《创新设计》2015-2016学年(人教版,必修二)高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1

图形
符号
作用
一是判断两个

平面相交的依
P∈α，且 据；二是证明 P∈β⇒α∩β＝l 点共线问题的
，且P∈l 依据； (3)证明线共点 问题的依据
课堂讲义
要点一 三种语言的转换 例 1 用符号语言表示下列语句，并画出图形．
(1)三个平面 α，β，γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 相 交于 PA，平面 α 与平面 γ 相交于 PB，平面 β 与平面 γ 相交 于 PC； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC.
A，B，C三点 不共线⇒存在 唯一的平面α 使A，B， C∈α
作用
既可判定直线 和点是否在平 面内，又能说 明平面是无限 延展的
一是确定平 面；二是证明 点、线共面问 题；三是判断 两个平面重合 的依据
预习导学
公理
内容
公理3
如果两个不重 合的平面有一 个公共点，那 么它们有且只 有一条_过__该__点_ _的__公__共__直__线___
直线l
__A_∉_l___ __A_∉_α__ __l⊂__α___
α∩β＝l
预习导学
• 3.平面的基本性质及作用
公理 公理1
内容
如果一条直线 上的_两__点__在 一个平面内， 那么这条直线 在此平面内
公理2
过不在一条直 线上的三点， __有__且__只__有___ 一个平面
图形
符号
A∈l，B∈l， 且A∈α， B∈α⇒__l⊂__α_
高中数学·必修2 人教A版
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
预习导学
• [学习目标] • 1．了解平面的概念及表示方法． • 2．理解平面的公理1，公理2，公理3. • 3．会用符号语言准确表述几何对象的位置关
系．
预习导学
• [知识链接]
课堂讲义
解 (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB， β∩γ＝PC，图形表示如图(1)．
(2)符号语言表示：平面 ABD∩平面 BDC＝BD，平面 ABC∩ 平面 ADC＝AC，图形表示如图(2)．
课堂讲义
•规律方法 (1)用文字语言、符号语言表示一 个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几 条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文 字语言表示，再用符号语言表示． •(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时， 要注意实线和虚线的区别．
预习导学
• (3)平面的表示法 • 图①的平面可表平示面α为___________，平平面面AC
ABCD，_________或平面BD. • 2．点、线、面之间的关系 • (1)直线在平面内的概念：
所有点
• 如果直线l上的___________都在平面α内， 就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上 的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q 三点共线．
课堂讲义
• 证明 ∵MN∩EF＝Q， • ∴Q∈直线MN，Q∈直线EF， • 又∵M∈直线CD，N∈直线AB， • CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD. • ∴M、N∈平面ABCD， • ∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD. • 同理，可得EF⊂平面ADD1A1. • ∴Q∈平面ADD1A1. • 又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD， • ∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．
课堂讲义
设两腰 EG，FH 的延长线相交于一点 P， ∵EG⊂平面 ABC，FH⊂平面 ACD， ∴P∈平面 ABC，P∈平面 ACD， 又∵平面 ABC∩平面 ACD＝AC， ∴P∈AC，故直线 EG，FH，AC 相交于同一点．
Q∈α.
在直线 l 上，如图(2)．
(3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q，如图(3)．
课堂讲义
• 要点二 点线共面问题 • 例2 证明：两两相交且不过同一点的三条直
线在同一平面内．
证明 法一 (纳入法) ∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α. 同理可证 C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
课堂讲义
•规律方法 在证明多线共面时，可用下面的两 种方法来证明： •(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再 证明其他直线在这个平面内． •(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内， 再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明 这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平 面内．
课堂讲义
• 跟踪演练2 已知直线a∥b，直线l与a，b都 相交，求证：过
课堂讲义
跟踪演练 3 如图所示，已知四面体 A－BCD 中，E，F 分 别是 AB，AD 的中点，G，H 分别是 BC，CD 上的点，且GBGC ＝DHHC＝2.求证：直线 EG，FH，AC 相交于同一点．
课堂讲义
证明 ∵E，F 分别是 AB，AD 的中点， ∴EF∥BD 且 EF＝21BD. 又∵GBGC＝DHHC＝2， ∴GH∥BD 且 GH＝31BD， ∴EF∥GH 且 EF>GH， ∴四边形 EFHG 是梯形，其两腰所在直线必相交，
课堂讲义
•规律方法 点共线与线共点的证明方法： •(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即 两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在 两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也 可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他 点也在其上．
•(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一 条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线， 然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还 可先将其中一条直线看作某两个平面的交线， 证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证
课堂讲义
• 跟踪演练1 根据下列符号表示的语句，说明 点、线、面之间
• 的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α， 解B∉(1α)点；A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内，如图(1)． •(2)(直2)线l⊂lα在，平m面∩α α内＝，直A，线 mA∉与l；平面(3α)P相∈交l于，点P∉A，α且，点QA∈不l，
• a，b，l有且只有一个平面． • 证明 如图所示．由已知a∥b，所以过a，b
有且只有一个平面 • α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且
A∈l，B∈l， • ∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．
课堂讲义
• 要点三 点共线与线共点问题 • 例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点
黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来 的．几何里的平面是___________的．
预习导学
•(2)平面的画法 •①水平放置的平面通常画平成行一四个边形 _____________，它的锐角通常2画倍 成45°，且 横边长等于其邻边长的______，如图①. •②如果一个平虚线面被另一个平面遮挡住，为了增 强它的立体感，把被遮挡部分用_____画出 来．如图②.
预习导学
• (2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达 点A在直线l上 点A在平面α内 直线l在平面α内
直线l，m相交于点A
数学符号表示 文字语言表达 数学符号表示
_A__∈__l _ __A_∈__α___ __l_⊂_α_____
l∩m＝A
点A在直线l外 点A在平面α外 直线l在平面α外 平面α、β相交于
课堂讲义
法二 (重合法)∵l1∩l2＝A， ∴l1、l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3 确定一个平面 β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内，又在平面 β 内． ∴平面 α 和 β 重合，即直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
• 1．在同一平面内，两条直线的平位行置关系相有交 __重__合__、_______、_________．
• 2．点和直线的位置点关在系直有线上______点_在__直_线__外_和 ______________．
• [预习导引]
• 1．平面的概念
无限延展
• (1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、