静电场高斯定律(听课笔记)

高斯定律反应了静电场是有源场：从电量为 q 的正电荷总是 反射出 q/0 条电场线，周围的电荷只能改变电场线的分布情 况，但不能改变该点电荷射出的电场线的总条数。 在已知电场分布的情况下，可根据高斯定律求出任意区域内 的电荷；当电荷分布具有某种对称性时，也可利用高斯定律 求出电场分布。 2011级统计学 周秘
利用场强叠加原理，可求出更多带电体的电场分布 1. 两平行的无限大带电平板； 2. 带小缺口的细圆环；
1
2

3. 带圆孔的无限大平板；
4. 带有空腔的圆柱体。

O a O’
R
2011级统计学 周秘
静电场
E r dS S’
方向沿径矢向外
与整个球面电量都集中在球心时的场强相同 当 r < R 时，选取高斯面 S’，由高斯定律:
1 SE dS 0 q内 '
E 4r 2 0
E
E 0
( r R)
r
2011级统计学 周秘
例 2 求均匀带电球体 (q>0, R) 的电场分布。 解：选如图所示同心球形高斯面， r > R 时，利用高斯定律，得 q O R
2011级统计学 周秘
11.4 静电场的高斯定理(Gauss’s Law) 11.4.1 电场线 (Electric Field Line and Electric Flux)
一、电场线 (Electric Field Line）
用一族假想的空间曲线形象描述场强分布
曲线上每一点的切线方向表示 该点场强的方向； 曲线的疏密表示场强的大小。
E
电场线
dN E dS
电场线数
电场线数密度
dS
E
电场中某点电场强度的大小等于该点处的电场线数密度
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电场线的性质
电场线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于负电 荷(或无穷远)，不会在没有电荷处中断； 没有电荷处，两条电场线不会相交； 静电场的电场线不会形成闭合曲线。
r
E dS
q S
E
q
4 0 r
e 2 r
通过面元 dS 的电通量：
d e E dS EdS
q
q 4 0 r
2
2
dS
电场线
通过球面S的电通量：
e E dS
S
4 0 r q q q 2 dS 4r 2 S 2 4 0 r 4 0 r 0
正点电荷
等量正负点电荷
均匀带电直线
描绘电场线的目的在于能形象地反映电场中场强的情况， 并非电场中真有这些实在的线。
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电偶极子
一对等量正点电荷
一对异号不等量点电荷
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平板电容器
11.4.2 电通量 (Electric Flux) 1. 定义：通过任一面的电场线条数
O
0
R
E
O
R
r
例4：求无限大均匀带电平面的电场分布。已知带电平面面电荷
密度为 (
解：
0) 。
由平面对称性可知，与平面等远处 的场强大小相等，平面两侧场强方 向应垂直于平面，且指向外。 作如图所示柱状高斯面，由高斯 定律： 1 E dS qin
S

r
S侧
E
.
S底
E
0
S 左底 E dS 右底 E dS 0 0
S 2E S 0
E 2 0
即带电平面两侧的电场是垂直于平面的均匀场， 当 > 0 时，E 的方向远离平面； E 当 < 0 时， 的方向指向平面。 2011级统计学 周秘
用高斯定律求场强的一般步骤：
d e EdS EdS cos dS dSen E dS E endS EdS cos d e E dS
2. 通过任意曲面的电通量怎么计算？
en
dS
θ θ
dS
E
把曲面分成许多个面积元
每一面元处视为匀强电场
q 4 0 r
2 2011级统计学 周秘
O
R
r
ˆ r
(r R)
例 3：求均匀带电无限长圆柱体 (λ, R) 的电场分布。 解：选长为 l 的同轴柱形高斯面， r > R 时，利用高斯定律：

S
qin E dS
l
l E 2 rl 0 0 0
1 r 2l r < R 时： E 2 rl 0 0 l 2 0 R l r , rR 2 2 0 R 电场矢量： E ˆ r, r R 2 0 r 2011级统计学 周秘
S
E i dS 0
1 e E dS
S
0
q
内
推论：对任意连续电荷分布 高斯定律亦成立。
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1 E dS
S
0
q
内
高斯定律可从库仑定律严格导出，它是平方反比规律的必然结 果。但库仑定律只适用于静止点电荷产生的电场，而高斯定律 则是关于电场的普遍的基本规律 (适用运动电荷的电场)。 高斯定律中的 E是封闭曲面上各点的场强，是由面内和面外 所有电荷共同产生的，不只由封闭面内电荷所产生。但通过 封闭曲面的总电通量只取决于它所包围的电荷。
1 E dS
S
0
q
内
高斯定理是静电场的基本定理之一，它给出了场强对 封闭曲面的通量和场源间的关系，并非场强本身与源 的关系。 高斯定理反映了静电场为有源场（电场线由正电荷 发出，并汇聚于负电荷）。
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二、证明
1.只有一个点电荷且闭合曲面为以点电 荷为球心的球面； 半径为r的球面上的场强：
3. 点电荷在闭合曲面外 进出 S’’ 的电场线的条数相等，净通 量为零，故通过曲面 S’’的电通量：
e E dS 0
S ''
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q
S’’
4. 场源电荷为多个点电荷
E E1 E2 E n Ei i 1 n e E dS E i dS

O+
P r r
a
O-
E r 3 0 E r 3 0
E E E (r r ) a 3 0 3 0 2011级统计学 周秘
空腔内电场为匀强电 场，大小与电荷密度 和球心距离成正比， 方向平行于球心连线
n

i 1
S j

S
j
E i dS
S
i 1
S
i j 1

n
S
E i dS
0 0
. . . . .
q1
qn
q2
. .. . .
qj
S
.. . .
qj+1

i 1
Hale Waihona Puke j qi 1 E i dS i 1

q内
i j 1

n
S
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dS
这一结果与球面半 径 r 无关，只与它 所包围的电荷电量 q 有关。
2. 曲面为任意闭合面且点电荷在曲面内
穿过球面 S 的每一条电场线必然 通过曲面 S’，反之亦然，故通过 曲面 S’ 的电通量：
S’ S
q
q e E dS
S'
0
电场线 电场线
1. 对称性分析：根据电荷分布对称性分析电场对称性。
2. 选择适当的闭合积分曲面作为高斯面：电场垂直于 或密切于高斯面。垂直于高斯面的电场应当有相同 的值，其通量就等于场强的量值和面积的乘积；密 切于高斯面的电场提供的通量为零。
3. 利用高斯定律计算 E ：在有些问题中，闭合面内的
净电荷也要用积分计算。 4. 如果整个系统没有明显的对称性，而局部具有高度 的对称性，可将高斯定律应用于局部，然后将计算 出来的各局部电荷产生的场强进行叠加。
e E dS
S
规定：面元法线方向由闭合面内指向面外
电场线穿入
电场线穿出
E dS 0 E dS 0
通过整个闭合曲面的电通量就等于净穿出 封闭面的电场线的总条数。 2011级统计学 周秘
11.4.2 高斯定理 (Gauss Law)
一、高斯定律
在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于 该封闭曲面所包围的电荷的电量的代数和的1/ε 0倍。
11.5 利用高斯定理求静电场的分布
1 E dS
S
0
q
内
若 Q 的分布具有某种对称性，则用高斯定 律求场强很方便。
常见的电量分布的对称性：
球对称
均 匀 带 电 的 点电荷 球 面 球 体
柱对称
带电线 柱 面 柱 体 无限 长
面对称
平 面 平 板
无限 大
场强具有相同对称性，其方向平行或垂直于高斯面，且在垂直 的高斯面上场强处处相等，这样面积分下的 E 可直接提到积分 号外。
2011级统计学 周秘
例 1 求均匀带电球面的电场分布。设球面半径为 R， 球面上所带总电量为 q (q>0)。
解: 当 r > R 时，选取球形高斯面S， 由高斯定律:
S
1 SE dS 0 q内 q E (r R) 2 4 0 r
E dS
S
1
0
q
R
q
E dS
S
e d e E dS
S
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d e E dS
可正可负
取决于面元的法线方向的选取
θ 是锐角， E dS 0
θ
dS
E
θ θ
E dS
是钝角， E dS 0
通过闭合曲面的电通量
2011级统计学 周秘
例5 均匀带电球体 (R, ρ > 0)，现从球内挖去一半径为 r < R 的球体，求证由此形成的空腔内的电场是均匀 的，并求其值。
解：由电场叠加原理，有空腔的带电球体 内电场＝带正电的未挖球体电场＋以体电 荷密度相等的负电荷充满空腔形成的带电 球体的电场。
大球体生成的电场 小球体生成的电场 合场强为
qin S E dS 0
r < R 时，
E
q 4 0 r 2
E
4 r3 1 qr r 2 3 E 4 r q 4 3 E 3 0 3 R 4 0 R 3 0
q
写成矢量形式
E
r r (r R) 3 4 0 R 3 0