zA框架结构在水平荷载下的计算(反弯点法和D值法)

的方便，假定同层各节点转角相同。 ②假定同层各节点的侧移相同。 这一假定，实际上是忽略了框架梁的
轴向变形。这与实际结构差别不大。
33
（二）柱的抗侧刚度D值
柱 D 值计算
D V
计算假定 例 ：柱 AB 的 D 值计算
层间侧移△相等 ，
剪切角为 u j
hj
梁、柱结点转角相等，设为
计算柱与相邻柱线刚度相同 ic 与柱B端相交的梁的线刚度为
y 0 —标准反弯点高度比，由附表2.1-2.2查取； y1 —上、下层梁刚度不等时的修正值，由附表2.3查取； y 2 y 3 —上、下层层高不等时的修正值，由附表2.4查取。
48
（三）确定柱反弯点高度比y
１.标准反弯高度比y０ 标准反弯点高度比是在各层等高、各跨相等、 各层梁和柱线刚度都不改变时框架在水平荷载作 用下的反弯点高度比。 按该框架总层数n，所在楼层数j以及梁柱线 刚度比K查附表2.1、附表2.2。 在查取y0时，风荷载（均布水平荷载）作用下 和水平地震作用（三角形荷载）下应采用相应的 表格。
h上、h下——上层、下层层高
51
（三）确定柱反弯点高度系数y
4.反弯点高度
Y yh
当 反 弯 点 高 度 为 0≤ Ｙ ≤ ｈ 时 ， 反 弯点在本层；当Ｙ>ｈ时，本层无反点， 反弯点在上层；当Ｙ<0时，反弯点在下 层。
52
（四）确定柱端弯矩
上端弯矩
M
t ij
Vij
h1 y
下端弯矩
M
b ij
由此也可以看出，反弯点法是有一定的适用范 围的，即框架梁、柱的线刚度之比应不小于3。
5
水平荷载作用下框 架的变形情况：
当梁刚度无限 大时，水平荷载作 用下框架的变形情 况：节点转角为0， 各节点水平位移相 同。
6
②假定底层柱子的反弯点位于柱子高度的2/3 处，其余各层柱的反弯点位于柱中。
当柱子端部转角为零时，反弯点的位置应该 位于柱子高度的中间。而实际结构中，尽管梁、 柱的线刚度之比大于3，在水平力的作用下，节点 仍然存在转角，那么反弯点的位置就不在柱子中 间。尤其是底层柱子，由于柱子下端为嵌固，无 转角，当上端有转角时，反弯点必然向上移，故 底层柱子的反弯点取在2/3处。上部各层，当节点 转角接近时，柱子反弯点基本在柱子中间。
(0.8)
A
E
2.7m
(1.2)
8.1m
(0.9) 3.3m
J
(0.8) 3.9m
I
28
解：由于框架同层各柱 h 相等，可直接用杆件线刚度的相对值计算各柱的
分配系数。
DH
M
（1）求各柱剪力分配系数：
(0.7)
(0.6)
(0.9)
C
G
K
顶层：
DC
0.7
0.318
0.7 0.6 0.9
(0.7) B
2
uj 2 uj
221 ic(i1i2i3i4) hj 2Khj
K ib 2ic
38
V 6 ia 6 ib 1 i 2 a b V 1 i 2 1 i 2
l l l2
l l2
A
将 2 2 K l代入 ,可 V 上 得 2 K K 1 式 l2 i 2
影响柱子反弯点高度的因素主要有以下几个方面： ①结构总层数及该层所在的位置； ②梁、柱线刚度比； ③荷载形式； ④上、下层梁刚度比； ⑤上、下层层高变化。
47
（三）确定柱反弯点高度比y
在改进反弯点法中，柱子反弯点位置用反弯 点高度比来表示:
yY h
Y—表示柱反弯点高度 h—柱高度
yy0y1y2y3
梁柱刚度比
ic
K i1 i2 ic
0.5 K
2K
41
（二）柱的抗侧刚度D值
特殊情况： 1.当同一楼层中有个别柱与一般柱的高度不相等时，这
些个别柱的抗推刚度按下列公式计算：
D'
1
12ic1 h12
42
（二）柱的抗侧刚度D值
2.带有夹层的柱，其抗推刚度按下式计算：
D'
1
1
1
D1D2 D1 D2
i1、 i2
与柱A端相交的梁的线刚度 为
i3 、i 4
i1
ic B
i2
i3
ic i4
A
ic
34
35
ui D
B
hi
A
C
36
柱 AB 剪力与 相邻梁 、柱杆端的侧移△及转角 相关
因此需求出转角和位移的关系 预备公式 ： 转角位移方程
A、B 端均为刚结的杆端
Ma4ia2ib6il
Mb4ib2ia6il
4
１.反弯点法的假定及适用范围 ①假定框架横梁抗弯刚度为无穷大。 如果框架横梁刚度为无穷大，在水平力的作用
下，框架节点将只有侧移而没有转角。实际上，框 架横梁刚度不会是无穷大，在水平力下，节点既有 侧移又有转角。但是，当梁、柱的线刚度之比大于 3时，柱子端部的转角就很小，此时忽略节点转角 的存在，对框架内力计算影响不大。
a
A B 则 D jk V 1 h ji2 c2 2 K K ,
K,K ib 2 K 2 ic
B
b l
a
b
D jk
12 ic hj2
l
框架梁的线刚度无穷大时 同理可推导底层柱 D 值
，
1,
D
12ic hj 2
0.5K,Kib
2K
ic
B
b
hj
a
39 A
（二）柱的抗侧刚度D值
柱的抗侧刚度D值
18
解：作三个截面通过各柱的反弯点（一般层反反弯 点高度为1/2柱高，首层为2/3柱高），如图所示：
19
由于框架同层各柱高h相等，可直接用杆件线刚度 的相对值计算各柱的分配系数。
（1）柱的剪力 三层：
20
二层
21
首层
22
（2）柱端弯矩 三 层
23
（2）柱端弯矩 二 层
24
（2）柱端弯矩 首 层 其余计算从略。
约束越大 ，反弯点偏离越多
45
反弯点法
F d 12 i
d h2
D 值法
1
FD
D 12i
h2
1
V6ia6ib1i2 考虑梁 、柱线刚度比
l
l l2
46
（三）确定柱反弯点高度比y
柱反弯点高度，取决于柱子两端转角的相对大小。 如果柱子两端转角相等，反弯点必然在柱子中间；如 果柱子两端转角不一样，反弯点必然向转角较大的一 端移动。
MGK ?
C
G (1.7)
MGK30.56kN B
F
MGF65.93KN
(2.4)
A
E
M G K(M G H M G)F 1 .7 1 .0 1 .03.5 0k6N
1 .7 M G C (M G H M G)F 1 .7 1 .05.0 2k4N
M (0.8)
K (1.0)
J (1.2)
I
31
D1 D2
D D
1 2
12 i c 1
c1
h
2 1
12 i c 2
c2
h
2 2
43
计算各柱所分配的剪力：
44
（三）确定柱反弯点高度比y
上、下端约束对梁反弯点的影响
h 2
yhh
yh
h 2
yh h
上下都是固端
上端为简支承
上端约束小
反弯点在柱中点 无反弯点或
下端约束大
反弯点在顶点 反弯点在上半柱间
hj 2
h j ——第j层柱高
cjk表示第j层第k号柱，t(top)、b(bottom)分别表示柱
的顶端和底端。
12
６ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ梁端弯矩
梁端弯矩按节点平衡及线刚度比得到。 （１）边节点
顶部边节点： Mb Mc
一般边节点： MbMc1Mc2
13
６.梁端弯矩
（２）中节点：按线刚度比 进行分配。
14
７.梁内剪力
0.272
FE
JI
0.8 0.60.80.8
0.364
D
H
（2）求各柱在反弯点处的剪力：
37kN
VDCDC3 71 1.7 7k N
CG
74kN
VCBCB(3 77 4)3 1.0 8k N
BF
VBABA(3
77
48
0.7)5
2.1
4k N80.7kN
A
E
（3）求各柱柱端弯矩：
MDC
MCD
VDC
3.3 2
19.42k
N
m
MBC
MCB
VBC
3.3 2
51.28k
N
m
MAB
2MBA
VBA
23.9 3
135.56k
N
m
M K J I
30
（4）求梁端弯矩：梁端弯矩按梁线刚度分配 D
M DH M DC 1.4 9k2N
MDH19 .42kN
MDC19.42kN
MGH16.67kN
DH (1.5)
G
MGC ? MGC52.04kN
Vij
hy
Vij —第i层第j柱的剪力； h —层高； y —反弯点高度比；
Ｍij —第i层第j柱的弯矩。
53
二、改进反弯点法－Ｄ值法
（五）D值法进行计算步骤：
(0.9) F
(0.9) J
HG
0.6 0.7 0.6 0.9
0.273
(0.6) A
(0.8) E
(0.8) I
MK
0.9 0.7 0.6 0.9
0.409
二层：
CB
0.7 0.70.90.9
0.280
GF
KJ
0.9 0.70.90.9
0.360
29
底层：
BA
0.6 0.60.80.8
由
d 12 ic
h2
有
V jk
i jk
m
Vj
i jk
k 1
i j k ——柱子的线刚度
11
５.柱端弯矩
求得各柱子所承受的剪力以后，由假定(2)便可
求得各柱的杆端弯矩。
对底层柱
M
t c1k
V1k
h1 3
M
b c1k
V1k
2 h1 3
上部各层柱，上 下柱端弯矩相等
Mt cjk
Mcbjk
Vjk
任务二 水平荷载作用下的近似计算
框架结构在水平荷载作用下的 近似计算方法：
一、反弯点法 二、改进反弯点法——D值法
1
如果在反弯点处将柱 子切开，切断点处的内力 将只有剪力和轴力。
如果知道反弯点的位置 和柱子的抗侧移刚度，即 可求得各柱的剪力，从而 求得框架各杆件的内力， 反弯点法即由此而来。
由此可见，反弯点法的关键是反弯点的位置 确定和柱子抗推刚度的确定。
49
（三）确定柱反弯点高度比y
２.上、下层梁刚度不等时的修正值 y1
当某柱的上梁与下梁的刚度不等，柱上、下 结点转角不同时，反弯点位置会有变化，应将 标准反弯点高度比加以修正，往线刚度小的方 向修正。
用a1与Ｋ值(梁柱线刚度比)查附表2.3。
50
（三）确定柱反弯点高度比y
３.上、下层层高不等时的修正值y2、y3 用a2、a3与Ｋ值查附表2.4。
V6ia6ib1i2
l
l l2
A
B
a
b
l
37
计算转角和位移的关系 – 节点 A 、B 处
Ma4ia2ib6il
V6ia6ib1i2
l
l l2
M 0
A :4 ( i3 i4 ic ic ) 2 ( i3 i4 ic ic ) 6 ( ic ic ) h u jj 0
B :4 ( i1 i2 ic ic ) 2 ( i1 i2 ic ic ) 6 ( ic ic ) h u jj 0
D
12ic h2
式中
h—层高
ic —柱的线刚度，ic EIc /h ； E—柱混凝土弹性模量； I c —柱截面惯性矩； —与梁柱刚度比有关有刚度修正系数
40
i2 ic
i4
K i2 i4 2ic
i2 ic
K i2 ic
i1 i2
ic
Ki1i2 i3 i4 2ic
K
2K
i3 i4 i1 i2
h ——柱子的层高。
9
４.同层各柱剪力的 确定
V jk
d jk
m
Vj
d jk
k 1
V j k ——第j层第k柱所承受的层间剪力；
d j k ——第j层第k柱子的抗侧刚度；
V j ——水平力在第j层产生的层间剪力；
m ——第j层的柱子数。
10
４.同层各柱剪力的确定
一般，当同层各柱的高度相等时，
7
２.反弯点高度的确定
反弯点高度y的定义为反弯点至柱下端的距离。
h
y
2 2 3
h
上部各层柱 底层柱
h——层高
8
３.柱子的抗侧移（抗推）刚度d
柱子的抗侧移刚度：物理意义表示柱端产生相 对单位位移时，在柱子内产生的剪力。
柱子端部无转角时，柱子的抗侧移刚度：
d 12 ic h2
i c ——柱子的线刚度；
25
（3）梁端弯矩
16
其余计算从略。
26
(4) 弯 矩 图
27
用反弯点法求下图框架的弯矩图。图中括号内的数
值为该杆的线刚度比值。
37kN D
H
(1.5)
M (0.8)
(0.7)
(0.6)
(0.9)
3.3m
74kN
C
(1.7) G
(1.0)
K
(0.7)
(0.9)
B
80.7kN
(2.4) F
(0.6)
二、改进反弯点法－Ｄ值法
当框架的高度较大、层数较多时，柱 子的截面尺寸一般较大，这时梁、柱的线 刚度之比往往要小于3，反弯点法不再适 用。进行框架内力计算，就必须对反弯点 法进行改进——改进反弯点（D值）法。
改进内容 ： 抗侧刚度 D V
反弯点位置
32
二、改进反弯点法－Ｄ值法
（一）基本假定 ①假定同层各节点转角相同； 承认节点转角的存在，但是为了计算
15
８.柱内轴向力
自上而下逐层 叠加节点左右的 梁端剪力。
16
反弯点法的主要计算步骤：
1、计算柱子的抗侧刚度； 2、将层间剪力在柱子中进行分配，求得 各柱剪力值； 3、按反弯点高度计算柱子端部弯矩； 4、利用节点平衡计算梁端弯矩，进而求 得梁端剪力； 5、计算柱子的轴力。
17
例题：用反弯点 法计算右图所示 框架的弯矩，并 绘出弯矩图。图 中圆括号内的数 字为杆件的相对 线刚度。