2019-2020学年汕头市数学高二第二学期期末考试试题含解析

2019-2020学年汕头市数学高二第二学期期末考试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．已知函数()f x 在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，命题p ：总存在(,)c a b ∈，有()0f c =；命题q ：若函数()f x 在区间(,)a b 上有()(0)f a f b <，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要
2．若0,0a
b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2-x +1≥1．命题q ：若a 2＜b 2，则a ＜b ，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．p q ￢∧
C ．p q ∧￢
D ．p q ∧￢￢
4．()
5
2x x y ++的展开式中，33x y 的系数为（ ） A ．10
B ．20
C ．30
D ．60
5．设函数2()ln()f x e x =-，集合(){}(){}
|,|A x y f x B y y f x ====，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A ．[,1]e -
B ．(,1)e -
C ．(,](1,)e e -∞-⋃
D ．(,)(1,)e e -∞-⋃
6．执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内应填入的条件是( )
A ．4k >
B ．5k >
C ．6k >
D ．7k >
7．若()()20n
ax a +≠的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a 的取值范
围为（ ）
A ．()[],02,3-∞U
B ．()11,0,32⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦
U
C ．[]2,3
D ．11,32
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
8．已知集合M ＝{x|(x －1)2＜4，x ∈R}，N ＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N ＝（ ） A ．{0，1，2}
B ．{－1，0，1，2}
C ．{－1，0，2，3}
D ．{0，1，2，3}
9．在极坐标系中，点()M 1,0关于极点的对称点为( ) A ．()1,0 B ．()1,π-
C ．()1,π
D ．()1,2π
10．若复数z 满足20171z
i i
=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i -
B ．1i +
C ．1i --
D ．1i -+
11．已知()()5
212ax x +- 的展开式中，含2x 项的系数为70，则实数a 的值为（ ） A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
12．设0a >，0b >，若21a b +=，则21
a b
+的最小值为 A
．B ．8
C ．9
D ．10
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数()y f x =的图象在点()()
1,1M f 处的切线方程是2y x =+，则()()11f f +'=_________.
14
．二项式6
6ax ⎛+ ⎝⎭
的展开式中5x
2
0a
x dx =⎰________. 15．已知0a >，0b >，当()2
1
4a b ab
++
取得最小值时，b =__________． 16．设随机变量()~2,B p ξ，()~4,B p η，若5
(1)9
P ξ≥=，则D η=___________．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．选修4-4：坐标系与参数方程
点P 是曲线1C ：2
2
(2)4x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90o 得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线3
π
θ=
，（0ρ>）与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，设定点(2,0)M ，求MAB ∆的面积.
18．已知函数f(x)＝aln x ＋
2
1
x + (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求f(x)在x ∈[1，＋∞)内的最小值； (2)若f(x)存在单调递减区间，求a 的取值范围；
(3)求证ln(n ＋1)>
111135721
n +++++L (n ∈N *)． 19．（6分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的方程为2cos 2sin r q q =+，直线2C 的参数方程为1{
1x t y t
=-+=--（t 为参数）.
（1）将1C 的方程化为直角坐标方程；
（2）P 为1C 上一动点，求P 到直线2C 的距离的最大值和最小值.
20．（6分）用数学归纳法证明：
()()()
2222*24(2)221335212121
n n n
n N n n n +++⋯+=∈⋅⋅-++． 21．（6分）已知某条有轨电车运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：220t ≤≤，t ∈N .经测算，
电车载客量()p t 与发车时间间隔t 满足：24002(10)210
()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩
，其中t ∈N .
（1）求(5)p ，并说明(5)p 的实际意义； （2）若该线路每分钟的净收益为6()1500
60p t Q t
-=
-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分
钟的净收益最大？并求每分钟最大净收益.
22．（8分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T ，其范围为[0,10]，分为五个级别，[0,2)T ∈畅通；[2,4)T ∈基本畅通；[4,6)T ∈轻度拥堵；[6,8)T ∈中度拥堵；[8,10]T ∈严重拥堵.早高峰时段（3T ≥），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图.
（1）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（2）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟，中度拥堵为42分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】
利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断. 【详解】
命题p 推不出命题q ，所以充分性不具备；
比如：()2
f x x =，区间为[]
3,2-，满足命题p ，但()()320f f -＞，
根据零点存在性定理可知，命题q 能推出命题p ，所以必要性具备； 故选：C 【点睛】
本题考查充分必要条件，考查零点存在性定理，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取
,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 3．B 【解析】 【分析】
先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定. 【详解】
命题p ：∃x=1∈R ，使x 2-x+1≥1成立．
故命题p 为真命题；
当a=1，b=-2时，a 2＜b 2成立，但a ＜b 不成立， 故命题q 为假命题，
故命题p ∧q ，￢p ∧q ，￢p ∧￢q 均为假命题； 命题p ∧￢q 为真命题， 故选：B ． 【点睛】
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档． 4．B 【解析】 【分析】
将二项式表示为(
)
()5
5
2
2
x x y
x x y ⎡⎤++=++⎣⎦，利用二项展开式通项()525r
r r C x x y -⋅+，可得出3r =，
再利用完全平方公式计算出()
2
2
x x +展开式中3x 的系数，乘以3
5C 可得出结果.
【详解】
()()5
5
2
2
x x y x x y ⎡⎤++=++⎣⎦
Q ，其展开式通项为()525r
r r C x x y -⋅+，由题意可得3r =，
此时所求项为()
()2
2
233
4323552C x x
y C x x x y ⋅+=⋅++，
因此，(
)
5
2
x x y ++的展开式中，33
x y 的系数为35221020C =⨯=，故选B.
【点睛】
本题考查三项展开式中指定项的系数，解题时要将三项视为两项相加，借助二项展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题. 5．C 【解析】 【分析】
根据集合的定义可知A 为()f x 定义域，B 为()f x 值域；根据对数型复合函数定义域的要求可求得集合
A ，结合对数型复合函数单调性可求得()f x 值域，即集合
B ；根据Venn 图可知阴影部分表示()A B
C A B U I ，利用集合交并补运算可求得结果.
【详解】
()()
2ln f x e x =-的定义域为：20e x ->，即：(x ∈ (A ∴=
2y e x =-Q 在()
上单调递增，在(上单调递减
()()
2
ln f x e x ∴=-在()上单调递增，在(上单调递减
()()
max 0ln 1f x f e ∴===；当x →()f x →-∞；当x →()f x →-∞
()f x ∴的值域为：(],1-∞ (],1B ∴=-∞
图中阴影部分表示：()A B C A B U I
又(A B =-∞U ，(A B ⎤=⎦I ()((,A B C A B ∴=-∞U I U
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查集合基本运算中的交并补混合运算，关键是能够明确两个集合表示的含义分别为函数的定义域和值域，利用对数型复合函数的定义域要求和单调性可求得两个集合；涉及到Venn 图的读取等知识. 6．B 【解析】 【分析】
分析程序中两个变量和流程图可知，该算法为先计算后判断的直到型循环，模拟执行程序，即可得到答案. 【详解】 程序执行如下
故当6k =时120S =，程序终止，所以判断框内应填入的条件应为5k >. 故选：B. 【点睛】
本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键 7．C 【解析】 【分析】
计算9n =，计算()55469C 2T ax =，()44559C 2T ax =，()6
63
79C 2T ax =，根据系数的大小关系得到
5
45454995456369
9C 2C 2C 2C 2a a a a ⎧≥⎨≥⎩，解得答案. 【详解】
2512n =，9n =，()5
5469C 2T ax =，()4
4559C 2T ax =，()6
63
79C 2T ax =，
Q 第6项的系数最大，5
45454
995456369
9C 2C 2,C 2C 2,a a a a ⎧≥∴⎨≥⎩，则23a ≤≤. 故选：C . 【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8．A 【解析】
试题分析：求出集合M 中不等式的解集，确定出M ，找出M 与N 的公共元素，即可确定出两集合的交集． 解：由（x ﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x ＜3，即M={x|﹣1＜x ＜3}， ∵N={﹣1，0，1，2，3}， ∴M∩N={0，1，2}． 故选A
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 9．C 【解析】
分析：在极坐标系中，ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）． 详解：∵ρθ（，）关于极点的对称点为ρπθ+（，）．，
∴()M 1,0关于极点的对称点为()1,π． 故选：C ．
点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用． 10．A 【解析】 【分析】 【详解】 由
2017i 1i
z
=-，得()()()50420174i 1i i i 1i 1z i =-=-=+，则1i z =-，故选A.
11．A 【解析】 【分析】 【详解】
分析：由题意结合二项式展开式的通项公式得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值.
详解：()5
12x -展开式的通项公式为：()()15522r
r
r
r r r T C x C x +=-=-，
由于()()()()555
21221212ax x x ax x +-=-+-，
据此可知含2x 项的系数为：()()2
1
21552228010C a C a ⨯-+-=-,
结合题意可知：801070a -=，解得：1a =. 本题选择A 选项.
点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 12．C 【解析】 【分析】
根据题意可知，利用“1”的代换，将21a b +化为()2()21
a b
a b ++，展开再利用基本不等式，即可求解出答案。

【详解】
由题意知，0a >，0b >，且21a b +=，则
()212122()5925b a a b a b a b b a ++=+=++≥+= 当且仅当22b a a b =时，等号成立，21
a b
+的最小值为9，故答案选C 。

【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式的性质求最值的问题，若不满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等。

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．4 【解析】
∵函数()y f x =的图象在点()()
1,1M f 处的切线方程是2y x =+
∴(1)1f '=，()1123f =+= ∴()()114f f +'= 故答案为4 14．
13
【解析】
分析：先根据二项展开式的通项求得5x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．
详解：二项式6
6ax ⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
的展开式的通项为666166()(),0,1,2,,6r r r r r r r
r T C ax a C x r ---+===L ， 令1r =，可得5x
的系数为51
566
a C ⋅=，
5= 解得1a =．
∴1
2
3100
11|33
x dx x =
=⎰
． 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解． 15．
14
【解析】 【分析】
根据均值不等式知，4a b +≥=，即()2
416a b ab +≥
，再由
41684ab a b +
≥=⋅即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】
4a b +≥=Q 4a b =等号成立）， ()2
416a b ab ∴+≥（当且仅当4a b =等号成立）
， ()2
444a b a b ∴++≥
⋅8=（当且仅当4a b =等号成立）， ()2
24
281a a a
∴+
=⇒=.
故答案为14
b =. 【点睛】
本题主要考查了均值不等式，不等式等号成立的条件，属于中档题. 16．
89
【解析】 【分析】 由5
(1)9
P ξ≥=求出p ，然后即可算出D η 【详解】
因为()~2,B p ξ，5(1)9
P ξ≥=
所以2
5(1)1(1)1(1)9
P P p ξξ≥=-<=--= 解得13p =
，所以1~4,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭
所以128
4339
D η=⨯⨯= 故答案为：89
【点睛】
本题考查的是二项分布的相关知识，较简单. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（Ⅰ）4cos ρθ=,4sin ρθ=;（Ⅱ）3- 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
（Ⅱ）M 到射线3
π
θ=
的距离为2sin
3
d π
==B A AB ρρ=-可求得S
试题解析：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． 设(),Q ρθ，则,2P πρθ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
，则有4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫
=-
= ⎪⎝
⎭
． 所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．
（Ⅱ）M 到射线3
π
θ=
的距离为2sin
3
d π
==
)
4sin cos 2
133B A AB π
πρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝
⎭，
则1
32
S AB d =
⨯=
18．（1）最小值为f(1)＝1.（2）a<
12
.（3）见解析 【解析】 试题分析：（1）可先求f′（x ），从而判断f （x ）在x ∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f （x ）在x ∈[1，+∞）最小值；
（2）求h′（x ），可得22222(1)()(1)(1)
a ax a x a f x x x x x +-+'=-=++，若f （x ）存在单调递减区间，需h′（x ）＜0有正数解．从而转化为：2
2(1)0ax a x a +-+<有x ＞0的解．通过对a 分a=0，a ＜0与当a ＞0三种情况讨论解得a 的取值范围； （3）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln （n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒
1ln 23>，即1n =时命题成立；设当n=k 时，命题成立，即111ln(1)3521
k k +>++++L 成立，再去证明n=k+1时，1111ln(2)352123
k k k +>++++++L 成立即可（需用好归纳假设）． 试题解析：（1）2()ln 1
f x x x =++，定义域为(0,)+∞． 222
121'()0(1)(1)x f x x x x x +=-=>++Q ()f x ∴在(0,)+∞上是增函数．
min ()(1)1f x f ==．
（2）因为222
22(1)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +-+'=-=++ 因为若()f x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有正数解．
即2
2(1)0ax a x a +-+<有0x >的解
当0a =时，明显成立 ．
②当0a <时，22(1)y ax a x a =+-+开口向下的抛物线，22(1)0ax a x a +-+<总有0x >的解； ③当0a >时，22(1)y ax a x a =+-+开口向上的抛物线，
即方程22(1)0ax a x a +-+=有正根．
因为1210x x =>，
所以方程22(1)0ax a x a +-+=有两正根．
当1x ≥时，()(1)1f x f ≥=；
120{0x x ∆>+>，解得102
a <<． 综合①②③知：12
a <
． 或： 22(1)0ax a x a +-+<有0x >的解
即2(21)a x x x ++<有0x >的解， 即2(21)
x a x x <++有0x >的解， 2(21)x a x x <++的最大值(0)x >，12
a ∴< （3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1
x x x ->+． 令1k x k +=，则有11ln 21k k k +>+，1111ln 21
n n k k k k k ==+∴>+∑∑． 11ln(1)ln
n k k n k
=++=∑Q ， 111ln(1)3521
n n ∴+>++++L ． (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．
3ln 2ln81=>Q ，1ln 23
∴>，即1n =时命题成立． 设当n k =时，命题成立，即111ln(1)3521
k k +>++++L ． 1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln 35211
k k k +>++++++L ． 根据（Ⅰ）的结论，当1x >时，2ln 11x x +>+，即1ln 1
x x x ->+． 令21k x k +=+，则有21ln 123
k k k +>++， 则有1111ln(2)352123
k k k +>++++++L ，即1n k =+时命题也成立． 因此，由数学归纳法可知不等式成立．
考点：1．利用导数求闭区间上函数的最值；2．利用导数研究函数的单调性；3．数学归纳法． 19．（1）()()22
112x y -+-=（2
）最大值是
.
【解析】
分析：（1）利用极坐标公式化成直角坐标方程.(2)先求出直线2C 的直角坐标方程为20x y ++=，再利用
圆心到直线的距离求P 到直线2C 的距离的最大值是32和最小值是2. 详解：（1）因为曲线1C 的方程为2cos 2sin ρθθ=+，则22cos 2sin ρρθρθ=+，
所以1C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即()()22
112x y -+-=. （2）因为直线2C 的参数方程为11x t y t
=-+⎧⎨=--⎩（t 为参数）， 所以直线2C 的直角坐标方程为20x y ++=，
因为圆心()11,1C 到直线2C 的距离1122222d ++=
=>，
则直线与圆相离，
所以所求P 到直线2C 的距离的最大值是32和最小值是2.
点睛：(1)本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答第2问的关键是数形结合.
20．详见解析
【解析】
【分析】
用数学归纳法进行证明，先证明当1n =时，等式成立.再假设当n k =时等式成立，进而证明当1n k =+时，等式也成立.
【详解】 () 1当1n =时，左边43
==右边，等式成立． ()2假设当n k =时等式成立，即()()
222224(2)221335212121k k k k k k +++⋯+=⨯⨯-++ 当1n k =+时，左边
∴当1n k =+时，等式也成立．
综合()()12，等式对所有正整数都成立．
【点睛】
数学归纳法常常用来证明一个与自然数集n 相关的性质，其步骤为：设()P n 是关于自然数n 的命题，（1）(奠基())P n 在1n =时成立；（2）(归纳)在()(P k k 为任意自然数)成立的假设下可以推出()1P k +成
立，则()P n 对一切自然数n 都成立．
21．（1）(5)350p =，实际意义是当电车的发车时间间隔为5分钟时，载客量为350；（2）间隔时间为5分钟时净收益最大，每分钟最大净收益为60元.
【解析】
【分析】
（1）根据()p t 的解析式代入求得()5p ,其意义为某一时刻的载客量.
（2）将()p t 的解析式代入即可求得Q 的解析式.根据基本不等式性质及函数单调性可求得收益的最大值及取得最大收益时的间隔发车时间.
【详解】
（1）因为24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩
所以()2
54002(105)350p =--= ()5p 的实际意义是当电车的发车时间间隔为5分钟时,载客量为350
（2）根据24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩,6()150060p t Q t -=- 则将()p t 的解析式代入Q 的解析式可得
()2640021015006021064001500601020t t t Q t t ⎧⎡⎤---⎣⎦⎪-≤<⎪=⎨⎪⨯--≤≤⎪⎩
化简即可得
30018012210900601020t t t Q t t ⎧⎛⎫-+≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≤≤⎪⎩
当210t ≤<时
, 3001801800261Q t t ⎛⎫-+
≤-= ⎪⎝⎭=,当且仅当5t =时等号成立 当1020t ≤≤时, 06090309006Q t
≤-+==-,当10t =时等号成立 综上可知,当发车时间间隔为5min 时,线路每分钟的收益最大,最大为60元.
【点睛】
本题考查了分段函数的应用,利用基本不等式及函数的单调性求最值,属于基础题.
22．（1）18（2）39.96
【解析】
试题分析：（1）频率直方图中小矩形的面积等于该段的概率，由此可以得出中度拥堵的概率，继而得出这50个路段中中度拥挤的有多少个；
记事件A 为一个路段严重拥堵，其概率()0.110.1P A =⨯=，则()10.1P A =-， 所以三个路段至少有一个严重拥堵的概率为()31-()P A ；
（3）根据频率分布直方图列出分布列，即可求得数学期望.
试题解析：
（1）()0.20.1615018+⨯⨯=，这50路段为中度拥堵的有18个.
（2）设事件A “一个路段严重拥堵”，则()0.110.1P A =⨯=，
事件B 三个都未出现路段严重拥堵，则()33()()(10.1)0.729P B P A ==-=
所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是1()10.7290.271P B -=-=.
（3）由频率分布直方图可得：分布列如下表：
()300.1360.44420.36600.139.96E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟.。