旧教材适用2023高考数学一轮总复习第六章数列第4讲数列的求和课件

an＋2，n为偶数． (1)记 bn＝a2n，写出 b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； 解 (1)由已知，a1＝1，a2＝a1＋1＝2，a3＝a2＋2＝4，a4＝a3＋1＝5， 因为 a2n＋1＝a2n＋2＝a2n－1＋1＋2＝a2n－1＋3，即 a2n＋1－a2n－1＝3， 所以数列{an}的奇数项构成以 1 为首项，3 为公差的等差数列，
3×2n－2 ＝2，b2＝a4＝5，bn＝a2n＝ 2 ＝3n－1，所以 bn＝3n－1.
(2)求{an}的前 20 项和．
解 (2)由(1)，知{an}的前 20 项和 S20＝a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋ a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝10×1＋102×9×3＋10×2＋102×9×3＝300.
解析
通项
an
＝
1 （2n）2－1
＝
1 （2n－1）（2n＋1）
＝
1 2
×
2n1－1－2n1＋1
，
∴
Sn
＝
1 2
×
1－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1
＝
1 2
×1－2n1＋1＝2nn＋1.
4．(2021·宁夏固原市模拟)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比不为 1.
若 a1＝1，对任意的 n∈N*，都有 an＋2＋an＋1－2an＝0，则 S5＝ 11
4．分组转化法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列 组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减． 5．并项求和法 一个数列的前 n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 an ＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
常见的拆项公式
(1)n（n1＋1）＝1数列{an}的公比为 q，因为对任意的 n∈N*，都有 an＋2＋ an＋1－2an＝0，则令式中 n＝1，得 a3＋a2－2a1＝0，所以 a1(q2＋q－2)＝0. 显然 a1≠0，所以由 q2＋q－2＝0，解得 q＝－2 或 q＝1(舍去)，则 S5＝ a1（11－－qq5）＝1－（3－2）5＝11.
(2)（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1；
(3)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
1．(2022·吉林白山模拟)数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n(2n－1)，则该
数列的前 100 项和为( )
A.－200
B．－100
C．200
D．100
答案 D 解析 根据题意有 S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50
（2n－1）3n＋1＋3
5．已知 an＝31n，设 bn＝ann，记{bn}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝
4．
解析 bn＝n·3n，
于是 Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①
3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，②
①－②，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，即－2Sn＝3－1－3n3＋1－n·3n
所
以
2 a1a2
＋
4 a2a3
＋
8 a3a4
＋
16 a4a5
＝
2－1 1－22－1 1
＋
22－1 1－23－1 1
＋
…
＋
24－1 1－25－1 1＝1－25－1 1＝3301.
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 分组转化法求和 例 1 (2021·新 高 考 Ⅰ 卷 ) 已 知 数 列 {an} 满 足 a1 ＝ 1 ， an ＋ 1 ＝ an＋1，n为奇数，
第4讲 数列的求和
1
PART ONE
基础知识整合
1．倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等 于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列 的前 n 项和即是用此法推导的．
2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积 构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和 就是用此法推导的． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从 而求得其和．
所以当 n 为奇数时，an＝1＋n＋2 1－1×3＝3n2－1； 因为 a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，即 a2n＋2－a2n＝3， 所以数列{an}的偶数项构成以 2 为首项，3 为公差的等差数列， 所以当 n 为偶数时，an＝2＋n2－1×3＝3n2－2，而 bn＝a2n，所以 b1＝a2
＋1，
Sn＝n2·3n＋1－14·3n＋1＋34＝（2n－1）4 3n＋1＋3.
6．(2022·安徽淮北模拟)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 Sn＝2an－n，则a12a2
30
＋a24a3＋a38a4＋a146a5＝ 31
．
解析 因为 Sn＝2an－n，所以 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－[2an－1 －(n－1)]，所以 an＝2an－1＋1，则 an＋1＝2(an－1＋1)，n＝1 时，a1＝2a1－1， 解得 a1＝1.所以数列{an＋1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．所以 an＋1 ＝2n，即 an＝2n－1，所以ana2nn＋1＝（2n－1）（2n 2n＋1－1）＝2n－1 1－2n＋11－1.
所以{an}的前 20 项和为 300.
1．分组转化求和通法 若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公 式求得原数列的和．求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数 列的通项合理分解转化．
2．分组转化求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法 求{an}的前 n 项和． (2)若 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数，，且数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可 采用分组求和法求和．
＝100.故选 D.
2．数列 1，12，2，14，4，18，…的前 2n 项和 S2n＝ 2n－21n
．
解析 S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋12＋41＋18＋…＋21n＝2n－1＋1－21n＝ 2n－21n.
n 3．Sn＝22－1 1＋42－1 1＋…＋（2n）1 2－1＝ 2n＋1 ．