新版精选2019高考数学《导数及其应用》专题考核题完整版(含答案)

2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．函数()()1n
m f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是（ ）
（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==（2011安徽理10） 二、填空题
2．已知3
2
()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为____________
3．已知2()2f x x a =+与3()g x x bx =+的图象在1x =处有相同的切线， 则a b += ▲ .
4．设m R ∈，若函数2()x
y e mx x R =+∈有大于零的极值点，则m 的取值范围是__▲______．
5．（文）已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1
2x ＋2，则f (1)＋f ′(1)
＝________ . 6． 已知函数bx ax x x f -+=
23
3
1)(（R b a ∈,），若)(x f y =在区间[]2,1-上是单调减函数，则b a +的最小值为 ▲ .
7． 已知函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线为y =2x -1，则函数2
()()g x x f x =+在点
(2,(2))g 处的切线方程为 ▲ ．
8．设m R ∈，已知函数2
2
()2(12)32f x x mx m x m =--+-+-，若曲线()y f x =在
0x =处的切线恒过定点P ，则点P 的坐标为 。

9．已知函数f (x )＝x 3－3x 的图象与直线y ＝a 有相异三个公共点，则a 的取值范围是________．
[答案] (－2,2)
[解析] 令f ′(x )＝3x 2－3＝0得x ＝±1， 可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2， y ＝f (x )的大致图象如图
观察图象得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．
10．设函数()2
ln f x x x =+，若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线
方程为y ax b =+，则a b += ▲ ．
11．曲线C ：()sin e 2x
f x x =++在x=0处的切线方程为
12．若函数b bx x x f 36)(3
+-=在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是 ▲ ．
13．若函数ｆ（ｘ）＝ ｘ3
＋ａｘ－２在区间（１,＋∞）上是增函数，则实数ａ的取值范围为__________
14．已知函数3
()3f x x x =-,求函数()f x 在3[3,]2
-上的最大值和最小值.
15．设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：（1）方程0)(=-x x f 有实数解； (2）函数)(x f 的导数)('x f 满足0＜)('x f ＜1．给出如下函数：①4
sin 2)(x x x f +=； ②x x x f tan )(+=，)2
,2(π
π-
∈x ；③1log )(3+=x x f ，),1[+∞∈x ．其中是集合M
中的元素的有 ．（只需填写函数的序号）
三、解答题
16．已知函数325
()2f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ．
（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；
（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，求实数b 的取值范围；
（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k ．问：是否存在常数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(本小题满分16分)
17．经销商用一辆J 型卡车将某种水果运送（满载）到相距400km 的水果批发市场。

据测 算，J 型卡车满载行驶时，每100km 所消耗的燃油量u （单位：L ）与速度v （单位：km/h ）
的关系近似地满足2
100
23050
2050
500
v v
u v v ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，除燃油费外，人工工资、车损等
其他费用平均每小时300元。

已知燃油价格为7.5元/L 。

（1）设运送这车水果的费用为y （元）（不计返程费用），将y 表示成速度v 的函数关系式；
（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？（本题满分16分）
18．已知函数f (x )＝ax 2－(4a ＋2)x ＋4ln x ，其中a ≥0． （1）若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； （2）讨论函数f (x )的单调性．（本题满分10分）
19．已知函数()ln a
f x x x x
=--
，a ∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的极大值； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）当1a >时，设函数()(1)11
a
g x f x x x =-+-+
-，若实数b 满足：b a >且 ()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求证：45b <<．（本小题满分16分）
20．函数()f x 是在（0,+∞）上每一点处可导的函数，若()()xf x f x '>在x ＞0上恒成立. （1）求证：函数()
()f x g x x
=
在（0,+∞）上是增函数； （2）当120,0x x >>时，证明：()()()1212f x f x f x x +<+ ；
21．已知函数2
()ln(1),()f x ax x a R =++∈．
（Ⅰ）设函数(1)y f x =-定义域为D ①求定义域D ；
②若函数41()[()ln(1)]()h x x f x x x x
=+-++2(0)cx f '++在D 上有零点，求22
a c +的最小
值； (Ⅱ) 当12
a =
时，2
()(1)(1)(1)2g x f x bf x ab x a '=-+---+，若对任意的],1[e x ∈，都有2
()2g x e e
≤≤恒成立，求实数b 的取值范围；（注：e 为自然对数的底数） （Ⅲ）当[0,)x ∈+∞时，函数()y f x =图象上的点都在0,
x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求
实数a 的取值范围．(本小题满分16分)
22．设函数2
()(2)ln f x x a x a x =---．
（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；
（3）若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12
()02
x x f +'>．（本小题满分16分）
23．记函数()()
*1,n n f x a x a R n =⋅-∈∈N 的导函数为()n f x '，已知()3212f '=． (Ⅰ)求a 的值．
(Ⅱ)设函数2()()ln n n g x f x n x =-，试问：是否存在正整数n 使得函数()n g x 有且只有一个零点？若存在，请求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．
(Ⅲ)若实数0x 和m (0m >，且1m ≠)满足：()()()()
0101n n
n n f x f m f x f m ++'='，试比较0x 与m 的大小，并加以证明．
24．已知函数()x
x x f ln = (1)求()x f 的单调区间；
(2)若关于x 的不等式mx x <ln 对一切[]()02,>∈a a a x 都成立，求m 范围；
(3)某同学发现：总存在正实数(),,b a b a <使a
b b a =，试问：他的判断是否正确；若正确，请写出a 的范围；不正确说明理由．
25．已知函数32
()f x x ax b =-++(),a b ∈R ． （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．（本小题满分14分）
关键字：多项式；求单调区间；分类讨论；已知零点个数
26．已知函数cx bx x x f ++=23)(在1=x 处的切线方程为0126=--y x ，)('x f 为
)(x f 的导函数，x e a x g ⋅=)(（a ，b ，R c ∈）.
（1）求b ，c 的值；
（2）若存在(]2,00∈x ，使)()(0'0x f x g =成立，求a 的范围.
27．设2()(1)x f x e ax x =++，且曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线与x 轴平行。

（I ）
求a 的值，并讨论f （x ）的单调性； （II ） 证明：当[0,]f(cos )f(sin )22π
θθθ∈-<时， （2009辽宁卷文）
（本小题满分12分）
28．已知函数x ax x f ln )(+=，),1(e x ∈，且)(x f 有极值．
(1）求实数a 的取值范围； (2）求函数)(x f 的值域；
(3）函数2)(3--=x x x g ，证明：),1(1e x ∈∀，),1(0e x ∈∃，使得)()(10x f x g =成
立．
29．已知函数ln ().x y f x x
== （Ⅰ）求函数()y f x =的图象在1e x =
处的切线方程； （Ⅱ）求()y f x =的最大值；
19.
30．设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x
=-+++． (Ⅰ）求f (x )的单调区间和极值；
(Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为（0，+∞）？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．（辽宁卷22）
本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．。