2020年湖南省株洲市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年湖南省株洲市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若全集U={0,1，2，3}，A={0,1，2}，B={0,2，3}，则A∪(∁U B)=()
A. ⌀
B. {1}
C. {0,1，2}
D. {2,3}
2.复数5i
的虚部是()
1+2i
A. i
B. −i
C. 1
D. −1
3.若a=log0.31.2，b=(0.3)1.2，c=1.20.3，则()
A. a<b<c
B. a<c<b
C. b<c<a
D. b<a<c
4.如图是民航部门统计的2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年
同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是()
A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降
C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
5.函数f(x)==e x−e−x
的图象大致为()
x2
A. B.
C. D.
6.数列1，−3，5，−7，…的第10项是()
A. 10
B. −19
C. −10
D. 19
7.已知(1−2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1−2x)n(1+x)展开式中含x2项
的系数为()
A. 71
B. 70
C. 21
D. 49
8.执行如图所示的程序框图，若输入n=1，S=0，则输出的结果为()
A. 7
B. 9
C. 8
D. 11
9.已知点A(0,0)，B(2,0).若椭圆W： x2
2+y2
m
=1上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则椭圆
W的离心率是()
A. 1
2B. √2
2
C. √6
3
D. √3
2
10.函数y=2−sinx的最大值及取最大值时x的值分别为()
A. y=3,x=π
2B. y=1,x=π
2
+2kπ(k∈Z)
C. y=3,x=−π
2+2kπ(k∈Z) D. y=3,x=π
2
+2kπ(k∈Z)
11. 在△ABC 中，若(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则( )
A. △ABC 是锐角三角形
B. △ABC 是直角三角形
C. △ABC 是钝角三角形
D. △ABC 的形状不能确定
12. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，
M ，N 分别是A 1D 1，A 1B 1的中点，过直线BD 的平面a//平面AMN ，则平面a 截该正方体所得截面的面积为( )
A. √2
B. 9
8 C. √3
D. √6
2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=2，S 3=3
2，则a 6=____________． 14. 已知f(x)=xln(x −1)，则曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是__________．
15. 投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予
以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为
，复审的稿件能通过评审的概率为
，各专家独立评审，则投到该
出版社的1篇稿件被录用的概率为__________． 16. 已知M 为双曲线C ：
x 2
a 2
−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的右支上一点，A ，F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，且|MF|=|AF|，若∠MFA =60°，则双曲线的离心率e 的值为______ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a =bcosC +√3csinB ．
(1)求B ；
(2)若b =1，求△ABC 面积的最大值．
18.如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，已知∠B1C1A1=90°，异面
直线AB1⊥A1C，且AA1=AC．
(1)求证：平面ACC1A1⊥平面A1B1C1；
(2)若AC1=AA1=B1C1=2，求A1C1与平面AA1B1B所成角的正
弦值．
19.已知点F为抛物线C：x2=4y的焦点，A，B，D为抛物线C上三点，且点A在第一象限，直
线AB经过点F，BD与抛物线C在点A处的切线平行，点M为BD的中点．
(1)证明：AM与y轴平行；
(2)求△ABD面积S的最小值．
20.为保障食品安全，某地食品药监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家
企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：
质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]等级次品二等品一等品二等品三等品次品
根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表(如下面表，其中a>0)．
(1)现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；
(2)为守法经营、提高利润，乙企业开展次品生产原因调查活动．已知乙企业从样本里的次品中
随机抽取了两件进行分析，求这两件次品中恰有一件指标值属于[40,45]的产品的概率；
(3)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．
21.已知函数
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有两个零点x 1,x 2，求实数k 的取值范围，并证明：x 1+x 2>2√−2k ．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+t
y =2−t (t 为参数)，以原点O 为极点、x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=4
3−cos2θ (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)已知点P(−1,2)，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求|PA|+|PB|的值．
23. 已知函数f(x)=|x −2|−|2x −2|
(Ⅰ)求不等式f(x)+1>0的解集；
(Ⅱ)当x ∈R 时，f(x)<−x +a 恒成立，求实数a 的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：
通过已知条件求出∁U B，然后求出A∪∁U B即可．本题考查集合的交、并、补的混合运算，考查计算能力．
解：因为全集U={0,1，2，3}，B={0,2，3}，
所以∁U B={1}，
又A={0,1，2}．
所以A∪∁U B={0,1，2}．
故选C．
2.答案：C
解析：
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
解：复数z=5i
1+2i =5i(1−2i)
(1+2i)(1−2i)
=2+i的虚部为1.
故选C.
3.答案：A
解析：
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
解：∵a=log0.31.2<0，b=(0.3)1.2∈(0,1)，c=1.20.3>1．
∴a<b<c．
故选：A．。