江西省赣州市十四县(市)2017-2018学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)

2017-2018第二学期赣州市十四县（市）期中联考
高一数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.
1. 若且,则在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】B
【解析】∵，∴在第二象限或第四象限
∵,∴在第一、二象限或y轴的正半轴，
∴在第二象限
故选：B
2. 向量，若，则的值为（）
A. B. 2 C. D. -
【答案】A
【解析】∵向量，，
∴，∴
故选：A
3. 在中，，，则三角形的解的个数是（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 不确定
【答案】B
【解析】∵在中，，，
∴
∴三角形的解的个数是1，
故选：B
4. 下列命题正确的是( )
A. 单位向量都相等
B. 若与共线，与共线，则与共线
C. 若，则
D. 若与都是单位向量，则
【答案】C
【解析】A选项，单位向量模相等，但方向不一定相同，故A错；
B选项，因为零向量与任意向量共线，故B错；
C选项，对等式两边平方，易得，故C正确；
D选项，与夹角为60°时，，故D错误.
故选：C
5. 已知函数图像可以由函数如何平移得到（）
A. 向左平移
B. 向右平移
C. 向左平移
D. 向右平移
【答案】D
【解析】将函数的图象向右平移得到
故选：D
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.
6. 已知等差数列中的前项和，若,则（）
A. 145
B.
C. 161
D.
【答案】C
【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵，∴2（a1+9d）=a1+7d+7，化为：a1+11d=7=a12．则S23==23a12=161．
故选：C．
7. 在中，角所对的边分别为，若，则这个三角形一定是（）
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】∵，由正弦定理可得 sinB=2sinCcosA，所以sin（A+C）=2sinCcosA，
可得sin（A﹣C）=0．
又﹣π＜A﹣C＜π，∴A﹣C=0．
故△ABC的形状是等腰三角形，
故选：C．
8. 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布。

A. B. C. D.
【答案】D
.....................
则由题意知，
解得d=．
故选：D．
9. 在中，，，，则在方向上的投影是（）
A. 4
B. 3
C. -4
D. -3
【答案】D
【解析】△ABC中，∵|+|=|﹣|，
∴+2•+=﹣2•+，
∴•=0，∴⊥；又AB=4，AC=3，
∴在方向上的投影是
||•cos＜，＞=||•cos（π﹣∠ACB）=﹣||•cos∠ACB
=﹣3；
如图所示．
故选：D．
10. 在中，角所对的边分别为，已知，，则
（）
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】∵
∴
∴
∴
∴
∵角A是△ABC的内角
∴A=60°
由正弦定理可得：，∴
又
∴
故选：B
11. 已知向量若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，若与的夹角为锐角θ，则有 cosθ＞0，即＞0，且与不共线．
由＞0，得32λ＞0，解得λ，
当与共线时，有=λ，
所以λ的取值范围是
故选：．
点睛：本题是一道易错题，与的夹角为锐角θ并不等价于数量积＞0，注意共线同向数量积为正，共线反向数量积为负.
12. 已知点是的重心，内角所对的边长分别为,且
,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵点O是△ABC的重心，
∴，
又∵2a=，
∴可设2a=x，b=x，c=x（x＞0），
∴a=，b=x，c=（x＞0），
∴cosC===，
∴sinC=,同理可得：，
故选：．
点睛：设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分
13. 已知，则的值________.
【答案】
【解析】∵
∴
故答案为：
点睛：利用sin2＋cos2＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan可以实现角的弦切互化；应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二．
14. 设的内角所对边的长分别为.若，，则_____．【答案】
【解析】∵，∴由正弦定理，可得2a=3c，
∴a=
∵b+c=2a，
∴b=
∴cosB==﹣
故答案为：﹣
15. 在数列中,，若则的值为______.
【答案】
【解析】∵a n+1=，a1=，∴a2=2×﹣=，a3=﹣1=，a4=2×=，a5=2×=，…，∴a n+4=a n．
则=a5×4=．
故答案为：．
16. 已知且，若成立，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】建立平面直角坐标系，设，，，
，
由题意可知：，表示以为圆心，1为半径的圆面（包括边界）上的动点与原点连线段的长度，
易知最大，最小为
故答案为：
三. 解答题：本大题共6个小题.共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知，的夹角为，且||，求：
(1)；
(2).
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由数量积的定义可得，从而易得的值；
（2）由向量的平方即模的平方即可得到的值.
试题解析：
（1）.
(2).
点睛：平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b ＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
18. 在中，角所对的边分别为、、，且，.
(1)若，求的值；
(2)若的面积，求、的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由同角关系可得：，再由正弦定理可得的值；
（2）由面积公式可得c＝5,结合余弦定理可得b.
试题解析：
(1)因为cos B＝>0，0<B<π，
所以sin B＝＝
由正弦定理得＝，所以sin A＝ sin B＝.
(2)因为S△ABC＝ac sin B＝c＝4，所以c＝5,
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝22＋52－2×2×5×＝17，
所以b＝.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
19. 已知在等差数列中, , 是它的前项和,.
(1)求；
（2）这个数列的前多少项的和最大,并求出这个最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据S10=S22，由等差数列的前n项和的公式可知，从第11项到第22项的和等于0，根据等差数列的前n项和的公式表示出第11项到第22项的和，然后利用等差数列的通项公式化简后得到首项和公差的关系式，把首项的值代入即可求出公差，利用首项和公差写出等差数列的前n项和的公式即可；
（2）根据（1）写出的前n项和的公式，发现S n与n成的是二次函数关系，利用二次函数取最大值的方法即可求出S n的最大值及此时n的值．
试题解析：
（1）,,
又∵,∴
即,
故.
又∵,∴
∴.
（2）由（1）利用二次函数图像性质，故当时,有最大值,的最大值是256.
20. 已知函数的图像与轴相邻的交点距离为，并且过点.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据题意可得周期T=π，即可求出ω的值，把点代入得的值；（2）根据二倍角公式和两角和差的正弦公式，可得g（x）=，再根据正弦函数的图象和性质即可求出最值
试题解析：
（1）由已知函数的周期,，
把点代入得，.
（2）
，，在区间上的最大值为2，最小值为.
21. 某地拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域，其中三角形区域为主题活动区，其中，，，为游客通道（不考虑宽度），且，通道围成三角形区域为游客休闲中心，供游客休息.
(1)求的长度；
(2)求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：
(1)在中，，由正弦定理知，
得
(2)在中，设,由正弦定理知
得
，
，
当时，取得最大值.
22. 在中，角的对边分别为，向量（，
,满足.
（1）求角的大小；
（2）设，
有最大值为，求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】试题分析：（1）由条件|可得，，代入得（a﹣c）sinA+（b+c）（sinC﹣sinB）=0，根据正弦定理，可化为a（a﹣c）+（b+c）（c﹣b）=0，结合余弦定理a2+c2﹣b2=2acosB ，代入可求角的大小；
（2）先求=﹣+,．结合0＜A ＜，及二次函数的知识求解.
试题解析：
（1）由条件=，两边平方得，又
=（sinA,b+c）,=（a－c,sinC－sinB）,代入得（a－c）sinA＋（b+c）（sinC－sinB）＝0，根据正弦定理，可化为a（a－c）+（b+c）（c－b）=0,即，
又由余弦定理＝2acosB,所以cosB ＝，B ＝.
（2）m=（sin（C+）,）,n=（2,kcos2A）（）,
=2sin（C+）+cos2A=2sin（C+B）
+kcos2A=2ksinA+k -=-k +2sinA+=-+,而0<A<,sinA∈（0,1],
①时，取最大值为.
②时，当时取得最大值，解得
.
③时，开口向上，对称轴小于0当取最大值（舍去），
综上所述，或.
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