窄带平稳随机过程

x 2 + y 2 − 2 Ax + A2 = exp − 2 2πσ 2σ 2
r 2 − 2 Ar cos θ + A2 p ( r, θ ) = exp − J 2 2 2πσ 2σ 1 r 2 + A2 − 2 Ar cos θ r exp − = 2 2πσ 2σ 2
r 2πσ
2π 0 ∞
2
e
−
r
cos θ ∂r = ∂ns − r sin θ ∂θ 2
sin θ =r r cos θ
2σ 2
则
r
∫
p (r,θ ) dθ =
σ
2
e
−
r2 2σ
2
) = ∫0 )=
1 p (r,θ ) dr = 2π p ( r ) p (θ
)
结论
窄带高斯过程（零均值）的正交分量、同 相分量正交
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X (t ) =
n =−∞
∑ a g ( t − nT )
n
∞
E ( an ) = ma , E an an +k = Ra ( k )
t ) ) = m a 自相关
σ
1
⇒ nc = r cos θ ,
则
ns = r sin θ
r2 1 p ( r, θ ) = exp − 2 2 2πσ 2σ
|J|
|J|为Jacobian行列式 因此 ∂nc ∂ns
∂r | J |= ∂nc ∂θ
p ( r, θ ) =
p (r ) = p (θ ⇒ p (r,θ
p (r) = ∫ r
2π 0
r 2 + A2 2π 1 Ar cos θ p ( r,θ ) dθ = 2 exp − ∫0 2π exp − σ 2 dθ 2 σ 2σ r
r 2 + A2 Ar = 2 exp − I0 σ 2 2 σ 2σ
1 p (θ ) = 2π
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变 量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
2 nc + ns2 p ( nc , ns ) = exp − 2 2 2πσ 2σ ns 令 r = n2 + n2 , θ = arctg c s nc
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程（零均值）
可以分解成两个互相独立的零均值平稳高 斯过程，且功率相同。
n ( t ) = E nc ( t ) = E ns ( t ) = σ 2 E
2 2 2
E nc ( t ) ns ( t ) = 0
^
窄带随机过程性质（证）
如果X(t)平稳，则Xc(t),Xs(t)联合平稳。 如果E[X(t)]=0,则E[Xc(t)]=E[Xs(t)]=0 如果X(t)高斯平稳，则Xc(t),Xs(t)高斯平稳。 如果X(t)高斯平稳且零均值，则Xc(t),Xs(t) 相互正交且功率相同。
白噪声
定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声， 称为白噪声。
n =−∞
∑ g ( t − nT )
*
∞
RX ( t, t +τ ) = ∑∑Ra ( n − m) g ( t − nT ) g ( t +τ − mT)
n m
功率谱密度
1 Rx ( t , t + τ ) = T
∞ −∞
∫
T /2
−T / 2
Rx ( t , t + τ ) dt = Rx (τ )
jωc t
X ( t ) = a ( t ) cos (ω c t + φ ( t ) )
= xc ( t ) cos ω c t − xs ( t ) sin ω c t = Re xl ( t ) e
xl ( t ) = xc ( t ) + jxs ( t )
窄带平稳随机过程的性质
其中，I0(x)称为零阶修正贝塞尔函数(Bessel)
I0 ( x ) = ∫
2π
0
1 exp ( − x cos θ ) dθ 2π
p (θ ) = ∫ p ( r,θ ) dr = ∫
0 2 2
∞
∞
0
( r − A cosθ )2 + ( Asin θ )2 r exp − dr 2 2 2πσ 2σ
其包络和相位独立。
余弦波加窄带高斯平稳过程
形式 x ( t ) = A cos ω c t + n ( t ) = A cos ω c t + nc ( t ) cos ω c t − ns ( t ) sin ω c t 包络
R (t ) =
( A + n (t ))
c
2
+ ns2 ( t )
r2 + A2 Ar p( r) = 2 exp − I , 2 0 2 σ 2σ σ ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg A + nc ( t ) r
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R ( t ) = nc ( t ) + ns ( t )
2 2
瑞利分布
r2 p ( r ) = 2 exp − 2 σ 2σ r , r ≥ 0
ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg nc ( t ) 均匀分布
窄带平稳随机过程
Gwb@
窄带平稳随机过程
定义
功率谱密度形如带通信号的平稳随机过程。 （见书图）
感性认识：
窄带平稳随机过程的样本（书图）
• 高频振荡波形，包络随机起伏
窄带平稳随机过程的表示
= a ( t ) cos φ ( t ) cos ω c t − a ( t ) sin φ ( t ) sin ω c t
Px ( f ) = ∫ Rx (τ )e − j 2π f τ dτ
( r − A cosθ )2 A sin θ ∞ r 1 exp − = dr ∫0 2 exp − 2 2 2π 2σ 2σ σ A2 sin2 θ ∞ x2 1 x + A cosθ = exp − exp − 2 dx ∫− Acosθ 2 2 2π 2σ σ 2σ A2 sin2 θ A2 cos2 θ 2π A cosθ A cosθ 1 = Q− exp − exp − 2σ 2 + 2 σ σ 2π 2σ A2 A2 sin2 θ 1 1 A cosθ A cosθ = exp − 2 + Q− exp − σ σ 2π 2σ 2σ 2 2π
n0 P(ω ) = 2 n0 R(τ ) = δ (τ ) 2
窄带平稳高斯过程
高斯白噪声经过带通系统
n ( t ) = nc ( t ) cos ω c t − ns ( t ) sin ω c t
n ( t )2 = E nc ( t )2 = E ns ( t )2 = σ 2 E
由解析函数和等效基带信号的关系可得
^ X t + j X t e − jωct xl ( t ) = ( ) ( ) ^ xc ( t ) = X ( t ) cos ω c t + X ( t ) sin ω c t
xs ( t ) = − X ( t ) sin ω c t + X ( t ) cos ω c t
莱斯分布
r ≥0
证明
令 x = A + nc , x = r cos θ
y = ns ，则
y = r sin θ 2 2 x 其中， ~ N A, σ , y ~ N 0, σ 则 ( x − A)2 + y 2 1
(
)
(
)
p ( x, y ) = 1
exp − 2πσ
2
2σ
2