河南省商丘市第一高级中学高三数学上学期期末考试试题 文(扫描版)

商丘市2015—2016学年度第一学期期末考试参考答案
高三数学（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分
A D
B D A D
C
D B C B C 二、填空题（每小题5分，共20分） （13）7 （14）
52 （15）54 （16）9
4
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
(17)解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，1，33d +，936d +成等比数列，
∴()2
33936d d +=+， (1)
分
即022=-d d ，
∴0=d 或2=d .……………………………………………3分
当0=d 时，1=n a ；……………………………………………………………
4分
当2=d 时，
12-=n a n . ………………………………………………………5分
（Ⅱ）当1n a =时，n T n =；……………………………………………………………
6分
当12-=n a n 时，()()12121
5
31311+⨯-+
+⨯+⨯=
n n T n Λ )]1
21121()5131()3111[(21+--++-+-=n n Λ………………………………8分
1
2)1211(21+=+-=n n n .………………………………………………………10分
(18)解：（Ⅰ）∵BCD ∆的面积为33，
3B π
=
，2BC =, ∴1133
sin 222BCD S BC BD B BD ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=
， ………………1分 ∴2
3
BD =
.…………………………………………………………………………3分
在BCD ∆中，由余弦定理可得
222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅……………………………………
……4分
42127
4229323
=+
-⨯⨯⨯=
. ……………………………………………6分
（Ⅱ）在ADE ∆中,∵6
2
DE =
，∴6
sin 2sin DE AD A A
=
=
,…………………………7分 在BCD ∆中，由正弦定理可得
sin sin BC CD
BDC B
=∠,……………………………8分
又6
2sin AD CD A
==
，∴A ACD ∠=∠,
∴2BDC A ACD A ∠=∠+∠=∠, ∴
26
sin 22sin sin 60
A A =o
,…………………………………………………………10分
∴2
cos 2
A =
，………………………………………………………………………11分
∴4
A π
=
．……………………………………………………………………
………12分
(19)解：(Ⅰ)两个队数据的平均值都为
7, …………………………………………………………1分
A 队的方差
22222
21
(67)(57)(77)(97)(87)25
s -+-+-+-+-==,…………3分
B 队的方差
222222
2
(47)(87)(97)(77)(77)1455
s -+-+-+-+-==,………5分
因为22
12s s <，A 队的方差较小，所以A 队的成绩比较稳
定.………………………6分
(Ⅱ) A 队1到5号记作,,,,a b c d e ，B 队1到5号记作1,2,3,4,5，从两队中分别任选一个队员，
得到的基本样本空间为：
{}
1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d e e e e e Ω=，
…………8分
Ω由25个基本事件组成，这25个是等可能的；
将“A 队队员击中次数低于B 队队员击中次数”记作A ，
则{}2,3,4,5,2,3,4,5,2,3,3A a a a a b b b b c c e =，
A 由11个基本事件组成，
…………………………………………………………10分
所以A 队队员击中次数低于B 队队员击中次数的概率为
11
25
p =
. ……………12分 (20)
解：（Ⅰ）在图1中，因为12AB BC AD a ===，E 是AD 的中点，2
BAD π
∠=，所以BE AC ⊥，
即在图
2
中，1,BE AO BE OC
⊥⊥，
从而BE ⊥平面
1A OC , ………………4分
又
//CD BE
所以
CD ⊥
平面
1A OC ． …………………………………………6分
（Ⅱ）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE I 平面BCDE BE =,
又由（Ⅰ）知，1A O BE ⊥，所以1
AO ⊥平面BCDE ， 即
1A O
是四棱锥
1A BCDE
-的
高， ………………………………………………7分
由图1可知，122A O AB =
=，平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=，
从而四棱锥1A BCDE -的为，231
1
1223326
V S AO a a a =⨯⨯=⨯⨯=, 由
3
23626
a =，
得
6a =． ………………………………………………………8分
∵//BE CD ，∴点E 到平面1A CD 的距离等于点O 到平面1A CD 的距离, 由（Ⅰ）知CD ⊥平面1A OC ．CD ⊂平面1A CD ,
∴平面1
AOC ⊥平面1A CD , 过O 作1OH A C ⊥交1A C 于H ,则OH ⊥平面1A CD , ∴
点
O 到平面
1A CD
的距离为
OH ,………………………………………………………10分
在1Rt AOC ∆中，12
322
A O OC a ===，∴16A C =, ∴1132
OH AC =
=, ∴
3h OH ==. …………………………………………………………………………12分 （21）解：(Ⅰ)∵AB ∥l ，且AB 边通过点O (0,0)，∴AB 所在直线的方程为y x =，……………1分
设,A B 两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ． 由
2234x y y x
⎧+=⎨
=⎩得
1
x =±， …………
…………………………………………………2分
∴
12222AB x x =-=. ……………………………
………………………………3分
又∵AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，∴2h =
，
1
22
ABC S AB h ∆=
⋅=. ……………………………………………………………………5分
(Ⅱ)设AB 所在直线的方程为y x m =+，(2)m ≠
由2234x y y x m
⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=. ∵,A B 在椭圆上，∴2
12640m ∆=-+>，
解
得
4343
2233
m m -
<<<<或. ……………………………………………………6分 设,A B 两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．则1232
m
x x +=-，
21234
4
m x x -⋅=，
∴2
1232622
m AB x x -=-=.…………………………………………
…………8分
又∵BC 的长等于点(0,)m 到直线l 的距离，即22
m BC -=
.
∴2
2
2
2
2
210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++.………………
…………10分
∵4343
(,2)(2,)m ∈-
⋃， ∴当1m =-时，AC 边最长． 此
时AB
所在直线的方程为1y x =-.……………………………………………………12分 （
22
）
解
：
（
Ⅰ
）
∵
函
数
的
定
义
域
为
R
，
()x
x
f x e '=-
，…………………………………………………1分 ∴当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<． ∴
()
f x 增区间为
(,0)
-∞，减区间为
(0,)+∞．………………………………………3分
（Ⅱ）假设存在12,[0,1]x x ∈，使得12()()g x f x <成立， 则
[]max min ()[()]g x f x <． ………5分
由（Ⅰ）可知max [()]f x f =(0)=1，
∴
只
需
[]min ()1
g x <即
可, …………………………………………………………………6分
∵2(1)1()()()x
x
x t x g x x f x t f x e
e
-+-+'=⋅+⋅+=， ∴2[(1)]()(1)
()x x
x t x t x t x g x e e --++-⋅-'==-，………………
………………………7分
①当1t ≥时，()0g x '≤，()g x 在[0,1]上单调递减，
∴(1)1g <，即
31e
<-t
，∴3t e >-，又1t ≥，∴此时t 的范围为[)1,+∞；………8分
②当0t ≤时，()0g x '>，()g x 在[0,1]上单调递增， ∴(0)1g <，即11<不可能存
在； ……………………………………………………9分
③当01t <<时，在[0,]x t ∈，()0g x '<，()g x 在[0,]x t ∈上单调递减， 在(,1]x t ∈，()0g x '>，()g x 在(,1]t 上单调递增，∴()1g t <， 即
1
1t
t e +<﹣﹣（*） 由（Ⅰ）知，1
()t t h t e
+=
在(0,1)上单调递减，∴(0,1)t ∈1
()(0)1t t h t h e
+=
<=，恒成立， ∴
(0,1)t ∈. …………………………………………………………………………11分
综上所述，存在(0,)t ∈+∞，使得命题成
立． ………………………………………12分。