新课标数学(人教A版)必修2 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习题

新课标数学（人教A 版）必修2
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习题
一、选择题
1．【陕西·理】已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等,则正确的结论是
A. 平面ABC 必平行于α
B. 平面ABC 必与α相交
C. 平面ABC 必不垂直于α
D. 存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内 2．【上海·理】若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”
的
（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （C ）充要条件； （D ）非充分非必要条件． 3．【上海·文】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。

在一个正
方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 （A ）48 （B ）18 （C ）24 （D ）36 4．【四川·理】 已知二面角l αβ--的大小为0
60，m n 、为异面直线，且
m n αβ⊥⊥，，则m n 、所成的角为
（A ）0
30 （B ）0
60 （C ）0
90 （D ）0
120 5．【四川·理】 已知球O 半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C
两点的球面距离都是4
π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B C OA --的大小是
（A ）
4π （B ）3π （C ）2π
（D ）23
π 7．【天津·理】设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是
A ．βαβα⊥⇒⊥⊂
⊥n m n m ,, B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,// C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,, D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥
n m n m ,,I
8．【北京·文】设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．
的是 A ．AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
B ．若A
C 与B
D 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC D ．若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC
9．【天津·文】若l 为一条直线，αβγ，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①αγβγαβ⊥⊥⇒⊥，；②αγβγαβ⊥⇒⊥，∥；③l l αβαβ⊥⇒⊥，∥． 其中正确的命题有
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
10．【浙江·理】如图，O 是半径为1的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分
别是大圆弧
»AB 与»
AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是 （A ）4π （B ）3π （C ）2
π
（D ）24π
11．【浙江·文】如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为2，E F 、分别为AB 、A 1C 1的中点，则EF
的长是
（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）7
12．【重庆·文】若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是
（A ）过P 只能作一条直线与平面α相交 （B ）过P 可作无数条直线与平面α垂直 （C ）过P 只能作一条直线与平面α平行 （D ）过P 可作无数条直线与平面α平行 13．【重庆·理】对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l
（A ）平行 （B ）相交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线 14．【福建·理】对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是
（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n
（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 15．【湖北·理】关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：
① 若//m α，//n β且//αβ，则//m n ； ② 若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③ 若m α⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥； ④ 若//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n 。

其中真命题的序号式
A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③ 16．【辽宁·文】给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等，则12,l l 互相平行 ④若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线 其中假命题．．．
的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
17．【全国Ⅱ·理】如图，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面α、β所成的角分别为
4π和6
π。

过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为'A 、B '，则:''AB A B =
（A ）2:1 （B ）3:1 （C ）3:2 （D ）4:3
18．【全国Ⅱ·文】如图（同理科图），平面α⊥平面β，
,,A B AB αβ∈∈与两平面α、β所成的角分别为
4π和6
π。

过A 、B 分别作
两平面交线的垂线，垂足为'A 、B '，若AB=12，则''A B =
（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9
二、填空题
1．【安徽·理】多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个
顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________。

（写出所有正确结论的编号．．） 2．【安徽·文】平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中 有两个顶点到α的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是： ①1； ②2； ③3； ④4； 以上结论正确的为______________。

（写出所有正确结论的编号．．）
3．【山东·文】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长均为1，则点1B 到平面1ABC
的距离为 。

4．【北京·理】已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =，那么,A B 两
A'
B'A B β
α
A
B
C D
α
点的球面距离为
，球心到平面ABC的距离为______________。

5．【天津·理】如图，在正三棱柱
1
1
1
C
B
A
ABC-中，1
=
AB．若二面角
1
C
AB
C-
-的大小为ο
60，则
点C到平面
1
ABC的距离为______________。

6．【天津·文】如图（同理科图），在正三棱柱
111
ABC A B C
-中，1
AB=．若二面角
1
C AB C
--的大小为60o，则点
1
C到直线AB的距离为。

7．【浙江·理】（如图，在6题上）正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是____________。

8．【辽宁·理】若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cosα=_____。

9．【全国Ⅰ·理】已知正四棱椎的体积为12，地面的对角线为26，则侧面与底面所成的二面角为____________。

10．【四川·文】m n
、是空间两条不同直线，αβ
、是空间两条不同平面，下面有四个命题：
①,;
m n m n
αβαβ
⊥⇒⊥
P P
,　②,,;
m n m n
αβαβ
⊥⊥⇒
P P　
③,,;
m n m n
αβαβ
⊥⇒⊥
P P　④,,;
m m n n
ααββ
⊥⇒⊥
P P　
其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）。

三、计算题
1．【广东】如图所示，AF、DE分别是O
e、
1
O
e的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，8
AD=.BC 是O
e的直径，
6
AB AC
==,//
OE AD。

（I）求二面角B AD F
--的大小；
（II）求直线BD与EF所成的角.
【解】（I）∵AD与两圆所在的平面均垂直，
∴AD⊥AB，AD⊥AF，
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角，
依题意可知，ABFC是正方形，所以∠BAF＝450.
即二面角B—AD—F的大小为450；
（II）以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则
(0,0,0)
O，(0,32,0)
A-），(32,0,0)
B，E
O1
D
z
(0,32,8)D -，(0,0,8)E ，(0,32,0)F
所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=FE BD
82
cos ,||||10082
BD FE BD EF BD FE ⋅<>===
⨯u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r 设异面直线BD 与EF 所成角为α， 则1082
|,cos |cos =
><=EF BD α。

直线BD 与EF 所成的角为10
82arccos。

2．【安徽·理】如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。

（Ⅰ）证明PA ⊥BF ；
（Ⅱ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小。

【解】本小题主要考察直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考察思维能力和空间想象能力；考查应用向量知识解决立体几何问题的能力。

满分12分。

方法一：
连结AD ，则易知AD 与BF 的交点为O 。

（I ）证法1：
,AB AF O BF =Q 为的中点，
.AO BF ∴⊥
又,PO ABC ⊥Q 平面 .PA BF ∴⊥由三垂线定理得 证法2:
,,,BF PO BF AO PO AO O ⊥⊥⋂=Q
,BF AOP ∴⊥平面
,.PA AOP PA BF ⊂ ∴⊥Q 平面
（II ）设M 为PB 的中点，连结AM ，MD 。

,,ABP PA AB PB AM ∆=∴⊥Q 在中
Q 斜线PB 在平面ABC 内的射影为OB ，BF AD ⊥。

.PB AD ∴⊥由三垂线定理得
又,AM AD A ⋂=Q .PB AMD ∴⊥平面
,MD AMD ⊂Q 平面 .PR MD ∴⊥
因此，AMD ∠为所求二面角的平面角。

在正六边形ABCDEF 中，23, 2.BD BF OB AD ====
在Rt 1
1,,2
AOP PA OA ∆==
中， 223.2PO PA OA ∴=-= 在Rt 2262BOP PB PO OB ∆=
+=
中，，则16,24
BM PB ==
2210,AM AB BM =
-=
2242
.4
MD BD BM =-= 在AMD ∆中，由余弦定理得222105
cos 2MA MD AD AMD MA MD +-∠==-⋅⋅
因此，所求二面角的大小为105arccos().35
-
方法二：
由题设条件，以O 为原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图。

由
正六边形的性质，可得
133,,.222OA OR OF OD ====在Rt AOP V 中，
1
1,,2
PA OA == 故 223.OP PA OA =-= 因而有13333
(0,,0),(,0,0),(0,,0),(,0,0),(0,0,).22A B D F P -
- （I ）证明：因13(0,,),(3,0,0),22
PA BF =--
=-u u u v u u u
v 故0.PA BF ⋅=u u u v u u u v 所以.PA BF ⊥ （II ）设M 为PB 的中点，连结AM, MD, 则M 点的坐标33
(
,0,).44
31333
(,,)(,0,)0,42422MA PB ⋅=---⋅-=u u u v u u u v Q
33333
(,,)(,0,)0,2MD PB ⋅=--⋅-=u u u u v u u u v
∴,MA PB MD PB ⊥⊥ 因此，AMD ∠为所求二面角的平面角。

1042,,44MA MD ==u u u v u u u u v Q 3133333(,,)(,,)4244248
MA MD ⋅=---⋅--=-u u u v u u u u v
105
cos ,.MA MD MA MD MA MD
⋅∴<>==-
⋅u u u v u u u u v
u u u v u u u u v u u u v u u u u v 因此，所求二面角的大小为105
arccos()-。

3．【北京·理】 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点. （Ⅰ）求证：AC PB ⊥；
（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小. 【解】 解法一：
（Ⅰ）Q PA ⊥平面ABCD ，
∴ AB 是PB 在平面ABCD 上的射影， 又Q AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ，
∴AC ⊥PB.
（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交与O ，连接EO ， Q ABCD 是平行四边形 ∴O 是BD 的中点
又E 是PD 的中点， ∴EO P PB.
又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ， ∴PB //平面AEC ，
（Ⅲ）如图，取AD 的中点F ，连EF ，FO ，则
EF 是△PAD 的中位线， ∴EF //PA 又PA ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD
同理FO 是△ADC 的中位线，∴FO //AB ∴FO ⊥AC 由三垂线定理可知∴∠EOF 是二面角E －AC －D 的平面角. 又FO ＝
12AB ＝1
2
PA ＝EF 。

∴∠EOF ＝45︒而二面角E AC B --与二面角E －AC －D 互补， 故所求二面角E AC B --的大小为135︒.
解法二：
（Ⅰ）建立空间直角坐标系A —xyz ，如图。

设AC=a ，PA=b 。

则有A （0,0,0）、B （0,b,0）、C （a,0,0）、P （0,0,b ），
∴(,0,0),(0,,),AC a PB b b ==-u u u v u u u v
从而AC u u u v 0PB •=u u u v ，
∴AC u u u v PB ⊥u u u v 。

（Ⅱ）连结BD ，与AC 相交于O ，连结EO 。

由已知得(,,0)D a b -，,,222a b b E ⎛⎫-
⎪⎝⎭，,0,02a O ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∴0,,2
2b b EO ⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭
u u u v ， 又()0,,PB b b =-u u u v
， ∴ 2PB EO =u u u v u u u v ，
∴ //PB EO ，
又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC 。

∴ PB //平面AEC 。

（Ⅲ）取BC 中点G ，连接OG ，则点G
的坐标为
,,022a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,02b OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭
u u u
r 又0,,(,0,0),22
b b OE AC a =-=u u u r u u u r （）,
0,0,OE AC OG AC ∴⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
,,OE AC OG AC ∴⊥⊥
EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角。

2
cos cos ,,2OE OG EOG OE OG OG OG
⋅∠=<>==-
⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r Q u u u r u u u r 0135.EOG ∴∠=
∴二面角E AC B --的大小为0135.
4．【北京·文】如图，1111ABCD A B C D -是正四棱柱。

（I ）求证：BD ⊥平面11ACC A ；
（II ）若二面角1C BD C --的大小为60°，求异面直线BC 1与AC
所成角的大小。

【解】解法一：（Ⅰ）∵ 1111ABCD A B C D -是正四棱柱， ∴ CC 1⊥平面ABCD ， ∴ BD ⊥CC 1， ∵ ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥AC
又 ∵AC ，CC 1⊂平面11ACC A ，且AC ∩CC 1=C ， ∴ BD ⊥平面11ACC A
（II ）设BD 与AC 相交于O ，连接C 1O 。

∵ CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊥AC ， ∴ BD ⊥C 1O ，
∴ ∠C 1OC 是二面角1C BD C --的平面角， ∴ ∠C 1OC=60°。

连接A 1B ∵ A 1C 1∥AC ，
∴ ∠A 1C 1B 是异面直线BC 1与AC 所成角。

设BC=a ，则CO=
22，CC 1=CO 6tan 602a ︒=g ，A 1B=BC 1=
102
a
， 112AC a =。

在△A 1B 1C 1中，由余弦定理得 222
111111
111
5cos 25AC BC A B AC B AC BC +-==g ， ∴ A 1C 1 B=5arccos
5， ∴ 异面直线BC 1与 AC 所成的角的大小为5
arccos 5。

解法二：
（I ）建立空间直角坐标系D —xyz ，如图。

设AD=a ，DD 1=b ，则有D （0,0,0），A （a,0,0,）、B （a,a,0,）、C
（0,a,0,）、C 1（0,a,b,）
∴(,,0)BD a a =--u u u r
，
(,,0)AC a a =-u u u r ，1(0,0,)CC b =u u u u r
∴ 0BD AC =u u u r u u u r g ，10BD CC =u u u r u u u u r g
∴ BD AC ⊥， 1BD CC ⊥。

又∵AC ，CC 1⊂平面11ACC A ，且AC ∩CC 1=C ，
∴ BD ⊥平面11ACC A （Ⅱ）
设BD 与AC 相交于O ，连接C 1O ，则点O 坐标为(,,0)22a a ，1(,,)22
a a OC
b =-u u u u r
∵ 10BD OC =u u u r u u u u r g ， ∴ BD ⊥C 1O ，又BD ⊥CO
∴ ∠C 1OC 是二面角1C BD C --的平面角， ∴ ∠C 1OC=60°。

∴ 1122tan 3CC C OC OC a
∠=
==， ∴ 6b a =。

∵ (,,0)AC a a =-u u u r ，1(,0,)BC a b =-u u u u r ， ∴ 111
5
cos ,AC BC AC BC AC BC ==
u u u r u u u u r
u u u r u u u u r g u u u r u u u u r g ∴ 异面直线BC 1与 AC 所成的角的大小为5
arccos
5。

5．【山东·文】 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为等腰梯形，//,AB DC
,AC BD AC ⊥与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的
射影恰为O
点，又2,BO =2,PO PB PD =
⊥.
（Ⅰ）求异面直接PD 与BC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角P AB C --的大小； （Ⅲ）设点M 在棱PC 上，且
,PM
MC
λλ=问为何值时，PC ⊥平
面BMD 。

【解】 解法一：PO ⊥Q 平面ABCD ， PO BD ∴⊥ 又,2,2PB PD BO PO ⊥==
，
由平面几何知识得：1,3,6OD PD PB ==
=
（Ⅰ）过D 做//DE BC 交于AB 于E ，连结PE ，则PDE ∠或其补角为异面直线PD 与BC 所成的角，
Q 四边形ABCD 是等腰梯形，
1,2,OC OD OB OA OA OB ∴====⊥ 5,22,2BC AB CD ∴===
又//AB DC ∴四边形EBCD 是平行四边形。

5,2ED BC BE CD ∴====
E ∴是AB 的中点，且2AE =
又6PA PB ==， PEA ∴∆为直角三角形，
22622PE PA AE ∴=-=-=
在PED ∆中，由余弦定理得：222cos 2PD DE PE PDE PD DE +-∠=⋅215
15235
==
⋅⋅ 故异面直线PD 与BC 所成的角的余弦值为
21515。

（Ⅱ）连结OE ，由（Ⅰ）及三垂线定理知，PEO ∠为二面角P AB C --的平面角
2sin 2
PO PEO PE ∴∠=
=， 0
45PEO ∴∠= ∴二面角P AB C --的大小为045
（Ⅲ）连结,,MD MB MO ，
PC ⊥Q 平面,BMD OM ⊂平面BMD ， PC OM ⊥Q
又在Rt POC ∆中，3,1,2PC PD OC PO ==
==，233
,33
PM MC ∴=
=， 2PM
MC
∴
= 故2λ=时，PC ⊥平面BMD 解法二： PO ⊥Q 平面ABCD PO BD ∴⊥
又PB PD ⊥，2,2BO PO ==
，
由平面几何知识得：1,2OD OC BO AO ====
以O 为原点，,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐
标系，则各点坐标为(0,0,0)O ，(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，
(1,0,0)C -，(0,1,0)D -，(0,0,2)P
（Ⅰ）(0,1,2)PD =--u u u r Q ， (1,2,0)BC =--u u u r
，
3,5,2PD BC PD BC ∴==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 。

cos ,PD BC PD BC PD BC
⋅∴<>=u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r 215
15=。

故直线PD 与BC 所成的角的余弦值为
215
15。

（Ⅱ）设平面PAB 的一个法向量为(,,)n x y z =，
由于(2,2,0)AB =-u u u r ，(2,0,2)AP =-u u u r ， 由00
n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r
u u u r
得 2x y
z x
⎧=⎪⎨
=⎪⎩ 取(1,1,2)n =，又已知平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)m =，
2
cos ,2
m n m n m n ⋅∴<>=
=⋅。

又二面角P AB C --为锐角， ∴所求二面角P AB C --的大小为45o
（Ⅲ）设00(,0,)M x z ，由于,,P M C 三点共线，0022z x =+，
PC ⊥Q 平面BMD OM PC ∴⊥
00(1,0,2)(,0,)0x z ∴--⋅= 0020x z ∴+=
由（1）（2）知：023x =-
，02z =。

22(,0,)3M ∴- 2PM
MC
λ∴==
故2λ=时，PC ⊥平面BMD 。

6．【陕西·理】 如图,α⊥β,α∩β=l , A ∈α, B ∈β,点A 在直线l 上的射影为A 1, 点B 在l 的射影为B 1,已知AB=2,AA 1=1, BB 1=2, 求:
（I ） 直线AB 分别与平面α,β所成角的大小； （II ）二面角A 1－AB －B 1的大小。

【解】 解法一：（Ⅰ）如图, 连接A 1B,AB 1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA 1⊥l , BB 1⊥l ,
∴AA 1⊥β, BB 1⊥α. 则∠BAB 1,∠ABA 1分别是AB 与
α和β所成的角.
Rt △BB 1A 中, BB 1= 2 , AB=2, ∴sin ∠BAB 1 =
BB 1AB = 2
2
. ∴∠BAB 1=45°.
Rt △AA 1B 中, AA 1=1,AB=2, sin ∠ABA 1=AA 1AB = 1
2
, ∴∠ABA 1= 30°.
故AB 与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
（Ⅱ）∵BB 1⊥α, ∴平面ABB 1⊥α。

在平面α内过A 1作A 1E ⊥AB 1交AB 1于E ，则A 1E ⊥平面AB 1B 。

过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，
∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.
在Rt △ABB 1中,∠BAB 1=45°， ∴AB 1=B 1B= 2. ∴Rt △AA 1B 中，
A 1B=A
B 2－AA 12 =4－1 = 3。

由AA 1·A 1B=A 1F ·AB 得 A 1F=
AA 1·A 1B AB = 1×32 = 3
2
, ∴在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE =
A 1E A 1F = 6
3
， ∴二面角A 1－AB －B 1的大小为arcsin 6
3
. 解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ） 如图,建立坐标系, 则A 1(0,0,0),A(0,0,1),B 1(0,1,0),B(2,1,0).在AB 上取一点F(x,y,z),则存在t ∈R,使得AF →=tAB → , 即(x,y,z -1)=t(2,1, -1), ∴点F 的坐标为(2t, t,1-t).要使A 1F →⊥AB →,须A 1F →·AB →
=0, 即(2t,
t,1-t) ·(2,1,-1)=0, 2t+t -(1-t)=0， 解得t= 1
4
，
∴点F 的坐标为（
24,14, 34 ）, ∴A 1F →
=(24,14, 34
). 设E 为AB 1的中点,则点E 的坐标为（0,12, 12）。

∴EF →
=(24,-14,14).
又EF →·AB →=(24,－14,14)·(2,1, -1)= 12-14-14 =0, ∴EF →⊥AB →
,
∴∠A 1FE 为所求二面角的平面角.
又cos ∠A 1FE= A 1F →·EF →|A 1F →|·|EF →| = (24，14，34)·(24，－14，14)216+116+916 ·216+116+116 = 18－116+
3
1634 ·
12 = 13 = 3
3 ,
∴二面角A 1－AB －B 1的大小为arccos
3
3
.
7．【上海·理】 在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60ο
，对角线AC 与BD 相60ο． 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；
（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果
用反三角函数值表示）． 【解】（1）在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD ，得 ∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角，∠PBO=60°. 在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1，由PO ⊥BO, 于是，PO=BOtg60°=3,
而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD 的体积V=
3
1
×23×3=2. （2）解法一：以O 为坐标原点,射线OB 、OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系. 在Rt △AOB 中OA=3,于是,点A 、B 、D 、P
的坐标
分别是A(0,－3,0)，B(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,3)。

E 是PB 的中点，则E(
21,0,23)。

于是DE =(2
3,0,23),AP =(0,3,3).
设DE u u u r 与AP u u u r 的夹角为θ，有cosθ=42334
3
4923
=+⋅+， θ=arccos 42。

∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos
4
2. 解法二：取AB 的中点F ，连接EF 、DF. 由E 是PB 的中点，得EF ∥PA,
∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成角（或它的补角）。

在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP,
于是,在等腰Rt △POA 中,PA=6,则EF=
2
6
. 在正△ABD 和正△PBD 中，DE=DF=3. cos ∠FED=3
4621=DE EF
=42
∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos
4
2
. 8．【上海·文】 在直三棱柱111ABC A B C -中，90,1ABC AB BC ∠===o
. （1）求异面直线11B C 与AC 所成的角的大小；
（2）若1A C 与平面ABC 所成角为45o
，求三棱锥1A ABC -的体积。

【解】 （1） ∵BC ∥B 1C 1， ∴∠ACB 为异面直线B 1C 1与AC 所成角(或它的补角) ∵∠ABC=90°,AB=BC=1， ∴∠ACB=45°, ∴异面直线B 1C 1与AC 所成角为45°.
（2）∵AA 1⊥平面ABC,
∠ACA 1是A 1C 与平面ABC 所成的角，∠ACA 1=45°. ∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=2 ∴AA 1=2。

∴三棱锥A 1-ABC 的体积V=
3
1
S △ABC ×AA 1=26。

9．【四川·理】 如图,长方体ABCD-1111D C B A 中，E 、P 分别是BC 、11A D 的中点,M 、N 分别是AE 、
1CD 的中点，1AD=AA ,a =AB=2,a
（Ⅰ）求证：11//MN ADD A 平面；
（Ⅱ）求二面角P AE D --的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P －DEN 的体积。

【解】 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能
力。

解法一：（Ⅰ）证明：取CD 的中点K ，连结,MK NK ∵,,M N K 分别为1,,AK CD CD 的中点 ∵1//,//MK AD NK DD
∴//MK 面11ADD A ，//NK 面11
ADD A
∴面//MNK 面11ADD A ∴//MN 面11ADD A
（Ⅱ）设F 为AD 的中点
∵P 为11A D 的中点 ∴1//PF D D ∴PF ⊥面ABCD 作FH AE ⊥，交AE 于H ，连结PH ，则由三垂线定理得AE PH ⊥ 从而PHF ∠为二面角P AE D --的平面角。

在Rt AEF ∆中，17,2,2a AF EF a AE ===，从而221717
a
a AF EF FH AE a ⋅⋅===在Rt PFH ∆中，117
tan DD PF PFH FH FH ∠=
==
故：二面角P AE D --的大小为17
（Ⅲ）12221111542444
NEP ECD P S S BC CD a a a a ∆=
=⋅=⋅+=矩形 作1DQ CD ⊥，交1CD 于Q ，由11A D ⊥面11CDD C 得11AC DQ ⊥ ∴DQ ⊥面11BCD A ∴在1Rt CDD ∆中，1155
CD DD DQ CD a ⋅=
==
∴13P DEN D ENP NEP V V S DQ --∆==
⋅215345
a a =316a =。

方法二：以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系，则
()()(),0,0,,2,0,0,2,0,A a B a a C a ()()11,0,,0,0,A a a D a
∵,,,E P M N 分别是111,,,BC A D AE CD 的中点
∴3,2,0,,0,,,,0,0,,,2242a a a a E a P a M a N a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
（Ⅰ）3,0,4
2a MN a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭u u u u r ，取()0,1,0n =r ，显然n ⊥r 面11ADD A
0MN n ⋅=u u u u r r ，∴MN n ⊥u u u u r r
又MN ⊄面11ADD A ∴//MN 面11ADD A
（Ⅱ）过P 作PH AE ⊥，交AE 于H ，取AD 的中点F ，则,0,02a F ⎛⎫
⎪⎝⎭
设(),,0H x y ，则,,,,,022a a HP x y a HF x y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r 又,2,02a
AE a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
u u u r
由0AP AE ⋅=u u u r u u u r
，及H 在直线AE 上，可得:22042
44a a x ay x y a
⎧-+-=⎪⎨⎪+=⎩
解得332,3417
x a y a =
= ∴8282,,,,,017171717a a a a HP a HF ⎛⎫⎛⎫
=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r ∴0HF AE ⋅=u u u r u u u r 即HF AE ⊥u u u r u u u r
∴HP u u u r 与HF u u u r
所夹的角等于二面角P AE D --的大小
cos ,HP HF HP HF HP HF
⋅==
⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r 故：二面角P AE D --
的大小为arccos
21。

（Ⅲ）设()1111,,n x y z =u r 为平面DEN 的法向量，则11,n DE n DN ⊥⊥u r u u u r u r u u u r
又,2,0,0,,,,0,222a a a DE a DN a DP a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r
∴1
11120202
a
x ay a ay z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 即111142x y z y =-⎧⎨=-⎩ ∴可取()14,1,2n =-u r
∴P 点到平面DEN 的距离为11
22161421DP n a a d n ⋅+===++u u u r u r u r
， ∵cos ,85DE DN DE DN DE DN
⋅==
⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ，21sin ,85DE DN =u u u r u u u r ， ∴2
121sin ,28
DEN
S DE DN DE DN a ∆=⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴3211213386
21P DEN
DEN a V S d a -∆=⋅=⨯⨯=。

10．【天津·理】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱//
1
2
EF BC =． （1）证明FO //平面CDE ；
（2）设3BC CD =，证明EO ⊥平面CDF ．
【解】 本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
（Ⅰ）证明：取CD 中点M ，连结OM. 在矩形ABCD 中。

1//
2OM BC ，又1
//2
EF BC ， 则//OM EF ，连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形. //FO EM ∴ 又FO ⊄Q 平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，∵FO ∥平面CDE
（Ⅱ）证明：连结FM ，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE 中，
,CM DM EM CD =⊥且31
22
EM CD BC EF =
==. 因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO ⊥FM
而FM ∩CD=M ， ∴CD ⊥平面EOM ，从而CD ⊥EO. 而FM CD M ⋂=， 所以EO ⊥平面CDF.
11．【浙江·理】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，
90BAD ∠=o ，PA ⊥ 底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M N 、分别为
PC 、PB 的中点。

（Ⅰ）求证：PB DM ⊥；
（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角。

【解】 本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念
与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。

方法一：
（I ）因为N 是PB 的中点，PA AB =，所以AN PB ⊥. 因为AD ⊥平面PAB ，所以AD PB ⊥，
从而PB ⊥平面ADMN .因为DM ⊂平面ADMN ，
所以PB DM ⊥.
（II ）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ， 则//BG CD ，
所以BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与平面ADMN 所成的角相等. 因为PB ⊥平面ADMN ，
所以BGN ∠是BG 与平面ADMN 所成的角. 在Rt BNG ∆中，10
sin BN BGN BG ∠=
=。

故CD 与平面ADMN 所成的角是10
arcsin 。

方法二：
如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，设1BC =，则
1
(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,1,0),(1,,1),(0,2,0)2
A P
B
C M
D .
（I ） 因为3
(2,0,2)(1,,1)2
PB DM ⋅=-⋅-u u u r u u u u r 0=，所以.PB DM ⊥
（II ） 因为(2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅u u u r u u u r
0=，所以PB AD ⊥，
又因为PB DM ⊥，所以PB ⊥平面.ADMN
因此,PB DC <>u u u r u u u r
的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角.
因为cos ,||||
PB DC
PB DC PB DC ⋅<>=⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r 10=，
所以CD 与平面ADMN 所成的角为10
arcsin
5。

12．【重庆·文】 如图（上右图），在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，
11,31AB BB ==+，E 为1BB 上使11B E =的点。

平
面1AEC 交
1DD 于F ，交11A D 的延长线于G ，求：
（Ⅰ）异面直线AD 与1C G 所成角的大小； （Ⅱ）二面角11A C G A --的正切值；
【解】 解法一：（Ⅰ）由111//AD D G C GD ∠知为异面直线1AD C G 与所成的角。

连接1C F .因为AE 和1C F 分别是平行平面1111ABB A CC D D 和与平面1AEC G 的交线，
所
以
1//AE C F ,由此可得13D F BE ==,再由1FD G △∽FDA △得
13D G =
在1111Rt 36
C D G C D D G C GD π
∠=
111△中，由=1,=,得。

（
Ⅱ
）
作
111,D H C G H FH FH C G ⊥⊥于，连接，由三垂线定理知
1D HF ∠故为二面角11F C G D --即二面角11A C G A --的平面角
在11113t 3,6
R GFD D G D GH D H π
=∠==
△中，由,得， 从而1113an 23D F
t D HF D H
∠=
==
解法二：（Ⅰ）由111//AD D G C GD ∠知为异面直线
1AD C G 与所成的角。

因为1EC 和AF 分别是平行平面1111BB C C AA D D 和与平面1AEC G 的交线，
所以1//EC AF ，由此可得
1114
AGA EC B π
∠=∠=
从而1131A G AA ==+，于是13D G =
在1111Rt 36
C D G C D D G C GD π
∠=
111△中，由=1,=,得
（Ⅱ）在1111
11,4
6
AC G C AG AGC π
π
∠=∠=
△中，由知11AC G ∠为钝角，
作1111,A H GC GC H AH GH AH AHA ⊥⊥∠交的延长线于，连接，由三垂线定理知故 为二面角二面角11A C G A --的平面角，
在111
131
t 31,6
R A AG AGH A H π
+=+∠==
△HG 中，由得,
从而1
1131an 231AA t AHA A H
+∠=
==+。

解法三：（Ⅰ）以1A 为原点，11111,,A B A D A A 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。

于是003A （，，＋1），1C (1,1,0)，D(0,1,3+1)，E(1,0,1)，
(0,1,0)=u u r AD ，1(0,1,1)EC =-u u u u r
因为1EC 和AF 分别是平行平面1111BB C C AA D D
和与平面
1AEC G 的交线，所以1//EC AF ，设(0,y,0)G ，则(0,,(31))AG y =-+u u u r
由11//y 31EC AG u u u u r 得＝-(＋)
，于是y=31+
故1(0,31,0),(1,3,0)G C G +=-u u u u r
,设异面直线AD 与1C G 所成的角的大小为θ，则
113cos ||||AD C G AD C G θ⋅==⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，从而6πθ=。

（Ⅱ）作111,A H C G H GH AH AHA ⊥⊥∠于，由三垂线定理知故为二面角二面角
11A C G A --的平面角,设(,,0),H a b 则1A H =u u u u r (a,b,0),1C H u u u u r
=(a-1,b-1,0)， 由11A H C G ⊥得110A H C G ⋅=u u u u r u u u u r ，由此得30............................()a b i -= 又由1,,H C G 共线得11//C H C G u u u u r u u u u r ，从而113
a -=-，于是 3(31)0................................()a
b ii +-+=
联立（i ）和（ii ）得33a +=
，31b +=，故3331
(,)H ++ 由221333131
||()()44A H +++=+=u u u u r ，1||31A A =+u u u r 得：111||
31an 2||
31A A t AHA A H +∠===+u u u r
u u u u r 。

13．【重庆·理】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，//AB CD ,2,AD CD AB ==E 、F 分别为PC 、CD
中点。

（I ）试证：CD ⊥平面BEF ； （II ）高PA k AB =⋅，且二面角E BD C --的
平面角大小
30o ，求k 的取值范围。

【解】 （I ）证：由已知//DF AB 且DAB ∠为直角。

故ABFD 是
矩形。

从而CD BF ⊥。

又PB ⊥底面ABCD ，CD AD ⊥，故由三垂线定理知CD PD ⊥。

在Rt PDC ∆中，E 、F 分别为PC 、CD 的中点，故EF//PD,从而
CD EF ⊥，由此得CD ⊥面BEF 。

（II ）连接AC 交BF 于G ，易知G 为AC 的中点，连接EG ，则在PAC V 中易知EG//PA 。

又因PA ⊥底面ABCD ，
故EG ⊥底面ABCD 。

在底面ABCD 中，过G 作GH ⊥BD 。

垂足为H ，连接EH ，由三垂线定理知EH ⊥BD 。

从而
EHG ∠为二面角E-BD-C 的平面角。

设11
,22
AB PAC EG PA k αα=∆=
=则在中，有。

以下计算GH ，考虑底面的平面图（如答（19）图2）。

连结GD ，因11
22
CBD S BD GH GB DF =⋅=⋅V 。

故GH ＝
GB DF
BD
⋅。

在.2ABD AB a AD a ∆==中，因。

5BD a =得， 而11
,22
GB FB AD a ===
5
,5GB AB DF AB GH a BD a
⋅====从而得。

因此，1
52tan 25ka
EG k EHG GH a ===。

由0k >知EHG ∠是锐角。

故要使EHG ∠30︒
>，必须
53tan 3023
k ︒>=， 解之得，上式中的取值范围为215
15
k >。

14．【福建·理】 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
2, 2.CA CB CD BD AB AD ======
（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。

A
D
H
G
B
A
C
F
D
【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

方法一：（I ）证明：连结OC
,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥Q ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥Q
在AOC ∆中，由已知可得1, 3.AO CO == 而2,AC = 2
2
2
,AO CO AC ∴+=
90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥
,BD OC O =Q I AO ∴⊥平面BCD
（II ） 取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC
∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角
在OME ∆中，121
,1,22
EM AB OE DC =
=== OM Q 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，1
1,2
OM AC ∴=
= 2cos ,4OEM ∴∠= ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为2
arccos
.4
（III ） 设点E 到平面ACD 的距离为.h
E ACD A CDE V V --=Q ， ∴
11
.33
ACD CDE h S AO S ∆∆=g g g 在ACD ∆中，2,2,CA CD AD ===
22127
22().22ACD S ∆∴=⨯⨯-=
而2133
1,2,242CDE AO S ∆==
⨯⨯= 3
1.21
2.77
CDE ACD
AO S h S ∆∆⨯
∴===
∴点E 到平面ACD 的距离为
21
. 方法二：（I ）同方法一。

（II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -
13
(0,3,0),(0,0,1),(,,0),(1,0,1),(1,3,0).22C A E BA CD =-=--u u u r u u u r
.2
cos ,,4BA CD BA CD BA CD ∴<>==u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为2
arccos
.4
（III ）解：设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =r
则
.(,,).(1,0,1)0,.(,,).(0,3,1)0,
n AD x y z n AC x y z ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩r u u u r r u u u
r 0,
30.x z y z +=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩ 令1,y =得(3,1,3)n =-r
是平面ACD 的一个法向量。

又13(,,0),22EC =-u u u r ∴点E 到平面ACD 的距离 321
.77EC n h n
===u u u r r g r 15．【湖北·理】 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP=m ，
（I ）试确定m ，使得直线AP 与平面BD D 1B 1所成角的正切值为
32；
（Ⅱ）在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。

【解】 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识
及空间想像能力和推理运算能力。

考查应用向量知识解决数学问题的能
力。

解法１：（I ）,,AC AC BD O =I 连设
1.AP B G OG 1与面BDD 交于点，连
1111//,,PC BDD B BDD B APC OG =I 因为面面面
故//OG PC 。

所以122
m OG PC =
=。

又111,,AO DB AO BB AO BDD B ⊥⊥⊥所以面　. 故11AGO AP BDD B ∠即为与面所成的角。

在Rt △2
2tan 322
AOG AGO m ==中，
，即1
3m =. x
C
A B
O
D
y
z
E
故当1
3
m =
时，直线1132AP BDD B 与平面所成的角的正切值为。

（Ⅱ）依题意，要在11A C 上找一点Q ，使得1D Q AP ⊥. 可推测11A C 的中点1O 即为所求的Q 点。

因为1111.D O A C ⊥111D O AA ⊥，所以111.D Q ACC A ⊥面 又11.AP ACC A ⊂面,故11D O AP ⊥。

从而111D O AD P AP 在平面上的射影与垂直。

解法二：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0),B 1(1,1,1),D 1(0,0,1).
所以1(1,1,0),(0,0,1),BD BB =--=u u u u r u u u r
(1,1,),(1,1,0).AP m AC =-=-u u u r u u u r
又由1110,0AC BD AC BB AC BB D D ⋅=⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
知为平面的一个法向量.
设AP 与11BDD B 面　所成的角为θ，
则2||sin cos()2||||22AP AC AP AC m
πθθ⋅=-==⋅⋅+u u u r u u u r
u u u r u u u r
依题意有：
2
2
32221(32)m =
⋅++，解得13
m =
. 故当1
3
m =
时，直线1132AP BDD B 与平面所成的角的正切值为。

（Ⅱ）若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，
则1
(,1,1),(,1,0)Q x x DQ x x -=-u u u u r。

依题意，对任意的m 要使D1Q 在平面APD1上的射影垂直于AP 。

等价于
111AP 0(1)02
D Q AP D Q x x x ⊥⇔⋅=⇔+-=⇔=u u u u r u u u r u u u u r
即Q 为11A C 的中点时，满足题设的要求。

16．【湖北·文】 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底
1CC 上的点，
面边长为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱
且12CN C N ＝。

（Ⅰ）求二面角1B AM N --的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点1B 到平面AMN 的距离。

【解】 本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。

考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法1：（Ⅰ）因为M 是底面BC 边上的中点，所以AM ⊥BC ，又AM ⊥1CC ,所以AM ⊥面11BCC B ，从而AM ⊥1B M , AM ⊥NM ，所以∠1B MN 为二面角1B AM N --的平面角。

又
1B M =221B B BM +1514=+
=，MN =22
145496
MC CN +=+=, 连1B N ，得1B N ＝2
2
111110
193
B C C N +=+=， 在1B MN ∆中，由余弦定理得
2
2
2
11115251054369cos 2555
2B M MN B N B MN B M MN +-
+-∠==
=⨯⨯
g g 。

故所求二面角1B AM N --的平面角的余弦值为
55。

（Ⅱ）过1B 在面11BCC B 内作直线1B H MN ⊥，H 为垂足。

又AM ⊥平面11BCC B ，所以AM ⊥1B H 。

于是1B H ⊥平面AMN ，故1B H 即为1B 到平面AMN 的距离。

在11R B HM ∆中，1B H ＝
1B M 151
sin 115
B MH =
⨯-=。

故点1B 到平面AMN 的距离为1。

解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则1B （0，0，1），M （0，
1
2
，0）, C(0,1,0)，N (0,1,
2
3
) ，A (31,,02-
)，所以， 3(,0,0)2AM =u u u u r ，11(0,,1)2MB =-u u u u r ，12
(0,,)23
MN =u u u u r 。

因为11
00()01022
MB AM =⨯+⨯-+⨯=u u u u r u u u u r g 所以1MB AM ⊥u u u u r u u u u r
，同法可得MN AM ⊥u u u u r u u u u r 。

故1,MB MN <>u u u u r u u u u r
为二面角1B AM N --的平面角。

∴ cos 1,MB MN <>u u u u r u u u u r
＝115
5MB MN
MB MN
⋅=
=⋅u u u u r u u u u r
u u u u r u u u u r
故所求二面角1B —AM —N
（Ⅱ）设(,,)n x y z =为平面AMN 的一个法向量，则由,n AM n MN ⊥⊥u u u u r u u u u r
得
002412032
3x x y z y z =⎧=⎪⎪⎪
⇔⎨⎨
=-⎪⎪+=⎩⎪⎩ 故可取4(0,,1)3n =-。

设1MB u u u u r 与n 的夹角为α
，则115
cos 3MB n
MB n
α⋅===⋅u u u u r
u u u u r。

所以1B 到平面AMN
的距离为1cos 1MB a ⋅==u u u u r 。

17．【湖南·理】 如图4, 已知两个正四棱锥ABCD Q ABCD P --与的高分别为1和2, 4=AB 。

（I ）证明: ABCD PQ 平面⊥；
（II ）求异面直线PQ AQ 与所成的角；
（III ）求点P 到平面QAD 的距离。

【解】 解法一：（Ⅰ）连接AC 、BD ，设AC I BD ＝O 因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥， 所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD
从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD （II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥．由（I ），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是(0,0,1)P ，
D
图4C
B
A
Q
P
A （22,0,0），(0,0,2)Q -，(0,22,0)B
(22,0,2),AQ =--u u u v
所以 (0,22,1),PB =-u u u r
于是3
cos ,AQ PB AQ PB AQ PB <>==
u u u r u u u r
u u u r u u u r g g 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是3
arccos 。

（Ⅲ）由（Ⅱ），点D 的坐标是
(0,22,0),(22,22,0)AD -=--u u u r
， (0,0,3)PQ =-u u u r
，
设n r ＝（x,y,z ）是平面QAD 的一个法向量，由020
00n AQ x z x y n AD ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩
r u u u r
r u u u r
得 1,(1,1,2)x n ==--r
取得
所以点P 到平面QAD 的距离322PQ n d n
⋅==u u u r r
u u r r。

解法二：（Ⅰ）取AD 的中点M ，连接PM 、QM 。

因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM 。

从而AD ⊥平面PQM 。

又PQ ⊂平面PQM ，所以PQ ⊥AD 。

同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD 。

由PQ ⊥平面（Ⅱ）连接AC 、BD ，设AC I BD ＝O ，ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而P ，A ，Q ，
C 四点共面。

取OC 的中点N ，连接PN 。

因为
11
,22
PO NO NO OQ OA OC ===，所以 ,//PO NO
AQ PN OQ OA
=从而， BPN ∠（或其补角）是异面直线AQ 与PB 所成的角。

连接BN 。

因为222(22)13PB OB OP =+=+=．
222(2)13PN ON OP =+=+= 2222(22)(2)10BN OB ON =+=+=
所以
222
cos
2
PB PN BN
BPN
PB PN
+-
∠===
g
从而异面直线AQ与PB
所成的角是arccos
9。

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM 。

过点P作PH⊥QM于H，则PH⊥QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离。

连结OM。

因为OM=
1
2
AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。

又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°
=
2。

即点P到平面QAD
的距离是
2。

18．【江苏】在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。

将△AEF沿EF折起到EF
A1
∆的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP 所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）。

【解】[考点分析：本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力]
不妨设正三角形的边长为3，则
（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF为正三角形。

又AE=DE=1，∴EF⊥AD。

在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。

又BE I EF=E，∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。

（II）在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是面A1BP的斜线，又A1E⊥面BEP，
A
F
E
C
B
A1
E
F
C
P
B
∴A 1E ⊥BP ，∴BP 垂直于A 1E 在面A 1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理） 设A 1E 在面A 1BP 内的射影为A 1Q ，且A 1Q 交BP 于Q ， 则∠EA 1Q 就是A 1E 与面A 1BP 所成的角，且BP ⊥A 1Q 。

在△EBP 中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o ，∴△EBP 为正三角形，∴BE=EP 。

又A 1E ⊥面BEP ，∴A 1B=A 1P ，∴Q 为BP 的中点，且EQ=3，而A 1E=1， ∴在Rt △A 1EQ 中，3tan 11==
∠E
A EQ
EQ A ，即直线A 1E 与面A 1BP 所成角为60o 。

（III ）在图3中，过F 作FM ⊥A 1P 于M ，连结QM 、QF 。

∵CF=CP=1，∠C=60o ，∴△FCP 为正三角形，故PF=1， 又PQ=
2
1
BP=1， ∴PF=PQ …… ① ∵A 1E ⊥面BEP ，EQ=EF=3，∴A 1F=A 1Q ， ∴△A 1FP ≅△A 1QP ，故∠A 1PF=∠A 1PQ …… ② 由①②及MP 为公共边知△FMP ≅△QMP ， 故∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ ， ∴∠FMQ 为二面角B －A 1P －F 的一个平面角。

在Rt △A 1QP 中，A 1Q=A 1F=2，PQ=1， ∴A 1P=5， ∵MQ ⊥A 1P ， ∴MQ=
P A PQ Q A 11⋅=552， ∴MF=5
5
2。

在△FCQ 中，FC=1，QC=2，∠C=60o ，由余弦定理得QF=3，
在△FMQ 中，8
7
2cos 222-=⋅-+=
∠MQ MF QF MQ MF FMQ ， ∴二面角B －A 1P －F 的的大小为8
7arccos -π。

19．【江西·理】如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD ＝3，BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形 （1）求证：AD ⊥BC ；
（2）求二面角B －AC －D 的大小；
（3）在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 。

成30︒角？若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由。