河北省2023届高三上学期10月阶段性检测(一)数学试题含答案

河北省2023届高三年级阶段性检测（一）
数学
一、单项单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合(){}ln 2A x y x ==-，{}
2,x
B y y x ==∈R ，则A B ⋂=（
）．
A ．[)0,1
B ．[]0,1
C ．()0,2
D ．(]
0,22．已知复数z 满足i i z z +=，复数z 复数z 的共轭复数，则复数z 的虚部为（）．
A ．
1
2
B ．12
-
C ．
1i 2
D ．1i 2
-
3．已知sin 28m =︒，12m
a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，b m =()ln 2c m =，则（
）．
A ．a b c
<<B ．a c b
<<C ．c b a
<<D ．c a b
<<4．降水量（precipitation[amount]）：从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的深度．降水量以mm 为单位，气象观测中一般取一位小数，现某地10分钟的降雨量为13.1mm ，小王在此地此时间段内用口径为10cm 的圆柱型量筒收集的雨水体积约为（）．（其中π 3.14≈）
A ．3
3
1.0210mm ⨯B ．33
1.0310mm
⨯C ．53
1.0210mm
⨯D ．5
3
1.0310mm
⨯5．在ABC △中，满足2133CD CA CB =+ ，1344CE CA BC =-
，则（
）．
A ．2DE E
B =
B ．12DE AB
= C ．43
AD EB
= D ．89
AE DB
= 6．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的大致图像如图所示，将函数()f x 的图像向右平移
π2后得到函数()g x 的图像，则5π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（）．
A ．
22
B ．22
-
C ．
62
D ．62
-
7．现有三名学生与两名教师随机地排一排照相，则每名学生都至少与一名教师相邻的概率为（）．
A ．
1
2
B ．
15
C ．
25
D ．
310
8．已知小于2的正数m ，n 2
2454122m m n m n -+=++-，则
11
2m n
+的最小值（）．
A ．
8
9
B ．
94
C ．3
D ．
92
二、不定项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知()1
tan 7αβ-=-，()tan 1αβ+=-，则tan β=（）．
A ．1
3
-
B ．
13
C ．3
-D ．310．若复数z 在复平面对应的点为Z ，则下列说法正确的有（）．
A ．若i z =，则2
3
14
1i
z z z z
++++=-+L B ．若12z -=，则Z 在复平面内的轨迹为圆C ．若i z x y =+，满足2i 1z -=，则
y
x
的取值范围为3,3⎡⎤-⎣⎦D ．若3z =，则44z z ++-的取值范围为[]8,1011．已知,0a b >，且1a b +=，则下列说法正确的是（）．
A a b +2
B ．
23
a b
+的最小值为523+
C ．
2
a b ab
+的最小值为64D 22
2244a b a a +-+5
12．如图所示，已知几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，G 为22A D 的中点，则下述选项正确的是（
）
．
A ．平面11
B GD ⊥平面21AA
C B ．三棱锥11
D B CG -的体积为
1
24
C ．平面2BC
D 与平面11B GD 夹角的正弦值为79
D ．若P 为空间一动点，且12B P =
，则P 点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为3π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面向量m ，n 满足3m = ，2n = ，m 与n
的夹角为
π3
，则23m n -=
______．14．已知ABC △中，3AB =，2AC =，60A ∠=︒，则ABC △的外接圆面积为______．15．定义在R 上的函数()f x 单调递减，且满足()()110f x f x -++=，对于任意的α，满足
()()cos sin 0f a f b αα+≥恒成立，则a b +的最大值为______．
16．在一个密闭的箱子中，一共有20个大小、质量、体积等完全相同的20个小球，其中有n 个黄球，其余全为蓝球，从这一个密闭的箱子中一次性任取5个小球，将“恰好含有两个黄球”的概率记为()f n ，则当
n =______时，()f n 取得最大值．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设向量πsin 2,26m x ⎛⎫⎛
⎫=+
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，()2
1,sin n x = ，函数()f x m n =⋅ ．
（1）求()f x 的最小正周期及其图像的对称中心；
（2）若ππ,122x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦，求函数()f x 的值域．18．（12分）已知四棱锥S ABCD -中，290DAB ABC ABD ∠=∠=∠=︒，SAB △为面积为3的等边三角形，22SD =1
2
BC AD =
．（Ⅰ）证明：平面SAB ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）若E 为线段AB 的中点，求直线SA 与平面SED 所成角的余弦值．
19．（12分）某新型智能家电在网上销售，由于安装和使用等原因，必须有售后服务人员上门安装和现场教学示范操作，所以每个销售地区需配备若干售后服务店．A 地区通过几个月的网上销售，发现每月利润（万元）与该地区的售后服务店个数有相关性．下表中x 表示该地区的售后服务店个数，y 表示在有x 个售后服务店情况下的月利润额．x （个）23456y （万元）
19
34
46
57
69
（1）求y 关于x 的线性回归方程．
（2）假设x 个售后服务店每月需消耗资金2
3.80.5t x =+（单位：万元），请结合（1）中的线性回归方程，估算A 地区开设多少个售后服务店时，才能使A 地区每月所得利润平均到每个售后服务店最高．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-．参考数据：
5
1
1023i
i
i x y
==∑．
20．（12分）已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中4a =，3b =．（1）若点D 为AB 的中点且2CD =，求ACB ∠的余弦值；
（2）若ACB ∠的角平分线与AB 相交于点E ，当c CE ⨯取得最大值时，求CE 的长．
21．（12分）已知边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11112
C E
D C = ，()101BF BB λλ=<< ，
平面AEF 与11B C 相交于点G ，与1DD 相交于点H
．
（1）当12λ=
，求1DH
HD ，11
B G G
C 的值；（2）若16
9
C AFE V -=
，求平面ACH 与平面ABCD 所成锐二面角的正切值．22．（12分）新型冠状病毒肺炎（Corona Virus Disease 2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎．2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有()
,2n n n +
∈≥N 个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：
方案一：逐份检验，需要检验n 次；
方案二：混合检验，将n 份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n 个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n 份血液逐份检验，此时共需要检验1n +次．（1）若10n =，且其中两人患有该疾病，
①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；（2）已知每个人患该疾病的概率为()01p p <<．
（ⅰ）采用方案二，记检验次数为X ，求检验次数X 的期望()E X ；
（ⅱ）若5n =，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由．
数学试题答案与解析
1．C
【解析】根据题意可得：(){}{}
ln 22A x y x x x ==-=<，{}{
}
2,0x
B y y x y y ==∈=>R ，
所以{}
02A B x x ⋂=<<，故选C ．2．B
【解析】根据题意，()i 11i i 1i i 1i 22
z z z z +=⇔+=⇒==++．所以11
i 22
z =-，故选B ．3．C
【解析】102m <<，12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是减函数，
∴1
2
121122m
m m ⎛⎫⎛⎫
>>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()ln 20c m =<，∴a b c >>，故选C ．4．D
【解析】根据题意，2
5
π 3.14505013.1 1.0310V r h ==⨯⨯⨯≈⨯．故选D ．5．C
【解析】根据题意，∵2133CD CA CB =+
，∴D 是AB 的靠近A 的三等分点．
∵1344CE CA BC =-
，∴E 是AB 靠近B 的四等分点．
令12AB = ，∴3BE = ，4AD = ，5DE =
．故选C ．
6．A
【解析】依题意，2A =，
7πππ41234
T =-=，故πT =，故2π
2π
ω=
=，故()()22f x x ϕ=+，将7π,212⎛
⎝代入可知，()7π3π22π122k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得()π2π3k k ϕ=
+∈Z ，故()π223f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，故()π2π2223g x f x x ⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
，则5ππ221262g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故选A ．7．D
【解析】由已知三名学生不相邻○
×○○×○○×或是如下排列○○×○×○○×，○×○○×○×○，其概率2323
23235
523
10
A A A A P A +==，故选D ．8．B
2
222454122452412m m n m n m m m n n -+=++-⇒-+-=++，
()
()
2
2
212212m m n n -+-=+，
设函数()22f x x x =+，分析可得，该函数在0x >上单调递增，
所以可得2222m n m n -=⇒+=，
()1111111922222224
n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+⇒⨯++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当2
3
m n ==时，取得最小值．故选B ．9．AD
【解析】依题意，()()()()
2tan tan 32tan tan 21tan tan 41tan αβαβββαβαββ
+--=
=-
=++--，解得1tan 3
β=-或3．故选AD ．10．ABD
【解析】对于A ，若i z =，则2
1z =-，3
i z =-，4
1z =，为循环，所以2
3
14
21i z z z z
z z ++++=+=-+L ，故A 正确；
对于B ，设i z x y =+，,x y ∈R ，则有()
()2
2
2211214z x y x y -=-+⇒-+=，
可知z 在复平面内的轨迹为圆，故B 正确；
对于C ，因为复数z 满足2i 1z -=，所以点(),x y 的轨迹为以()0,2为圆心，以1为半径的圆，
所以
y
x
的取值范围为()
,33,-∞⋃+∞，故C 不正确；
对于D ，设i z x y =+，,x y ∈R ，若3z =，则有22
9x y +=，令()
()
2
2
22
4444t z z x y x y =++-=
++-+2222168167x y x x y x =+++++-258258x x =+-，
则)2
2
2
50256433t x
x =+--≤≤．
令2
2
2564y x =-，可得2
2
725y ≤≤，
所以2
64100t ≤≤，于是得810t ≤≤，故D 正确．11．ACD
【解析】对于A ，因为,0a b >，且1a b +=，
所以设22
122222a b a b a b a b ⎛⎛+≤⇒≤⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
当1a b +=，
23b a
a b
=时，即62a =，36b =A 正确；对于B ，
()232323556b a a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，即
23
a b
+的最小值为56+，故B 不正确；对于C ，
21221222311a b a b b ab b ab b a b a b -++=+=-++=+-，由B 知，
23
a b
+的最小值为56+，所以
23
1a b
+-的最小值为64+，故C 正确；对于D ，因为,0a b >，且1a b +=，
()
2
22
22222442a b a a a b a a +=
-+++-()()
()()
22
22
0021a b a b =-+--+-可视为点(),a b 到点()0,0与点(),a b 到点()2,1的距离之和，
5D 正确．12．AD
【解析】A 选项中，连接11B D 易得112B D AA ⊥且11B D AC ⊥，11B D ⊥面21AA C ，则A 正确；B 选项中，11112111211111132212
D B CG G B CD G A B D B A GD V V V V ----====
⨯⨯⨯=，则B 错误；C 选项中，建系可得面2BC D 的法向量()2,2,1m =-
，
面11B GD 的法向量()2,2,1n = ，7
cos 9
m n m n θ⋅==⋅
，
两平面余弦值为7
9，正弦值为
42
9，则C错误；
D选项中，由如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的1 4
圆，
长度为
1
62π3π
4⨯⨯=，则D正确．所以答案为AD．
13．6
【解析】依题意，222
1
2341294912329436
2
m n m m n n
-=-⋅+=⨯-⨯⨯⨯+⨯=
，
故236
m n
-=
．
14．
7π
3
【解析】根据题意，可得2222cos77
BC AB AC AB AC A BC
=+-⨯⨯=⇒=，
该ABC
△的外接圆的半径为r，2
721217π
2π
sin333
3
2
BC
r r S r
A
===⇒=⇒==．15．2
【解析】根据题意，()()
110
f x f x
-++=可得函数()
f x关于()
1,0呈中心对称，
所以可得()()
2
f x f x
=--，
()()()()()() cos sin0cos sin cos2sin
f a f b f a f b f a f b
αααααα+≥⇒≥-⇒≥-，
根据函数单调性可得()2222cos sin 222a b a b a b αααϕ+≤⇒++≤⇒+，
22222
a b a b ++≤16．8
【解析】根据题意：()2320520
n n C C f n C -=，()f n 取得最大值，也即是23
20n n C C -取最大，所以，设()2320n n g n C C -=，则()()2323
119201n n n n g n g n C C C C +--+-=-()()()()()()()()119181712019182132121321
n n n n n n n n n n +-------=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯()()()22119181617212012
n n n n n n n ⎡⎤=⨯---++--+-⎣⎦()()()1191837512n n n n =
⨯---当7n ≤时，()()10g n g n +->，当8n ≥，()()10g n g n +-<，所以()8g 最大，因此，当8n =时，()f n 取得最大值．
17．（1）因为()2πsin 22sin 6f x m n x x ⎛
⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭
311cos 2sin 2cos 22222
x x x -=++⨯31πsin 2cos 21sin 21226x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭即()πsin 216f x x ⎛
⎫ ⎝
-⎪⎭=+，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．
令()π2π6x k k -=∈Z ，解得()ππ212
k x k =+∈Z ，所以函数的对称中心为()ππ,1212k k ⎛⎫+∈
⎪⎝⎭Z ．（2）因为ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，即设ππ5π2,636t x ⎡⎤=-∈-⎢⎣⎦，根据图像分析可得：3sin 2t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，所以函数()f x 的值域为31,22⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦
．18．（Ⅰ）证明：取AB 的中点E ，连接SE 、DE ．
∵SAB △3，∴2AB AD ==．
在SDE △中，3SE =5DE =22SD =∵222SE DE SD +=，∴SE DE ⊥，
∵SAB △是等边三角形，E 为线段AB 中点，∴SE AB ⊥，
又∵AB DE E ⋂=，∴SE ⊥平面ABCD ，
而SE ⊂平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面ABCD ．
（Ⅱ）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，
则()0,0,0E ，(3S ，()2,1,0D ，()0,1,0A ，(0,1,3SA = ，()2,1,0ED = ，(3ES = ，设()1111,,n x y z =
为平面SDE 的法向量，则1100
n ED n ES ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得1112030x y z +=⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，可得()11,2,0n =- ，111
25sin cos ,525SA n SA n SA n α⋅-===⨯⋅ ，∴直线SA 与平面SED 所成角的余弦值为
255．19．（1）根据题意，可得：2345645x ++++=
=，1934465769455y ++++==，()()()555
111
510235445123
i i i i i i i i i i i x x y y x y xy x y xy x y xy ===--=--+=-=-⨯⨯=∑∑∑()52
110i i x x =-=∑，
∴ˆ12.3b
=，ˆ4512.34 4.2a =-⨯=-，回归直线方程为ˆ12.3 4.2y
x =-．
（2）每月的净利润为()
22ˆˆ12.3 4.20.5 3.80.512.38z y t x x x x =-=--+=-+-，其平均利润为ˆ812.312.348.32z x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭
（万元），当且仅当4x =时，取等号．
20．（1）根据题意，延长CD 到F ，使得CD DF =，连接AF BF ，可得四边形AFBC 为平行四边形，所以169163cos cos 2438
ACE CBF +-∠=-∠==-⨯⨯．（2）设ACE BCE θ∠=∠=，CE x =，
可得2
916234cos 22524cos 2AB θθ=+-⨯⨯⨯=-，因此2524cos 2a CE x θ⨯=-又134sin 22
ABC ACE BCE S S S θ=+⇒⨯⨯⨯△△△11247sin 4sin 227
x x x θθθ=⨯⨯⨯+⨯⨯⇒=2242524cos 2cos 4948cos 7
c CE x θθθ⨯=-⨯-223234934948cos 772
θθ=⨯-⨯当且仅当26434948cos cos 24θθθ=
-=，所以6CE x ==．
21．（1）如图所示，延展平面AEF ，过点E 作EH AF ∥，
分析可得，点H 为线段1DD 的四等分点，所以1
3DH HD =．连接AH ，作BI AH ∥，1C J BI ∥，1FG C J ∥，
分析可得点F 为1B J 的三等分点，
所以点G 为11B C 的三等分点，故11
2B G GC =．（2）根据题意，161699
C AFE F ACE V V --=⇒=，因为边长为2，所以22AC =，5CE =
3AE =，222
225310cos 102225ACE +-∠=⨯⨯，所以1310253210
ACE S =⨯△，16116169399
F ACE F ACE ACE F ACE V d S d ---=⇒⨯⨯=⇒=△，以1A 为坐标原点，11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴，
可得()0,0,2A ，()2,2,2C ，()1,2,0E ，()2,0,F h ，
向量()2,2,0AC = ，()1,2,2AE =- ，()2,0,2AF h =- ，
设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =
，
所以00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，220220x y x y z +=⎧⎨+-=⎩
，令1z =，所以，平面ACE 的一个法向量为()2,2,1n =-
，所以6821623393
h AF n h n -⋅=⇒=⇒= ，所以点F 在1BB 的三等分点，
根据平面AFE 的延展可得点H 为1DD 的三等分点靠近1D ，
取AC 的中点O ，则tan DOH ∠即为所求，4223tan 32
DH DOH OD ∠==．22．（l ）①根据题意可得：28182121098109845
P =⨯⨯+⨯⨯=．②根据题意可得：385104192
C P C ==．（2）（ⅰ）根据题意：记检验次数为X ，
则X 的取值为l ，1n +，()()11n P X p ==-，()()111n
P X n p =+=--，所以()()()()1111n n E X p n p ⎡⎤=-++--⎣⎦
．（ⅱ）当5n =时，方案一：检验的次数为5次；
方案二：检查的次数期望为()()()551611E X p p ⎡⎤=-+--⎣⎦
()()()5556515151E x p p ⎡⎤-=---=--⎣⎦
，记()()5151g p p =--，因为011p <-<，所以()g p 单调递增，由（ⅰ）知，当515p =()0g p =，
所以当5015p <<时，()0g p <，则()5E X <．当5115p -<<1时，()0g p >，则()5E X >．故当5015p <<-时，选择方案二；当5115p -<<时，选择方案一．当515p =-时，选择两种方案检查次数一样．。