西安交大线性代数期末考题线性代数与几何试题集合

线性代数与几何试题集合
一、填空题(每小题4分,共16分)
(1). 若矩阵021032500⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A ,则det(2)*AA =.
(2). 已知(1,2,2)T =-α,则迹tr()T αα=.
(3). 若向量组123(0,1,),(,1,0),(0,,1)T
T
T
λλλ===ααα线性相关,则λ=.
(4). 设矩阵1000131a
a ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪--⎝⎭
A =为正定矩阵，则a 的取值范围 是.
二、单项选择题(每小题4分,共16分) (1). 设B C =A ，则必有
(A) ()()()r A B r A r B +≥+. (B) ()()()r A r B r C +=.
(C) ()()r C r A ≤. (D) ()()r B r C ≤. 【】 (2). 直线1112
:
011x y z L -+-==和直线21:3x y L z +=⎧⎨=⎩
(A) 重合. (B) 相交. (C) 平行. (D) 异面. 【】
(3). 0Ax =只有零解的充分必要条件是
(A) A 的列向量线性相关; (B)A 的行向量线性相关;
(C)A 是行满秩的; (D)A 是列满秩的; 【】
(4).设矩阵*
111023002A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则1A -＝
(A) *12A . (B)1
2A . (C) 14A . (D) *14
A . 【】
三、(12分) 写出以(0,0,0)为顶点，22221
1
x y z x y z ⎧++=⎨+=+⎩为准线的锥面方程。

并
指出其在平面2z =上的投影曲线的名称。

四、(12分),a b 取何值时,线性方程组
12341
2
201101110011121x a x x a b x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪
+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.
五、(12分). 设二次型()f =T x x Bx ，其中202220022B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
(1) 写出二次型()f =T x x Ax 的矩阵A ;
(2) 求一个正交矩阵P ，使AP P 1-成对角矩阵;
(3) 求一个合同矩阵C ，写出f 在线性变换=x Cy 下的规范形.
六、 (12分) 向量组1(3,4,2,3)β=，
2(4,2,6,3)β=,能否由向量组1(2,2,2,1)α=，2(1,0,2,1)α=，3(1,2,0,1)α=线性表示。

若能，求出它们的表达式。

七、(10分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题) 设数域R 上的三维线性空间V 中定义的两个运算是⊕和，即V αβ⊕∈，k V α∈，且123,,εεε是V 的一个基，θ是V 的零元，若 1123(1)2αεεε=⊕-⊕,21233(2)5αεεε=⊕-⊕,31232αεεε=⊕⊕
(1) 求123span{,,}ααα的基与维数。

(2) 若V 中的线性算子T 的矩阵132121251⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
A ，求k
e r ()T 和()T V 的一个基。

八、(10分) 设123(,,)T a a a α=，123(,,)T
b b b β=,且2,T T A αβαβ==， （1）求A 的特征值，
（2）求可逆阵P 及对角阵Λ，使1P AP -=Λ.
08年1月A 卷
一、填空题(每小题3分,共12分)
(1). 若矩阵201030503⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则det(2)T AA =.
(2). 若向量组123111,,111λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα的秩为2,则λ=.
(3). 设矩阵121201 101A a a a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,已知齐次线性方程组0Ax =的基础解系
含有两个向量，则a =.
(4). 设矩阵10301131a ⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
A =为正定矩阵，则a 的取值范围是
二、单项选择题(每小题3分,共12分)
(1). 设两个非零矩阵,B A ,满足0B =A ，则必有
(A) A 的列向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性无关. (C) B 的列向量组线性相关. (D) B 的列向量组线性无关. 【】
(2). 曲线2222
x y z ⎧-=⎨=⎩绕x 轴旋转一周所形成旋转面的名称是
(A) 单叶双曲面. (B) 双叶双曲面. (C)椭圆面. (D) 抛物面. 【】 (3). 已知3阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则*A I -必相似于对角矩阵
(A)012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (B)125-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (C)512-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (D)125⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
; (4).设矩阵111023004A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
，则1*
12A -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝
(A) 12A . (B) 14A . (C) 18A . (D)
1
16
A . 【】 三、(12分) 设方阵
B 满足22I =+*A B B ,其中111111111A -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，求矩阵B .
四、(12分) 已知直线11:232x y z L -==--，直线2312
:212
x y z L -++==-. （1）记i L 的方向向量为(1,2)i a i =，求过1L 且与12a a ⨯平行的平面π的方程. （2）求2L 与π的交点.并写出1L 与2L 的公垂线的方程. 五、(12分)a 、b 取何值时,线性方程组
12341
2
2011231011114423x x x a x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.
六、(12分). 设二次型222
123123121223(,,)4()f x x x x x x x x x x x x =++++-, (1) 写出二次型123(,,)f x x x =T
x Ax 的矩阵A ; (2) 求一个正交矩阵P ,使AP P 1-成对角矩阵;
(3) 写出f 在正交变换Py x =下化成的标准形.
七、 (12分) 设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪
-- ⎪ ⎪⎝⎭A =的全部特征值之积为24.
(1) 求a 的值；
(2) 讨论A 能否对角化，若能，求一个可逆矩阵P 使1P AP D -=为对角阵。

八、(10分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题) (1) 在⨯22R 中所有2阶实对称矩阵所组成的集合构成⨯22R 的一个子空间W .
证明元素组122141,211315--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
123A ,A A 是W 的一个基.
(2) 设T 是2[]F x 上的线性算子，T 在2[]F x 的基（Ⅰ）：2,,1x x 下的矩阵为
123103215⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
A ,求T 在2[]F x 的基（Ⅱ）：222,,1x x x x x +++下的矩阵
九、(6分) 设A 为n 阶方阵，0A ≠且A I ≠.证明:2A A =的充分必要条件是()()r A r A I n +-=.
07年1月A 卷
一、(满12分) (1). 72. (2).-2 (3).1.(4).10a >. 二、(满12分) (1).(A) (2). (B) (3). (D); (4).(B)
三、(满12分)解 因||,(3)A I '=*AA ，两端同乘A ，||4A =,化简得
(2),(6)
I A B A '-= 1(2)I A --=1101011,(9)2101⎛⎫ ⎪' ⎪ ⎪⎝⎭，1
010(2)001,(12)100B I A A -⎛⎫
⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭
.
四、(满12分)解 （1）12(4,0,4)(1,0,1)a a ⨯=.（2分）， 平面π的法向量为(1,0,1)(2,3,2)(3,4,3)n =⨯--=--，（4分）， 故平面方程为3(1)430x y z ---=.（6分）
（2）将2:
23,1,22L x t y t z t =+=-=--代入π得2t =-，交点(1,3,2)--.（10
分）
故1L 与2L 的公垂线的方程
132
101
x y z ++-==.（12分） 五、(满12分)解 增广矩阵1
202001211(,) ,(4)0020000021A b a a b ⎛⎫
⎪
-- ⎪
'→ ⎪
- ⎪
⎪-+⎝⎭
（1） 当2a ≠时，()()4r A r A ==，方程组有唯一解，（6分） （2） 当2a =，且1b ≠-时，()2,()3r A r A ==，方程组无解（8分） （3） 当2a =且1b =-时，,()()2r A r A ==该方程组有无穷多解，其结
构式通解为,12(2,1,0,0)(4,2,1,0)(4,1,0,1)T T T
x c c =-+-+-.(12分)
六、(满12分)解 (1)422242224⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
A =;（2分）(2) 特征值为
1236,0λλλ===，（5
分）当
126λλ==时特征向量为
12021,111e e ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-=⎪⎪⎪⎪⎭⎭，当30λ=时，3111e -⎛⎫
⎪=⎪⎪
⎭
，取123(,,)P e e e =为正交矩阵，可,使-1P AP =diag(6,6,0);（11分）， 一、填空题 (
每小题3分，共12分) (1) 设010100001A -⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
, B=1P AP -，其中P 为3阶可逆矩阵，则2008
22B A -=__
(2) 设A=33()ij a ⨯是实正交矩阵，且11a =1,b=()1,0,0T
,则线性方程组AX b =的解是______
(3)设n 阶方阵111
1a a
a a a a a a a a a a
⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的秩为-1n ,则____a =
(4) 已知向量(1,2,3),(1,0,2)a b ==-,则与它们都垂直的一个单位向量是___
二、单项选择题(每小题3分，共12分)
(1)设矩阵B=001110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
0０　０，已知A B ，则(2)()r A E r A E -+- 等于
(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. 【 】
(2) 设4阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵的秩*r(A )为 (A) 0. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 【 】
07年1月A 卷 答案 07年1月B 卷
(3)设向量组12r I: ,,,ααα可由向量组12s II: ,,,βββ线性表示，则
(A) 当r s <时，向量组II 必线性相关.
(B) 当r s >时，向量组II 必线性相关. (C) 当r s <时，向量组I 必线性相关.
(D) 当r s >时，向量组I 必线性相关. 【 】
(4) n 阶方阵A 有n 个两两不同特征值是A 与对角矩阵相似的 (A) 充分必要条件. (B) 充分而非必要的条件.
(C)必要而非充分的条件. (D) 既不是充分也不是必要条件. 【 】
三、(12分) 求向量组12345,,,,ααααα的秩及一个极大线性无关组.其中
1(1,1,1,1)T α=,2(1,1,1,1)T α=--,3(1,1,1,1)T α=--,4(1,1,1,1)T
α=--,5(2,0,1,1)T α=-
四、（12分）计算n 阶行列式D n 的值，其中(0,1,2)i
a i n ≠=
1111123222211
2233n 22221122331
1
1
1
123D n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ----------------=
五、（12分）已知齐次线性方程组112233112233112233112233()0
()0()0()0
n n n n n n n n a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x +++++=⎧⎪+++++=⎪⎪
+++++=⎨⎪⎪+++++=⎪⎩,
其中1
0n
i i a =≠∑. 讨论12,,,n a a a 和b 满足何种关系时, (1)方程组仅有零解；
(2)方程组有非零解。

在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。

六、(13分) 已知两条直线的方程分别为
1111
:
321x y z L +++==254:432
y z L x +--==- (1) 两直线是否共面？ 如共面，求两直线所在平面的方程。

(2)两直线是否有交点？如有交点，求出交点的坐标。

七、（13分）设A=01010012y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
０１００　０００的一个特征值为3， （1）求y 的值； (2)求可逆方阵P ，使()()T
AP AP 为对角阵。

八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.
1、设54()2r A ⨯=,1(1,1,2,3)T α=,2(1,1,4,1)T α=--和3(5,1,8,9)T
α=-- 都是
0Ax =的解.求0Ax =的解空间的维数与一个标准正交基。

2、设()T L V ∈,T 在V 的基e 1, e 2, e 3下的矩阵为1511520158876A -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ，求T 在基1
1232e +3e +e β=,21233e +4e +e β=,3123e +2e +2e β=下的矩阵.
九、（6分）证明：r (A )=1的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量b T
,使A =ab T
. 一、填空题(每小题3分,共12分) (1). 若向量组T 3T 2T 1)0,0,1(,),-12,(,)2,3,1
(==-=αααt 线性相关,则常数t =. (2). 若矩阵A 的伴随矩阵1000310045100068⎡⎤⎢⎥
-⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A*,则det(2)A =. (3). 已知T
),,(321αa a a =为3维向量,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=422211211T αα,则ααT =.
(4). 已知21α,α是齐次线性方程组0A =x 的基础解系,则向量组
12222111ααβ,ααβt t +=+=也可作为0A =x 的基础解系的充要条件是常数21,t t 满足条件.
二、单项选择题(每小题3分,共12分)
(1). 设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=12221222
1A ,则 (A) A 为正交矩阵. (B) A 3
1
为正交矩阵.
(C) det (A)=1. (D) T 13
A =-1
A . 【】
06年1月A 卷 juan
(2). 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60022082a A 相似于对角矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-266,则a 等于
(A) 0. (B) 2. (C) -2. (D) 6. 【】
(3). 设矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A 的伴随矩阵*A 的秩为1,则
(A) 20a b a b =+=且. (B) b a ≠且20a b +≠.
(C) 20a b a b =+≠且. (D) b a ≠且20a b +=. 【】
(4).22⨯R 的子空间⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+R b a b a b a ,0的维数是 (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 【】
三、(12分) 设3阶方阵A 、B 满足AB B A =+,
(1) 证明矩阵I A -可逆; (2) 当⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300063022B 时,求A .
四、(13分) a 、b 取何值时,线性方程组 ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--b x x x x a a 11061071141231012314321 有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出方程组的结构式通解.
五、(12分)两直线⎩⎨⎧=-=23:1y z x L 与⎩
⎨⎧-=--=-+627
3:2z x z y x L 是否共面？若共面，
求它们所确定平面的一般式方程.
六、(12分) 设3阶矩阵A 的特征值为3,2,1-,123,,ααα是依次对应的特征向量，设方阵I A A B *32+-=，求1B －的特征值、特征向量及1det()-B .
七、 (13分) 设矩阵T
x x x ),,(500022042321=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x ,B ,
(1) 写出二次型Bx x T
=),,(321x x x f 的矩阵A ;
(2) 求一个正交矩阵P ,使AP P 1-成对角矩阵; (3) 写出在正交变换Py x =下f 化成的标准形.
八、(8分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)
(1)
设
4
R 的子空间V 由向量组=--==321ααα,)1,5,3,1(,)3,1,1,1(T T T T )2,10,6,2(,)4,1,2,3(--=-4α生成,求V 的基与维数.
(2) 设321α,α,α为3维线性空间V 的基,V 上的线性算子T 在该基下的矩阵为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=532221311A ,求T 的值域)(T R 的基与维数、T 的核)ker(T 的基.
九、(6分) 设A 、B 均为n 阶正定矩阵.证明:关于λ的方程0)det(=-B A λ的
根全大于零. 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设矩阵2328A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
,则)det(T
AA 的值为.
2.设A 、B 均为可逆方阵,则1
A O O
B -⎛⎫
⎪⎝⎭
=.
3.若线性方程组12312331
2681x x ax x x x ++=⎧⎨+-=⎩无解,则常数=a .
4.已知向量⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=11ξ是矩阵533A k -⎛⎫= ⎪-⎝⎭的属于特征值2λ=的特征向量, 则常数=k
5.方程组1230x x x +-=的基础解系是
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设向量(1,3,5,4)T α=-, ,矩阵T A αα=,则det()A 等于
()0a . ()1b . ()51c . (d 【 】 2.设A 为3阶方阵,则0)det(=A 的充分必要条件是
)(a A 的列向量组线性无关. )(b A 的行向量组线性相关.
)(c A 的秩为3. )(d A 中有两行对应成比例. 【 】
06年1月B 卷 juan
3.设3阶方阵123A ααα⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭,其中i α为3维行向量(3,2,1=i ),矩阵21
3
1,2B αααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
120101001
00,010001201P P ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
,则必有 B P AP a =21)(. B P AP b =12)(. B A P P c =21)(. B A P P d =12)(. 4. 设向量组12345,,,,ααααα线性相关,而向量组2345,,,αααα线性无关,则向量组12345,,,,ααααα的极大无关组是
)(a 123,,ααα. )(b 234,,ααα.
)(c 2345,,,αααα . )(d 1234,,,αααα. 【 】 5.n 阶方阵A 正定的充要条件是
()a 0||>A . ()b A 的n 个特征值均大于零.
()c A 有n 个线性无关的特征向量. ()d A 为对称阵. 【 】
三
、
(12
分
)
求
过
三
个
平
面
220,x y z +--=310,x y z -++=30x y z ++-=的交点，且平行于平面220x y z ++-=的平面方程。

四、(12分)当a 、b 为何值时,线性方程组
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧-=+++=--+-=++=+++1
232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解或有无穷多解？并在其有无穷多解时，求出结构式通解. 五、(12分) 求向量组1(2,1,4,3)α=，2(1,1,6,6)α=--，3(1,2,2,9)α=---，
4(1,1,2,7)α=-，5(2,4,4,9)α=的极大线性无关组与秩，并将其余向量用极大
无关组线性表示.
六、(10分)已知矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=210131012A ，求50A .
七、(10分)判定下面的二次型是否正定
3231212
32221321484525),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=
八、 (8分) (注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题). (1)若三阶方阵A 有三个互不相等的特征值1,2,4，设22B A A I =--，求：
det(*)B .
(2)
设
3()
T L R ∈，定义为T T 12312323123(,)(2,,2)T x x x x x x x x x x x =+-++-，T 3123(,,)x x x R ∀∈.求：
T 的值域与T 的秩，T 的核与T 的零度.
九、（6分）证明：n 阶实矩阵A 为正定矩阵的充要条件，是存在n 个线性无关的实
向
量
12(,,
),1,2,
,i i i in m m m i n
α==，使得
T T
1122
n n A αααααα=+++ 一、填空题 (每小题3分，共12分) (1) 若3阶方阵A 、B 的行列式分别为3)det(,2)det(==B A ， 则 =--)2det(*1B A __________.
(2) 设4阶可逆方阵A 按列分块为][4321αααα =A ，方阵
][2314αααα =B ，已知线性方程组b Bx =有唯一解为T ) , , 753,1(=x ，则方程组b Ax =的解为x =__________ .
(4) (3) 设3阶实对称矩阵A 的特征值为
1,221-===3 λλλ，
T )3,2,1(1=α及 T )4,3,2(2=α均为A 的对应于特征值2的特征向量，则
A 的对应于特征值1-的特征值向量为_________________.
1. (4) 设矩阵A ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=301,22310321b t p ，已知线性方程组b Ax =无
解，则常数p 与t 满足的关系式是____________.
二、单项选择题 (每小题3分，共12分)
(1) 设m 阶方阵A 的秩为m ，n m ⨯矩阵B 的秩为s ，则 (A) (r AB s <). (B) (r AB s >).
(C)
(r AB s =). (D) (r AB n
>).
05年1月A 卷 juan
【 】
(2) 设方阵A 与B 相似，即存在可逆方阵P ，使B AP P =-1，已知ξ为A 的
对应于特征值λ的特征向量，则B 的对应于特征值λ的特征向量为 (A) ξP . (B) ξT P . (C) ξ. (D) ξ1-P .
【 】
(3) 设A 为实对称矩阵，则0)det(>A 是A 为正定矩阵的
(A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件.
(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】 (4) 设321 , ,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则向量组 (A) 133221
, , αααααα+++不能作为0=Ax 的基础解系.
(B) 133221 , ,αααααα++-可作为0=Ax 的基础解系. (C) 133221 , , αααααα--+可作为0=Ax 的基础解系.
(D) 132121 , , αααααα++-不能作为0=Ax 的基础解系. 【 】
三、(12分) 已知方阵=A 33)(⨯ij a 的第1行元素分别为111=a ，212=a ，
113-=a ，且知⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=524735947*A ，求)det(A 及A .
四、（12分）设有向量组(I)：T 1)5 ,3 ,1 ,2(-=α，T 2)4,3 ,2 ,3(-=α，
T 3)3,1,3 ,4(-=α，T 4)17 ,15 ,1 ,4(-=α.问向量T )0 ,7 ,6 ,7(-=β能否表示
成向量组(I)的线性组合？若能，求出此表示式.
五、（12分）求直线L ：z y x -==-11 在平面π：12=+-z y x 上的投影直线0l （即L 上各点在π上的垂足点全体所形成的直线）的方程. 六、(13分) 已知矩阵=A ⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡a b 3
21
3214321
4321
相似于对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=00010D . (1) 求常数a 、b 的值；(2) 求一个可逆矩阵P ，使D AP P =-1.
七、（13分）求一个正交变换，将二次型323121321222),,(x x x x x x x x x f ++=化
成标准形，并指出二次曲面0),,(321=x x x f 的名称.
八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.
1. 设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41102A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=101013A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=62734A .
证明：元素组321,,A A A 线性无关，而4321,,,A A A A 线性相关，并指出数域F 上
线性空间1{k W = +1A +4k 4A |}4,,1 F, =∈i k i 的基与维数.
2. 设T 为3]F[x 上的线性算子，定义为 () )()1()(x f x f x f T -+=,3]F[)( x x f ∈∀
求T 在3]F[x 的基：32 , , ,1x x x 下的矩阵，并指出T 的秩及T 的零度. 九、（6分）设n 阶方阵A 的秩为1-n . 证明：A 的伴随矩阵*A 相似于对角矩
阵的充要条件是02211≠+++nn A A A ，其中ii A 为)det(A 的),(i i 元素的代数余子式. 一、填空题 (每小题3分，共12分)
(1) 若3阶方阵A 的行列式为2)det(=A ，则 1*det(2)A A --=________. (2) 设A 为43⨯的矩阵，秩3)(=A r ，已知方程组b Ax =有两个不等的特
解21,ηη，则方程组0=Ax 的通解为x =__________ .
(3) 设3阶实对称矩阵A 的特征值为2,1321===λλλ，又T )0,0,2(1=α为
A 的对应于特征值1的特征向量，则A 为_________________.
2. (4) 设A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=t 2231032
1，已知非零矩阵B 满足0=AB ，
则t =_______.
二、单项选择题(每小题3分，共12分)
(1) 设m 阶方阵A 的秩为2-m ，则矩阵*
A 的秩为
(A) 2-m . (B)2. (C) 1. (D) 0. 【 】
(2) 设三阶方阵A 可逆，且各行元素之和均为2，则A 必有特征值 (A) 1. (B) 2. (C) -1. (D) -2. 【 】
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(3) 2=a 是T
3T
2T
1),2,2,1( ,,0)(1,0, ,(1,1,-1,1)a a ===ααα线性无关的
(A) 充分而非必要条件. (B) 必要而非充分条件.
(C) 充分必要条件. (D) 既非充分又非必要的条件. 【 】
(4) 设A 为n m ⨯矩阵且n m <，则下述结论正确的是
(A) )0(≠=b b Ax 必有解. (B) 0=Ax 必有无穷多组解. (C) 0=Ax 只有零解. (D) )0(≠=b b Ax 必无解. 【 】
三、(12分) 已知⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100000001,410530602B A ，又三阶方阵X 满足
X AB B XA +=+，求101X .
四、（12分）已知方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-+=+++=+++1
22242432143214321x x x x ax x x x b x x x x ，讨论b a ,为何值时方程组
（1）
有解？ （2）无解？并在有解时求出其通解.
五、（12分）求过点(1,2,3)且与直线L ：z y x -==-11垂直相交的直线方程.
六、(13分) 已知矩阵=A ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡21
00
1200320
432
1t 可以相似于对角矩阵， (1) 求常数t 的值；(2) 求一个可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角阵.
七、（13分）求一个正交变换，将二次型31212
22
1321222),,(x x x x x x x x x f -++=化成标准形，并指出二次曲面1),,(321=x x x f 的名称.
八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.
1. 设矩阵⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=31211A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41102A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=70113A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1231
4A .
试求数域F 上线性空间1{k W = +1
A +4k 4A |}4,,1 F, =∈i k i 的基与维
数.2. 设T 为3]F[x 上的线性算子，定义为
() )()1()(x f x f x f T ++=,3]F[)( x x f ∈∀
求T 在3]F[x 的基：32 , , ,1x x x 下的矩阵，并指出T 的秩及T 的零度. 九、（6分）设n 阶方阵A 满足A A =2， 证明：A 一定相似于对角矩阵.。