数学---福建省三明市永安三中高中部2018届高三(上)期中试卷(文)(解析版)

福建省三明市永安三中高中部2018届高三（上）
期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x≤﹣2或x≥3}，B={x|x＞1}，则（∁U A）∪B=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣2} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x≤3} 2．（5分）设i是虚数单位，若复数，则复数z的实部为（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3
3．（5分）“α=”是“tanα=1”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
5．（5分）函数f（x）=ln x+x﹣3的零点所在区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
6．（5分）等差数列{a n}中，若S9=9，则a4+a6=（）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A．πB．2πC．4πD．8π
8．（5分）已知，则cos（π+2α）的值为（）
A．B．C．D．
9．（5分）如图，已知=，=，AD=2DB，用，表示为（）
A．=+B．=+
C．=﹣﹣D．=+
10．（5分）函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则下列有关f（x）性质的描述正确的是（）
A．φ=
B．x=+kπ，k∈Z为其所有对称轴
C．[+，+]，k∈Z为其减区间
D．f（x）向左移可变为偶函数
11．（5分）函数y=x+cos x的大致图象是（）
A．B．
C．D．
12．（5分）已知函数的图象关于y
轴对称，则f（x）在区间上的最大值为（）
A．1 B．C．D．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量=（k，k+1），=（1，﹣2）且∥，则实数k等于．14．（5分）曲线f（x）=x•sin x﹣cos x在x=处的切线的斜率等于．
15．（5分）已知=1，且x＞0，y＞0，则x+y的最小值是．
16．（5分）若方程kx﹣ln x=0有两个实数根，则k取值范围是．
三、解答题：本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且a2，a3+1，a4成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）记b n=a n+log2a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，．
（1）求角A的大小；
（2）若，，求b+c的值．
19．（12分）2015年12月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为2015年以来
最严重的污染过程，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：
（1）由散点图知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（提示数据：）
（2）（I）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时PM2.5的浓度；（II）规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线
的方程是，其中，．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，P A⊥平面ABCD，E，F分别是AB，
PD的中点，且P A=AD．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．
21．（12分）已知函数（a∈R，且a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若直线y=ax的图象恒在函数y=f（x）图象的上方，求a的取值范围．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的22题记分.解答时请写清题号.
22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参
数），直线l与C交于P1，P2两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）已知Q（3，0），求||P1Q|﹣|P2Q||的值．
23．已知函数f（x）=|x+3|+|2x﹣4|．
（1）当x∈[﹣3，3]时，解关于x的不等式f（x）＜6；
（2）求证：∀t∈R，f（x）≥4﹣2t﹣t2．
【参考答案】
一、选择题
1．B
【解析】A={x|x≤﹣2或x≥3}，
故∁U A={x|﹣2＜x＜3}，又B={x|x＞1}，
则（∁U A）∪B={x|x＞﹣2}，
故选：B．
2．C
【解析】复数===2﹣i，
则复数z的实部为2．
故选：C．
3．A
【解析】若tanα=1，则α=kπ+，k∈Z，必要性不成立，
若α=，则tanα=1，充分性成立，
故“α=”是“tanα=1”充分不必要条件，
故选：A．
4．C
【解析】∵c=log38＜2＜a=21.3＜b=40.7=21.4，
∴c＜a＜b．
故选：C．
5．C
【解析】∵f（x）=ln x+x﹣3在（0，+∞）上是增函数
f（1）=﹣2＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3＞0
∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=ln x+x﹣3的零点所在区间为（2，3）
故选C
6．C
【解析】（法一）设等差数列的首项为a1
由等差数列的前n项和可得
所以a1+a9=2
又因为a4+a6=a1+a9
所以a4+a6=2
（法二）设等差数列的公差d，首项为a1
∵⇒a1+4d=1
∴a4+a6=a1+3d+a1+5d=2（a1+4d）=2
故选C
7．A
【解析】由三视图可知，该几何体为一圆柱通过轴截面的一半圆柱，底面半径直径为2，高为2．
体积V==π．
故选：A．
8．C
【解析】∵已知=cosα，则cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=1﹣2×=﹣，
故选：C．
9．C
【解析】=+=﹣=﹣=﹣﹣=﹣．
故选：C
10．D
【解析】观察图象可得，函数的最小值﹣1，所以A=1，
∵==，∴T=π，
根据周期公式可得，ω=2，
∴f（x）=sin（2x+φ），
又函数图象过（，﹣1）代入可得sin（+φ）=﹣1，
∵0＜φ＜π，∴φ=，
∴f（x）=sin（2x+），
∴f（x）向左移，为g（x）=cos2x，是偶函数．
故选D．
11．B
【解析】由于f（x）=x+cos x，
∴f（﹣x）=﹣x+cos x，
∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），
故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；
又当x=时，x+cos x=x，
即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．
故选：B．
12．A
【解析】∵函数f（x）=sin（2x﹣φ）﹣cos（2x﹣φ）=2sin（2x﹣φ﹣）的图象关于y 轴对称，
∴﹣φ﹣=kπ+，k∈Z，故令k=﹣1可得φ=，f（x）=﹣2cos2x．
在区间上，2x∈[，]，
故当2x=时，f（x）取得最大值为﹣2×（﹣）=1，
故选：A．
二、填空题
13．
【解析】根据题意，向量=（k，k+1），=（1，﹣2），
若∥，则有（﹣2）×k=k+1，
解可得k=；
故答案为：．
14．2
【解析】对f（x）求导数，得f'（x）=1×sin x+x cos x﹣（﹣snx）=2sin x+x cos x ∴f'（）=2sin+cos=2
即曲线f（x）=x•sin x﹣cos x在x=处的切线的斜率k=f'（）=2
故答案为：2
15．25
【解析】∵=1，且x＞0，y＞0，
∴x+y=（）（x+y）
=13++≥13+2=25
当且仅当=即x=10且y=15时取等号．
故选答案为：25．
16．（0，）
【解析】方程kx﹣ln x=0有两个实数根可化为
函数y=kx与函数y=ln x有两个不同的交点，
作函数y=kx与函数y=ln x的图象如下，
结合图象知，
当直线与y=ln x相切时，设切点为（x，ln x）；
故=；故x=e；
故直线的斜率k=；
故k的取值范围为（0，）．
故答案为：（0，）．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由题意可得2（a3+1）=a2+a4，
即2（2a2+1）=a2+4a2，解得：a2=2．
∴a1==1．
∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．
（Ⅱ）b n=a n+log2a n+1=2n﹣1+n，
T n=b1+b2+b3+…+b n=（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n﹣1）
=+
=+2n﹣1．
18．解：（1）a sin B=b cos A，由正弦定理可得sin A sin B=sin B cos A，
∵B是三角形内角，
∴sin B≠0，
∴tan A=，A是三角形内角，
∴A=．
（2）∵S=bc sin A=，
∴bc=2，
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc cos A，可得3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣6，∴b+c=3．
19．解：（1）由数据可得：，
，，
，，
故y关于x的线性回归方程为．
（2）（ⅰ）当车流量为12万辆时，即x=12时，．
故车流量为12万辆时，PM2.5的浓度为91微克/立方米．
（II）根据题意信息得：6x+19≤100，即x≤13.5，
故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内．20．证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．
∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，
∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，
∴AF∥平面PCE；
（Ⅱ）∵P A=AD．∴AF⊥PD
P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD，
又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD
∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC
由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC
又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．
21．解：（1）f（x）的定义域为，且．①当a＜0时，∵，∴ax＜﹣1，
∴f'（x）＞0，函数在是增函数；
②当a＞0时，ax+1＞0，在区间上，f'（x）＞0；
在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0．
所以f（x）在区间上是增函数；在区间（0，+∞）上是减函数．
（2）令h（x）=ax﹣f（x），则．
问题转化为h（x）＞0恒成立时a的取值范围．
当a＜0时，取，则h（x）=2a e﹣3＜0，不合题意．
当a＞0时，h（x）=ax﹣f（x），则．
由于，
所以在区间上，h'（x）＜0；在区间上，h'（x）＞0．所以h（x）的最小值为，
所以只需，即，
所以，
所以．
22．解：（1）∵曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，
由得x2+y2=4x，
即C的直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=4，
∵直线l的参数方程为：（t为参数），
∴直线l消去参数t得直线l的普通方程为：．
（2）将直线l的参数方程代入x2+y2=4x，得：，
设P1，P2的对应参数分别为t1，t2，∴，
而（3﹣2）2+02＜4，即点Q（3，0）在圆C的内部，
∴．
23．解：（1）当﹣3≤x≤2时，f（x）=x+3﹣（2x﹣4）=﹣x+7，
故原不等式可化为﹣x+7＜6，
解得：x＞1，故1＜x≤2；
当2＜x≤3时，f（x）=x+3+（2x﹣4）=3x﹣1，故原不等式可化为3x﹣1＜6，解得；综上，可得原不等式的解集为．
（2）证明：，
由图象，可知f（x）≥5，
又因为4﹣2t﹣t2=﹣（t+1）2+5≤5，
所以f（x）≥4﹣2t﹣t2．。