湖北省武汉市晒湖中学2018年高三数学文联考试卷含解析

湖北省武汉市晒湖中学2018年高三数学文联考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，且，则的值是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
2. 某产品的广告费用x万元与销售额y万元的统计数据如下表
根据上表可得回归方程中的为9.4据此模型预报广告费用为6万元是，销售额为65.5则为
A. B.
C. D.
参考答案：
【知识点】回归直线方程.I4
【答案解析】A 解析：过点得，
因直线过均值点所以，得.故选A.
【思路点拨】利用回归直线方程必过样本的中心点坐标即可.
3. 已知a、b为非零向量，，若，当且仅当t=时，|m|取得最小值，则向量a,b的夹角为
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
4. 若，且为第二象限角，则
（）
A．B． C． D．
参考答案：
B
略
5. 已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
6. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）
A.-2
B.
C.
D.-1
参考答案：
B
几何法：
如图，（为中点），
则，
要使最小，则，方向相反，即点在线段上，
则，
即求最大值，
又，
则，
则．
解析法：
建立如图坐标系，以中点为坐标原点，
∴，，．
设，
，，，
∴
则其最小值为，此时，．
7. 已知两非零向量则“”是“与共线”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
A
因为，所以，所以，此时与共线，若与共线，则有或，当时，
，所以“”是“与共线”的充分不必要条件，选A.
8. 若、、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论正确的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
对于A，或异面，所以错误；对于B，与可能相交可能平行，所以错误；对于C，与还可能异面或相交，所以错误.故答案应选D
9. 已知直线，平面，且，给出四个命题：
① 若，则；② 若，则；
③ 若，则；④ 若，则
其中真命题的个数是( )
A．B．C．D． 1
参考答案：
C
10. 执行右边的程序框图，输出S的值为
A. 14
B. 20
C. 30
D. 55
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将2014-2015学年高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是．
参考答案：
17
考点：系统抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．
解答：解：样本间距为48÷4=12，
则另外一个编号为5+12=17，
故答案为：17．
点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．
12. 以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为为．
参考答案：
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】由题意设出圆锥的底面半径，求出圆锥的侧面积，求出圆柱的侧面积即可得到圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，由题意圆锥底面半径等于圆锥的高，
可知圆锥的侧面积为：πr?r=πr2．
圆柱的侧面积为：2πr?r=2πr2．
所以圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为：πr2：2πr2=．
故答案为：．
13. 已知函数f（x）=|x|（x﹣a）+1．当a=0时，函数f（x）的单调递增区间为；若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则a的取值范围为．
参考答案：
（﹣∞，+∞），（2﹣2，1）
【考点】分段函数的应用．
【分析】当a=0时，函数f（x）=|x|x+1=，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的单调递增区间；
函数g（x）=f（x）﹣a至多有一个负零点，两个非负零点，进而得到a的取值范围．
【解答】解：当a=0时，函数f（x）=|x|x+1=，
故函数图象是连续的，
且在（﹣∞，0）和[0，+∞）上均为增函数，
故函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；
函数g（x）=f（x）﹣a=|x|（x﹣a）+1﹣a=，
令g（x）=0，则
当x＜0时，﹣x2+ax﹣a+1=0，即a=x+1，x=a﹣1，
即函数g（x）至多有一个负零点，此时a﹣1＜0，a＜1；
当x≥0时，x2﹣ax﹣a+1=0，
若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则x2﹣ax﹣a+1=0有两个不等的正根，
则，
解得：2﹣2＜a＜1，
综上可得：若函数g（x）=f（x）﹣a有3个不同的零点，则a的取值范围为（2﹣2，1），
故答案为：（﹣∞，+∞），（2﹣2，1）
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数零点的存在性及个数判断，难度中档．
14. 如图，在直三棱柱中，，
，，则异面直线与所成角的
大小是（结果用反三角函数值表示）．
参考答案：
答案：
解析：异面直线与所成角为，易求，。

15. 用min{a，b}表示a，b二个数中的较小者．设f（x）=min{}，则f（x）的最大值为．
参考答案：
2
【考点】函数的最值及其几何意义；对数值大小的比较．
【分析】讨论当+3≤log2x，当+3＞log2x，由对数函数的单调性可得x的范围，f（x）的解析式，再由单调性求得最大值．
【解答】解：当+3≤log2x，即为3﹣log2x≤log2x，
即log2x≥3，解得x≥4，
即有f（x）=+3，当x=4时，取得最大值3﹣1=2；
当+3＞log2x，解0＜x＜4，
即有f（x）=log2x，由f（x）递增，则f（x）＜2．
综上可得f（x）的最大值为2．
故答案为：2．
16. 设，函数，若对任意的，都有
成立，则的取值范围为．
参考答案：
略
17. 若，则实数的取值范围
是。

参考答案：
原不等式等价为，即，所以，即
，解得.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有个红球与个白球的袋中任意摸出个球,再从装有个蓝球与个白球的袋中任意摸出个球,根据摸出个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如下:
200元
50元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望.
参考答案：
19. 已知当x ∈[0,1]时，不等式
x2c o sθ-x(1-x)+(1-x)2s i nθ>0，恒成立，试求θ的取值范围。

参考答案：
若对一切x∈［0，1］，恒有 f(x)=x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2s i nθ>0，则
co sθ=f(1)>0,s i nθ=f(0)>0.(1)
取x0= ∈(0，1)，则．
由于+2x(1-x)，
所以，0<f(x0)=2x0(1-x0) ．
故-+>0(2)
反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=s i nθ>0，f(1)=c osθ>0，且x∈(0，1)时，f(x)≥2x(1-x)>0．
先在［0,2π］中解(1)与(2)：
由cosθ>0,s i nθ>0，可得0<θ<.
又-+>0,>,
si n2θ>, si n2θ>,
注意到0<2θ<π，故有<2θ<,
所以，<θ< .
因此，原题中θ的取值范围是2kπ+<θ<2kπ+,k∈Z．
20. (12分)定义：称为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设,试判定数列的单调性；
(3)设,试求数列的前项和．
参考答案：
略
21. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）解方程：；
（2）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．
参考答案：
（1）令，则，
解得或………………………………………………………3分
即或，解得或.……………………6分
（2）由题意可知，方程的两个根为和，………8分
且则由韦达定理可得……………………………10分
于是不等式为，
则其解集为．……………………………………14分
22.
已知二次函数．
（1）若a>b>c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使池f（m）=－a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；
（3）若对，方程有2个不等实根，．
参考答案：
解析:（1）
的图象与x轴有两个交点.
（2）的一个根，由韦达定理知另一根为
在（1，+∞）单调递增，，即存在这样的m使
（3）令，则是二次函数.
的根必有一个属于.。