城子河区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

城子河区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=Asin （ωx ﹣
）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2 的等边三角
形，为了得到g （x ）=Asin ωx 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）
A ．向左平移个长度单位
B ．向右平移个长度单位
C ．向左平移
个长度单位 D ．向右平移
个长度单位
2． 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）
A.x y e -=
B.3
y x = C.ln y x = D.y x = 3． 若函数y=f （x ）是y=3x 的反函数，则f （3）的值是（ ） A ．0
B ．1
C ．
D ．3
4． 函数2
()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[]2,4 C ．(,2]-∞ D ．[]0,2 5． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 6． 函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（0，1）
7． 若实数x ，y 满足不等式组则2x+4y 的最小值是（ ）
A ．6
B ．﹣6
C ．4
D ．2
8． 二项式(1)(N )n
x n *
+?的展开式中3
x 项的系数为10，则n =（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．
9． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）
A ．20，2
B ．24，4
C ．25，2
D ．25，4 10．已知椭圆
，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
11．过点（﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y+3=0的直线方程为（ ）
A ．x ﹣2y+7=0
B ．2x+y ﹣1=0
C ．x ﹣2y ﹣5=0
D ．2x+y ﹣5=0
12．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．20
【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
二、填空题
13．已知随机变量ξ﹣N （2，σ2），若P （ξ＞4）=0.4，则P （ξ＞0）= ．
14．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．
15．在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sin θ与ρcos θ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为 ．
16．已知,a b 为常数，若()()224+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，,则5a b -=_________. 17．定义：[x]（x ∈R ）表示不超过x 的最大整数．例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．给出下列结论： ①函数y=[sinx]是奇函数；
②函数y=[sinx]是周期为2π的周期函数； ③函数y=[sinx]﹣cosx 不存在零点；
④函数y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}． 其中正确的是 ．（填上所有正确命题的编号）
18．设,x y 满足条件,
1,
x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩，若z ax y =-有最小值，则a 的取值范围为 ．
三、解答题
19．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】如图，某公司的LOGO 图案是多边形ABEFMN ，其
设计创意如下：在长4cm 、宽1
c m 的长方形ABCD 中，将四边形DFEC 沿直线EF 翻折到MFEN （点F 是线段AD 上异于D 的一点、点E 是线段BC 上的一点），使得点N 落在线段AD 上. （1）当点N 与点A 重合时，求NMF ∆面积；
（2）经观察测量，发现当2NF MF -最小时，LOGO 最美观，试求此时LOGO 图案的面积.
20．已知﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2，点P的坐标为（x，y）
（1）求当x，y∈Z时，点P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率；（2）求当x，y∈R时，点P满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的概率．
21．（本小题满分10分）
已知曲线
22
:1
49
x y
C+=，直线
2,
:
22,
x t
l
y t
=+
⎧
⎨
=-
⎩
（为参数）.
（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求||
PA的最大值与最小值.
22．已知抛物线C：x2=2y的焦点为F．
（Ⅰ）设抛物线上任一点P（m，n）．求证：以P为切点与抛物线相切的方程是mx=y+n；
（Ⅱ）若过动点M（x0，0）（x0≠0）的直线l与抛物线C相切，试判断直线MF与直线l的位置关系，并予以证明．
23．已知f（x）=|﹣x|﹣|+x|
（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范围．
24．已知f（）=﹣x﹣1．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．
城子河区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】 A
【解析】解：∵△EFG 是边长为2的正三角形，
∴三角形的高为
，即A=
，
函数的周期T=2FG=4，即T==4，
解得ω=
=
，
即f （x ）=Asin ωx=sin （x ﹣），g （x ）=sin
x ，
由于f （x ）=
sin （
x ﹣
）=
sin[
（x ﹣）]，
故为了得到g （x ）=Asin ωx 的图象，只需将f （x ）的图象向左平移个长度单位． 故选：A ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
2． 【答案】B
【解析】
试题分析：对于A ，x y e =为增函数，y x =-为减函数，故x y e -=为减函数，对于B ，2'30y x =>，故3y x =为增函数，对于C ，函数定义域为0x >，不为R ，对于D ，函数y x =为偶函数，在(),0-∞上单调递减，在()0,∞上单调递增，故选B. 考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.
3． 【答案】B
【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数， ∴函数y=3x 的反函数为y=f （x ）=log 3x ， 所以f （9）=log 33=1． 故选：B ．
【点评】本题给出f （x ）是函数y=3x （x ∈R ）的反函数，求f （3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．
4． 【答案】B 【解析】
试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m 需从开始，要取得最大值为，由图可知m
的右端点为，故m 的取值范围是[]2,4.
考点：二次函数图象与性质． 5． 【答案】A.
【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设()||cos f x x x =-，[,]x ππ∈-， 显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A. 6． 【答案】C
【解析】解：由函数f （x ）=3x +x 可知函数f （x ）在R 上单调递增，
又f （﹣1）=﹣1＜0，f （0）=30
+0=1＞0，
∴f （﹣1）f （0）＜0，
可知：函数f （x ）的零点所在的区间是（﹣1，0）． 故选：C ．
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．
7． 【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z=2x+4y 得y=﹣
x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点C 时，
直线y=﹣
x+的截距最小，此时z 最小，
由，解得，
即C （3，﹣3），
此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6． 故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．
8． 【答案】B
【解析】因为(1)(N )n x n *+?的展开式中3
x 项系数是3C n ，所以3
C 10n =，解得
5n =，故选A ． 9． 【答案】C 【解析】
考
点：茎叶图，频率分布直方图． 10．【答案】D
【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，
显然m ﹣2＞10﹣m ，即m ＞6，
，解得m=8
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．
11．【答案】A 【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x ﹣2y+c=0
∵过点（﹣1，3） 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7
∴x ﹣2y+7=0 故选A ． 【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x ﹣
2y+c=0．
12．【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，所以此四棱锥体积为
123123
1
=⨯⨯，故选C. 二、填空题
13．【答案】 0.6 ．
【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2
）， ∴曲线关于x=2对称，
∴P （ξ＞0）=P （ξ＜4）=1﹣P （ξ＞4）=0.6， 故答案为：0.6．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．
14．【答案】 9 ．
【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22， 所以总城市数为11÷0.22=50，
平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18， 所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9． 故答案为：9
15．【答案】 （1，2） ．
【解析】解：由2ρcos 2θ=sin θ，得：2ρ2cos 2
θ=ρsin θ，
即y=2x 2．
由ρcos θ=1，得x=1．
联立
，解得：
．
∴曲线C 1与C 2交点的直角坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．
16．【答案】 【解析】
试题分析：由()()224+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，，得22()4()31024ax b ax b x x ++++=++，
即2222
24431024a x abx b ax b x x +++++=++，比较系数得22124104324a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得1,7a b =-=-或
1,3a b ==，则5a b -=.
考点：函数的性质及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算，求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题，本题的解答中化简()f ax b +的解析式是解答的关键. 17．【答案】 ②③④
【解析】解：①函数y=[sinx]是非奇非偶函数；
②函数y=[sinx]的周期与y=sinx 的周期相同，故是周期为2π的周期函数； ③函数y=[sinx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]﹣cosx 不存在零点；
④函数数y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}． 故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题的真假判断，考查新定义，正确理解新定义是关键．
18．【答案】[1,)+∞ 【解析】解析：不等式,
1,
x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩表示的平面区域如图所示，由z ax y =-得y ax z =-，当01a ≤<时，
平移直线1l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≥时，平移直线2l 可知，在点A 处z 取得最小值；当10a -<<时，平移直线3l 可知，z 既没有最大值，也没有最小值；当1a ≤-时，平移直线4l 可知，在点
A 处z 取得最大值，综上所述，1a ≥．
三、解答题
19．【答案】（1）
215cm 16；（2）2
4. 【解析】试题分析：
（1）设MF x =4x =，则15
8
x =
， 据此可得NMF ∆的面积是
211515
1cm 2816
⨯⨯=； 试题解析：
（1）设MF x =，则FD MF x ==，NF =
∵4NF MF +=，4x =，解之得15
8
x =
， ∴NMF ∆的面积是
211515
1cm 2816
⨯⨯=； （2）设NEC θ∠=，则2
NEF θ
∠=，NEB FNE πθ∠=∠=-，
∴()22
MNF π
π
πθθ∠=
--=-
，
∴1
1
2MN
NF cos MNF
sin cos πθ
θ==
=
∠⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭， MF FD MN tan MNF ==⋅∠=2cos tan sin πθθθ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，
∴22cos NF MF sin θ
θ
+-=.
∵14NF FD <+≤，∴114cos sin θθ-<≤，即142
tan θ
<≤，
∴42πθα<≤（4tan α=且,32ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭）， ∴22πθα<≤（4tan α=且,32ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
）， 设()2cos f sin θθθ+=，则()2
12cos f sin θθθ--='，令()0f θ'=得23
π
θ=， 列表得
∴当23
π
θ=
时，2NF MF -取到最小值， 此时，NEF CEF NEB ∠=∠=∠3
FNE NFE NFM π
=∠=∠=∠=，6
MNF π
∠=
，
在Rt MNF ∆中，1MN =，MF =
，NF =，
在正NFE ∆中，NF EF NE ===，
在梯形ANEB 中，1AB =，4AN =4BE =，
∴MNF EFN ABEFMN ABEN S S S S ∆∆=++=六边形梯形144142⎛⨯⨯= ⎝⎭
.
答：当2NF MF -最小时，LOGO 图案面积为2
4. 点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点. 20．【答案】
【解析】解：如图，点P 所在的区域为长方形ABCD 的内部（含边界），
满足（x ﹣2）2+（y ﹣2）2
≤4的点的区域为以（2，2）为圆心，2为半径的圆面（含边界）．
（1）当x ，y ∈Z 时，满足﹣2≤x ≤2，﹣2≤y ≤2的点有25个，
满足x ，y ∈Z ，且（x ﹣2）2+（y ﹣2）2
≤4的点有6个，
依次为（2，0）、（2，1）、（2，2）、（1，1）、（1，2）、（0，2）；
∴所求的概率P=
．
（2）当x ，y ∈R 时，
满足﹣2≤x ≤2，﹣2≤y ≤2的面积为：4×4=16，
满足（x ﹣2）2+（y ﹣2）2
≤4，且﹣2≤x ≤2，﹣2≤y ≤2的面积为：
=π，
∴所求的概率P==．
【点评】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．
21．【答案】（1）2cos 3sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，26y x =-+；（2.
【解析】
试题分析：（1）由平方关系和曲线C 方程写出曲线C 的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C 的参数方程设曲线上C 任意一点P 的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P 直线的距离，利用正弦函数求出PA ，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA 的最大值与最小值. 试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩，（为参数），直线的普通方程为26y x =-+.
（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到的距离为4cos 3sin 6|d θθ=
+-．
则|||5sin()6|sin 30d PA θα=
=+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA 取
.当sin()1θα+=时，||PA
考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程.
22．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由抛物线C：x2=2y得，y=x2，则y′=x，
∴在点P（m，n）切线的斜率k=m，
∴切线方程是y﹣n=m（x﹣m），即y﹣n=mx﹣m2，
又点P（m，n）是抛物线上一点，
∴m2=2n，
∴切线方程是mx﹣2n=y﹣n，即mx=y+n …
（Ⅱ）直线MF与直线l位置关系是垂直．
由（Ⅰ）得，设切点为P（m，n），则切线l方程为mx=y+n，
∴切线l的斜率k=m，点M（，0），
又点F（0，），
此时，k MF====…
∴k•k MF=m×（）=﹣1，
∴直线MF⊥直线l …
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，直线垂直的条件等，属于中档题．23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，即|﹣x|﹣|+x|≥a2﹣3a恒成立．
由于f（x）=|﹣x|﹣|+x|=，故f（x）的最小值为﹣2，
∴﹣2≥a2﹣3a，求得1≤a≤2．
（Ⅱ）由于f（x）的最大值为2，∴f（m）≤2，f（n）≤2，
若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤﹣，∴m+n＜﹣5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．24．【答案】
【解析】解：（1）令t=，则x=，
∴f（t）=，
∴f（x）=（x≠1）…
（2）任取x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵2≤x1＜x2≤6，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，2（x2﹣x1）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x）在[2，6]上单调递减，…
∴当x=2时，f（x）max=2，当x=6时，f（x）min=…。