复变函数与积分变换试题及答案19

复变函数与积分变换试题与答案
一、题判断(每题2分，共10分，请在正确的题后打"J",错误的题后打"X")
1、/(Z)=SinZ是有界函数。

( )
2、函数/(z)=e，是以Lri为周期的周期函数。

( )
3、如果ZO是/(Z)的奇点，那么/(Z)在Zo不可导。

( )
4、假设函数F(Z)在Z I)处解析，那么尸")(z)也在z“解析。

( )
5、、的假设"(x,y)与V(X,y)都是调和函数，那么/(z)=w(x,y)+i∖{x,y)是解析函数。

( )
二、填空题(每题4分，共16分)
1、设Z=2-那么Iz I=,arg z。

1+Z
2、(I+*,(1+0,=o
3、Ln(―3i)=,主值In[—3/)=。

4、f(I)=t2+te,+e2'sin6/,那么/(f)的拉氏变换是。

三、解答题(8分+12分=20分)
1、求卜/+,.y)/,其中C是沿曲线y=/由点z=0到点z=l+i C
2、根据R的取值不同，讨论并计算积分 ------ - .... 的值。

其中C是不经过Z=-I
J z2(z+l)(z-2)
和z=2的正向圆周IZl=R(R>0)o
四、解答题(每题8分，共16分)
1、U(X,y)=V-3『y是调和函数，求其共辆调和函数v(x,y).
2、/(Z)=/-)在何处可导？何处解析？并在可导处求/"(z).
五、解答题(1、2题每题8分，3题6分，共22分)
I I万
1、求将单位圆∣Z∣<1内保形映照到单位圆I Wl<1内，且满足/(—)=0,arg/,(一)=-的分式线性映照。

2、将/(z)= .............. ?......... 在l<∣z∣<3上展开成罗朗级数。

(z-l×z-3)
3、指出/(z)===在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数
六、计算题(每题8分，共16分)
1、求正弦函数/(r)=Sino/的傅氏变换。

2,利用拉氏变换求解微分方程
答案
一、题判断(每题2分，共10分，请在正确的题后打"J",错误的题后打"X")
1、/(Z)=SinZ是有界函数。

(×)
2、函数/(z)=e：是以2%i为周期的周期函数。

(√)
3、如果ZO是/(Z)的奇点，那么/(Z)在Z(I不可导。

(X)
4、假设函数/(Z)在Zo处解析，那么r")(z)也在ZO解析。

(√)
5、的假设"(x,y)与V(X,y)都是调和函数，那么/(Z)=MX,y)+iv(x,y)是解析函数。

(X)
、填空题(每题4分，共16分)
］、设Z=2"那么∣Z∣=V∑,arg z=—。

1+j ---- 4
-(2"J)万」ln2
2、(1+j)6=-⅛(1+犷=乙42
3»Ln(—3/)=ln3+(2⅛-y)Λ∙/,主值In(—3i)=ln3-τyτi.
4、/ω=r+r√+e2⅛in6r,那么f⑴的拉氏变换是之+-^+—⅞—s(S-I) (S-2)"+36
三、计算题(每题8分，共16分)
1、求正弦函数/(r)=sin/f 的傅氏变换。

解：方法1
F[∕(/)]=玩[b(<y+0o)-b3+/)]
方法2
F [/⑴]=[；Sin Bf ∙∕9tt dt
(■.-C 2πδ(ω-tσ0)e i "1'dω=e ia,'A [+e^iiω^^'v dt=2πδ{ω-11j^)2,利用拉氏变换求解微分方程 ]y"^^y'+3V =e~l i MO)=MO)Ml ”
解：52r(5)-5∙y(0)-y ,(0)+4{5y(5)-^(0)]+3r(5)=-
$+1
①y(f)=Res[Y(s)e",-l]+Res[y(6)e",-3]
四、解答题(1,3,4,5,6：8分；2：12分；7：6分)
1,求卜χ2+iy)dz,其中C 是沿曲线y =x?由点z=0到点z=l +i°C
解：C ：即Z=r+/
原式=<(f+"2)(l+2ri)df
=(]+ι)∫J∕3+2AW∕=d+j)l→i⅛]o
z =2的正向圆周∣z ∣=R(R>0)
2,根据R 的取值不同，讨论并计算积分
———的值。

其中C 是不经过Z = -I 和 (z +
l)(z-2)
解：①当R<l 时∫=O
J Jz=-I t 2πi=--πi r(z+l)(z-2) z-2Z3
f1
2 2
--------- d z+I dz=2πi[——πz 11~π∕]=0
n(z+l)(z-2)几(z+l)(z-2) 3 3
3^U(X,y)=V 一3χ)是调和函数，求其共掘调和函数V(X,y)。

III "一包一“Υn-一-3Z +心)∂y∂x
又因为—=------ =—(3/—3犬)即—3y 2+c r (x)=-3y 2÷3x 2
∂x∂y
②dv=-dx^--dy=(-3y 2+3x?)ri⅛+(-6jςy)dv ∂x Gy
4、/(z)=/-iy 在何处可导？何处解析？并在可导处求/'(z)
解：令H(X ,y)=x ∖v(x,y)=-y
w(x,y)?n(x,y)可微，Ll )且酒足--=
~^—=_TΓ
∂xoy∂y 汝
即FAT
[0=0
.∙.仅在X=-I 直线上可导(5')
且F(Z)=-I
无解析点
5、求将单位圆∣z ∣<1内保形映照到单位圆∣w ∣<l 内，且满足/(与=0,arg /'(▲)=f 的分式
线性映照。

解：vv ="^∑^
H 由∕d)=o 得W=尹「况
2
I-Iz J 2
②当1<R<2时
③当R>2时
又arg∕'φ-∣即arg,*/=>8=三
6、将/(z)= ............. ? ......... 在l<∣z ∣<3上展开成罗朗级数。

(z-l×z-3}
7、指出/(Z)===在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。

解1：①Z=O 为/(Z)的孤立奇点
②，Iim
L ：-=iim 〃「=8n Z=O 为极点工T)Z E 4z
"
一2已
又lim ∣—-∙z 3]=lim ------------ =-2=>Z=O 为三阶极点
z→0 】— 1
"、1
(2z)(2z>(2Z )3(2Z )4
/(z)=-1-(1+—+∙^-+^-+∙^-+)
J1! 2! 3!
4!
4
.∙. Z=O 为三阶极点,且 Res(f,0)=j=-§
［一1
/工 ③R 咏h ，°F 叫丁厂
4 ———
3
解2：。