最新高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第一章 集合与常用逻辑用语 2 Word版含答案

考点测试2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、基础小题
1．命题“若a∉A，则b∉B”的否命题是( )
A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∈B
C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∈A
答案 B
解析由原命题与否命题的定义知选B.
2．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝0
B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
答案 D
解析写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．3．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为( ) A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
答案 C
解析根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2＋3x－4＝0，得x＝－4或1，故选C.
4．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )
A．真命题与假命题的个数相同
B．真命题的个数一定是奇数
C．真命题的个数一定是偶数
D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
答案 C
解析在原命题与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数．
5．设A，B是两个集合，则“x∈A”是“x∈(A∩B)”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析如果x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B；但当x∈A，x∉B时，x∉(A∩B)，所以“x∈A”是“x∈(A∩B)”的必要不充分条件，故选B.
6．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“已知a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题
答案 B
解析对于选项A，命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，原命题为真，所以逆否命题为真，逆命题、否命题均为假，故选项D为假命题．综上可知，选B.
7．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为集合N ＝{x |0<x ≤2}是M ＝{x |0<x ≤3}的真子集，故由a ∈M 不能得到a ∈N ，由a ∈N 可以得到a ∈M ，所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要不充分条件．
8．a <0，b <0的一个必要条件为( ) A ．a ＋b <0 B ．a －b >0 C ．a b >1 D ．a b
<－1
答案 A
解析 若a <0，b <0，则一定有a ＋b <0，故选A.
9．在等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 3”是“a 3<a 6”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，若a 1<a 3，则a 1(1－q 2
)<0，因为a 1>0，所以1－q 2
<0，故q >1或q <－1，又a 3－a 6＝a 1q 2
(1－q 3
)，若q >1，则a 3<a 6，若q <－1，则a 3>a 6，故充分性不成立．反之，若a 3<a 6，则1－q 3<0，故q >1，则a 1<a 3，必要性成立，故“a 1<a 3”是“a 3<a 6”的必要不充分条件，选B.
10．若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 是r 的________．(填“否命题”“逆命题”或“逆否命题”)
答案 逆否命题
解析 由4种命题的相互关系，可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题． 11．若“x ∈或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 答案 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线a ，b 相交，设交点为P ，则P ∈a ，P ∈b .又a ⊂α，b ⊂β，所以P ∈α，
P ∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能异面或平行．故
“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
14．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 |a ＋b |＝|a －b |⇔|a ＋b |2
＝|a －b |2
⇔a ·b ＝0.而|a |＝|b |⇒/ a ·b ＝0，且a ·b
＝0⇒/ |a |＝|b |，故选D.
15．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n
－1
＋a 2n <0”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0，则a 1＋a 2<0，又a 1>0，所以a 2<0，所以q ＝
a 2
a 1
<0；若q <0，可取q ＝－1，a 1＝1，则a 1＋a 2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n ，a 2n －1＋
a 2n <0.所以“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件．故选C.
16．设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2
≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
y ≥x －1，y ≥1－x ，
y ≤1，则
p 是q 的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 如图作出p ，q 表示的区域，其中⊙M 及其内部为p 表示的区域，△ABC 及其内部(阴影部分)为q 表示的区域，故p 是q 的必要不充分条件．
17．“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 ∵sin α＝cos α⇒tan α＝1⇒α＝k π＋π
4，k ∈Z ，又cos2α＝0⇒2α＝2k π＋
π2或2k π＋3π2(k ∈Z )⇒α＝k π＋π4或k π＋3π4(k ∈Z )，∴sin α＝cos α成立能保证cos2α＝0成立，但cos2α＝0成立不一定能保证sin α＝cos α成立，∴“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．
18．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b
>3”是“log a 3<log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 “3a >3b
>3”等价于“a >b >1”，“log a 3<log b 3”等价于“a >b >1或0<a <1<b 或0<b <a <1”，从而“3a >3b
>3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．故选B.
三、模拟小题
19．已知p ：a <0，q ：a 2
>a ，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为綈p ：a ≥0，綈q ：0≤a ≤1，所以綈q ⇒綈p 且綈p ⇒/ 綈q ，所以綈p 是綈
q 的必要不充分条件．
20．若p 是q 的充分不必要条件，则下列判断正确的是( ) A ．綈p 是q 的必要不充分条件 B ．綈q 是p 的必要不充分条件 C ．綈p 是綈q 的必要不充分条件 D ．綈q 是綈p 的必要不充分条件 答案 C
解析 由p 是q 的充分不必要条件可知p ⇒q ，q ⇒/ p ，由互为逆否命题的两命题等价可得綈q ⇒綈p ，綈p ⇒/ 綈q ，∴綈p 是綈q 的必要不充分条件．故选C.
21．设集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x ||x |≥1}，则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( ) A ．－1<x ≤1 B ．x ≤1 C ．x >－1 D ．－1<x <1
答案 D
解析 由题意可知，x ∈A ⇔x >－1，x ∉B ⇔－1<x <1，所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是－1<x <1.故选D.
22．已知集合A ＝{1，m 2
＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 A ∩B ＝{4}⇒m 2
＋1＝4⇒m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．
23．若f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( )
A ．t ≤－1
B ．t >－1
C ．t ≥3
D ．t >3
答案 D
解析 P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为函数f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x ＋t <2}＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则有2－t <－1，即t >3，选D.
24．已知函数f (x )＝
1
3x －1
＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填写)
答案 充要
解析 若f (x )＝1
3x －1
＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，
∴13－x －1＋＋13x －1＋a ＝2a ＋3x
1－3x ＋13x －1＝0，即2a ＋3x
－1
1－3x ＝0，
∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝1
2.∴“f (1)
＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题
1．已知命题p ：对数log a (－2t 2
＋7t －5)(a >0，a ≠1)有意义；q ：关于实数t 的不等式
t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.
(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；
(2)若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由对数式有意义得1<t <5
2
.
(2)∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴1<t <52是不等式t 2
－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解
集的真子集．
解法一：因方程t 2
－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0两根为1，a ＋2，故只需a ＋2>52，解得a >12.
解法二：令f (t )＝t 2
－(a ＋3)t ＋(a ＋2)，因f (1)＝0，故只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<0，解得a >12.
2．已知条件p ：|5x －1|>a 和条件q ：
1
2x 2
－3x ＋1
>0，请选取适当的实数a 的值，分别
利用所给出的两个条件作为A ，B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．
解 已知条件p 即5x －1<－a 或5x －1>a ， ∴x <1－a 5或x >1＋a
5
.
已知条件q 即2x 2
－3x ＋1>0，∴x <12或x >1；
令a ＝4，则p 即x <－3
5或x >1，
此时必有p ⇒q 成立，反之不然．
故可以选取一个实数是a ＝4，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q . 3．已知命题p ：⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
1－
x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2
≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．
解 解法一：由⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪
1－
x －13≤2，得－2≤x ≤10，
∴綈p ：A ＝{x |x >10或x <－2}．
由x 2
－2x ＋1－m 2
≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， ∴綈q ：B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，
∴B A ⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，1－m ≤－2，
1＋m ≥10，
解得m ≥9.
解法二：∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴q 是p 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件．
由x 2
－2x ＋1－m 2
≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． ∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 又由⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
1－
x －13≤2，得－2≤x ≤10，
∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．
∴P Q ⇔⎩⎪⎨⎪
⎧
m >0，1－m ≤－2，
1＋m ≥10，
解得m ≥9.
4．已知集合P ＝{x |x 2
－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m }． (1)若(P ∪S )⊆P ，求实数m 的取值范围；
(2)是否存在实数m ，使得“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 由x 2
－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．
由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． (1)要使(P ∪S )⊆P ，则S ⊆P . ①若S ＝∅，此时m <0.
②若S ≠∅，此时⎩⎪⎨⎪
⎧
m ≥0，1－m ≥－2，
1＋m ≤10，
解得0≤m ≤3.
综合①②知实数m 的取值范围为(－∞，3]．
(2)由题意“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件，则S ＝P ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
1－m ＝－2，
1＋m ＝10，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3，
m ＝9，
∴这样的m 不存在．。