江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数
学试题
一、单选题
1．已知()2,1,3a =-r ，()4,,2b y =-r ，且
()
a a
b ⊥+r
r r ，则y 的值为（ ） A ．6 B ．10 C ．12 D ．14
二、多选题
2．已知向量()1,01a =-r ,，则下列向量中与a r
成60o 夹角的是（ ）
A ．()1,1,0-
B ．()1,1,0-
C ．()2,2,0-
D ．()2,2,0-
三、单选题
3．在函数ln y x x =，cos y x =，2x y =，ln y x x =-中，导函数值不可能取到1的是（ ） A ．ln y x x = B ．cos y x = C ．2x y =
D ．ln y x x =-
4．在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =1，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
＝（ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．不确定
5．当1x =时，函数()ln b
f x a x x
=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1-
B ．12
-
C ．12
D ．1
6．如图，在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，5,3,7AB AD AA ==='，60BAD ∠=︒，
45BAA DAA ∠∠'=='︒，则AC '的长为（ ）
A B
C D 7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x 的导函数为()'f x ，若()'
cos f x x ≥ 恒成立，
则()sin f x x ≥的解集为（ ） A ．[)π,-+∞
B ．[)π,+∞
C ．π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．[)0,+∞
8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则cos α的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
四、多选题
9．设空间两个单位向量()(),,0,0,,OA m n OB n p ==u u u r u u u r 与向量()1,1,1OC =u u u r 的夹角都等于π4
，则
cos AOB ∠=（ ）
A B
C D 10．已知()e x
x
f x =
，下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 在x =1处的切线方程为e 10y -=
B ．单调递减区间为()1,∞+
C ．()f x 的极小值为1
e
D ．方程2024()1f x =有两个不同的解
11．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的《高等数学》与《数学分析》教材中，对“初等函数”给出了明确的定义，即初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，如函数()(0)x f x x x =>，我们可以作变形：()()ln ln e e e ,ln x
x x x x t f x x t x x =====，所以()f x 可看作
是由函数()e t h t =和ln t x x =复合而成的，即()(0)x f x x x =>为初等函数．根据以上材料，关于初等函数1
()(0)x h x x x =>的说法正确的是（ ）
A ．无极小值
B ．有极小值1
C ．无极大值
D ．有极大值1
e e
五、填空题
12．已知向量(0,1,1),(4,1,0)||a b a b λ=-=+r r r r
，λ=.
13．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90︒，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为．
14．若关于x 的不等式()()e 1ln e 1x
a x a -+≥-在[]0,1x ∈内有解，则实数a 的取值范围是．
六、解答题
15．已知函数()322
f x x ax bx a =+-+，在x =1时取得极小值10.
(1)求函数()f x 的解析式;
(2)求函数()f x 在区间[]1,3-上的最值.
16．如图，直三棱柱111ABC A B C -内接于圆柱，AC 为圆柱底面的直径，12AB AA BC ===，M 为11AC 中点，N 为1CC 中点.
(1)求直线BM 与平面1A BC 所成角的正弦值
(2)若求平面1A BC 与平面BMN 所成锐二面角的余弦值．
17．已知函数()()e 1x
f x ax a =--∈R .
(1)若a 为常数，求曲线y =f (x )在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的单调性；
(3)判断0.314e 与1.314的大小关系，并说明理由.
18．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PAD V 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．
(1)取线段PA 中点M ，连接BM ，判断直线BM 与平面PCD 是否平行并说明理由； (2)求B 到平面PCD 的距离；
(3)线段PD 上是否存在一点E ，使得平面EAC 与平面DAC
求出
PE
PD
的值；若不存在，请说明理由． 19．已知函数()21
ln ,,,f x a x mx bx m a b x
=+--均为实数，()f x '为()f x 的导函数.
(1)当1,0,2a m b =-==时，求函数()f x 的单调区间; (2)当2,1a m ==-时，若函数()1y f x x =+与直线y bx b =--在1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个不同的交点，求实数b 的取值范围.
(3)当0,0a m >=时，已知()()1212,0,x x x x ∞∈+≠，若存在b ∈R ，使得()()12f x f x =成立，求证:()()120f x f x ''+>.。