．x 3- 2、（2014•呼和浩特）下列运算正确的是（ ） A ．
•
=
B ．
=a 3
C ． （+）2÷（
﹣
）=
D ． （﹣a ）9÷a 3=（﹣a ）6
3、（2014•济宁）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是米．
4、（2014•德州）分式方程﹣1=的解是（）
A．x=1 B．x=﹣1+C．x=2 D．无解
5、（2014•泰州）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于（）
6、（2014•广西贺州）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x=（0＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（x+）=4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（）
A．2B．1C．6D．10
7、由于货源紧缺，小王、小李两名商贩连续再次以不同的价格在同一公司购进了A型香米，两次的购买单价分别为a、b（a＜b，单位：元/千克），小王的采购方式为：每次购进c千克大米，小李的购买方式为：每次购进d 元的大米。

若只考虑采购单价，下列结论正确的是（）
A、小王合算
B、小李合算
C、一样合算
D、无法确定谁更合算
8（2014•广西贺州）马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度。

9、（2014•四川自贡，第21题10分）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．
（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？
（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？
五、图形的平移和旋转
一、填空题
1. 平移不改变图形的和，只改变图形的。

2．钟表的分针匀速旋转一周需要60分，它的旋转中心是___________,经过20分,分针旋转___________度。

3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余，将AB，DC分别平移到EF和EG的位置，则△EFG 为________三角形，若AD=2cm，BC=8cm，则FG=____________
4、如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度为度．
5、如图，将AOB △绕点O 逆时针旋转90，得到A OB ''△．若点A 的坐标为()a b ，，则点A '的坐标为 ．
三、解答题
1、如图所示：正方形ABCD 中E 为BC 的中点，将面ABE 旋转后得到△CBF. （1）指出旋转中心及旋转角度．（2）判断AE 与CF 的位置关系．
（3）如果正方形的面积为18cm 2，△BCF 的面积为4cm 2,问四边形AECD 的面积是多少？
2．如图，已知正方形ABCD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=BE+FD ，请说出AF 平分∠DAE 的理由。

3、操作：在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C＝900
，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：
（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．
（2）三角板绕点P 旋转，△PBE 能否为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE 的长）；若不能，请说明理
由．
4、(青岛市)如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10．若
将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P 与点P' 之间的距离为多少，∠APB？
、
六、平行四边形
平行四边形的性质及判定
例1.能判别一个四边形是平行四边形的是（ ） A.一组对边相等，另一组对边平行 B.对角线相等
C.对角线互相垂直平分
D.一条对角线平分另一条对角线 变式:
1、.四边形ABCD 中,AD 平行且等于CB ，则下列结论中错误的是（ ）
A. ∠A=∠B
B.AB=CD
C. AB ∥CD
D.对角线互相平分
例2．如上右图所示，对四边形ABCD 是平行四边形的下列判断，正确的打“∨”，错误的打“×”． （1）因为AD∥BC，AB=CD ，所以ABCD 是平行四边形．（ ） （2）因为AB∥CD，AD=BC ，所以ABCD 是平行四边形．（ ） （3）因为AD∥BC，AD=BC ，所以ABCD 是平行四边形．（ ） （4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD 是平行四边形．（ ） （5）因为AB=CD ，AD=BC ，所以ABCD 是平行四边形．（ ） （6）因为AD=CD ，AB=AC ，所以ABCD 是平行四边形．（ ） 平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形
例3、如图所示：四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分BF ADC ,∠平分ABC ∠．试证明四边形BFDE 是平行四边形．
2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形
例4：已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点，
点Ｅ，Ｆ在ＡＣ上，且ＡＥ＝ＣＦ． 求证：四边形ＥＧＦＨ是平四边形．
3.一组对边平行且相对的四边形为平行四边形
上，且AE =
2
1
AB ，例5.如图，□ABCD 中，E 、F 分别在BA 、DC 的延长线
CF =
2
1
CD ，试证明AECF 为平行四边形. 4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形 例6.如图，在平行四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线交CD 于E,∠ADC 的平分线交AB 于点F.试证明四边形DFBE 为平行四边形. 5.对角线互相平分的四边形为平行四边形 例
提高：13.已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ上的两点，且ＡＥ＝ＣＦ，ＡＦ，ＤＥ相交于点Ｍ，ＢＦ，ＣＥ相交于点Ｎ．
求证：四边形ＥＭＦＮ是平行四边形．（要求不用三角形全等来证）
矩形
典型例题：
N
M
B
A C
D
E
F
A D
B
C
G H
E
F
A
B
C
B ’
D E P
1.矩形的性质 例题1：（2012•泰安）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ） A ．3
B ．3.5
C ．2.5
D ．2.8
变式1.如图19-23，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，DE 平分∠ADC 交BC 于E ，∠BDE ＝15°，试求∠COE
的度数。

例2. E 是矩形ABCD 边AD 上一点，且BE=ED ，P 是对角线BD 上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F 、G ，则PF ＋PG=AB 成立吗？为什么？ 二、矩形的判定 例1已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．
三、折叠
例1、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，按下列要求折叠，试求出所要求的结果： （1） 如图，把矩形ABCD 沿对角线BD 折叠得△EBD，BE 交CD 于点F ，求S △BFD ； （2） 如图，折叠矩形ABCD ，使AD 与对角线BD 重合，求折痕DE 的长； （3） 如图，折叠矩形ABCD ，使点B 与点D 重合，求折痕EF 的长； （4） 如图（同13题图），E 为AD 上一点，把矩形ABCD 沿BE 折叠，若点A 恰好落在CD 上的点F 处，求AE 的
长； 变式1：矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的B’处，折痕AE ．在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的距离相等，则此相等距离为________． 菱形 基础例题：
1、（2012•山西）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC BD 、的长分别为6cm 、8cm ，AE BC ⊥于点E ，则AE 的长是（ ）
A. 53
B. 25
C. 48
5 D.
24
5
2、（2013四川内江，16，5分）已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M N 、分别是边BC CD 、的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM PN +的最小值= 判定定理例题：
判定一：一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）
例1、（2013•安顺）如图，在ABC ∆中，D E 、分别是AB AC 、的中点，2BE DE =，延长DE 到点F ，使得EF BE =，连接CF ．
（1）求证：四边形BCFE 是菱形；
（2）若4CE =，120BCF ∠=︒，求菱形BCFE 的面积． 判定二：有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
例1：如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 在BD 上，且 BE=DF 连接AE 并延长，交BC 于点G ，连接CF 并延长，交AD 于点H ． （1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AC 平分∠HAG，求证：四边形AGCH 是菱形． 判定三：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例2：（2013•曲靖）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点
图19-23
F ，连接AE 、CF ．求证：四边形AECF 是菱形。

判定四：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
例4：（2012.咸丰二模）如图，O 为平行四边形ABCD 对角线交点，过O 点的两条直线m 、n 互相垂直，且与四边形各边相交于点E 、F 、G 、H.是判断四边形ABCD 的形状，并给出理由。

判定五：四条边都相等的四边形是菱形
例5：2、（2013•泰安）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ． （1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE； （2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD 是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E 点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由． 变式练习： 1、（2013•四川宜宾）如图，在△AB C 中，∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG=BD ，连接BG 、DF ．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG 的周长是多少？ 能力提升： 1、（2013•娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ． （1）求证：AM=AN ；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由 正方形 例题讲解 一、 正方形的性质
例1、判断下列命题是否正确：
（1）四条边相等的四边形是正方形（ ）
（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（ ） （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形（ ） （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形（ ）
例2、如图4-60，正方形ABCD 的对角线相交于O ，EF ∥AB ，并且分别与OA ，OB 相交于E ，F ．若BE=3厘米，求CF 的长．
练习1（2010 天津）如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点， 1DE =．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90︒，得△ABE '，连接EE '，则EE '的长等于 ．
练习2（2008佛山12）如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ． 二、正方形的面积：
例1、（2010南宁）正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如
图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK ∆的面积为（ ） （A ）10 （B ）12 （C ）14 （D ）1
练习1. 边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（ ）。

A ．2－
3
3
B ．
3
32 C ．2－43
D ．2
三、正方形的有关计算
例1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外做等边三角形ABE，交BD于F，求∠AFD的度数。

练习1、在正方形ABCD中，E在BC上，且BE=2，EC=1，点P在BD上，求PE+PC的最小值；
练习2、如图4-4-2，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AM⊥EF，垂足为M，且AM=AB。

（1）求证：EF=BE+DF
（2）连接AE、AF，求∠EAF的度数。

D
C E
F 图。