梯度及其与方向导数的关系

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证明：设
u
r u(x) u(x1, x2,L
, xn )
由一元函数的
链式法则，有
f (u) f (u) f (u)

, x1
,L , x2
xn




f (u) u , x1
f (u) u ,L , f (u) u
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类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)

nz xn1 y
二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
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x2
,
r f (x0 )
xn

其中 称为向量微分算子或 Nabla算子.
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其中 称为向量微分算子或 Nabla算子.
它本身没有意义，将 作用于函数 f 就得到一向量，即




f
r (x0 )
,
x1

f
r (x0 )
,L
x2
,

f
r (x0 )

2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
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反例：f (x, y)
xy
x2 x2

y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
l
这说明 g 方向：f 变化率最大的方向
模 : f 的最大变化率之值
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1. 定义
设函数 u

f (xr )
gr



f (xr0) , x1
f (xr0) ,L
x2 r
,
f (xr0) xn
f (x1, x2,L , xn ) 在点 x0 可微，
n P
垂直的方向
思考: f 在点P处沿什么方向变化率为0 ? 有无穷多
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2. 梯度的运算法则 (2) grad(cu) cgrad u 或 (cu) c u (4) grad(u v) u grad v vgrad u
或(uv) u v v u
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)

lim
y 0
y y
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(1) 方向导数取最大值的方向即梯度方向，其单位向
量为 1 (1,1) ，方向导数的最大值为 u 3 2.
2
( 1,1)
(2) u 沿梯度的负向即 1 (1, 1) 的方向减小的最快。
2
(3)
下求使
u
的变化率为零的方向。令
r el

(cos,sin )
则：ur l
( 1,1)


u
( 1,1)
r , el
3cos 3sin 3 2 sin( )
4
令 ur 0 得 , ，此时u 的值不变化。
l
44
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例2. 设函数
(1) 求等值面 f (x, y, z) 2 在点 P(1,1,1) 处的切平面方程. (2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.
3、物理意义
函数
场
(物理量的分布)
数量场 (数性函数) 如: 温度场, 电势场等
向量场(矢性函数)
如: 力场,速度场等
可微函数 f (P)
(势)
梯度场 grad f (P) (向量场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
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例4. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
xn

同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
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方向导数公式

f
r (rx0 )

l
n i1

r f (x0 ) xi
cosi
注：1. 方向导数可以表示成：
2. 若记 dxr (dx1, dx2,L , dxn ) ，则利用梯度可将
x2
xn


f
(u)


u , u ,L , u
x1 x2
xn


f (u)u

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例3.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2

f (r) x r
f (r) f (r) y ,
例5. 解:
求函数 z ex2y z ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2

ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2

4ex2y
3z yx2

x
(
2z ) y x
(证明略)
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
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二、高阶偏导数
1. 定义 如果 n 元函数 u
f (xr )
的偏导函数 f (xr )
在点
xr0对变量
xi
x j的偏导数存在 ，则称这个偏导
数为f 在点 xr0先对变量 xi 再对变量 x j 的二阶偏导
数，记为：
2
f
r ( x0
)


( f )
第三节
第五章
多元数量值函数的导数和微分
一、梯度 二、高阶偏导数
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一、梯度
复习: 若 n 元函数 f 在点 xr0 可微，则函数在该点
沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有

r f (rx0 ) l

n i1

r f (x0 ) xi
cosi
其中
为l 方向上

则称向量



f
r (x0 )
,
x1

f
Hale Waihona Puke r (x0 ),L
x2
,

f
r (x0 )
xn

为函数 f
在点
r x0
处的梯度向量，简称梯度
(gradient),
记作
grad
f
(xr0 ),或

f
r (x0 ),
即



r f (x0 ) ,
x1
r f (x0 ) ,L
的单位向量。
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方向导数公式 f (rxr0
l
令向量
gr



)
f
n
i1
(xr0 ) , x1
r
f (x0 ) cos


xi
f
(
xr0
)
,L
i
,
x2
f (xr0 ) xn

当 与 的方向一致时，方向导数取最大值：
r
max f (rx0 ) gr
y
r
f (r) f (r) z
z
r
grad f (r) f (r) i f (r) j f (r) k
x
y
z
z
P
f (r) 1 (x i y j z k ) r
r
O
y

f (r) 1 r r

f (r)er
x
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导数值是多少？u 沿哪个方向减小的最快？沿着
哪个方向u 的值不变化？
解：u
(1,1)

( u x
,
) u
y
(1,1)

(2x
y, 2y

x)
(1,1)

(3, 3)
u(r1,1) l

u
( 1,1)
r , el


1 (6 3) 3
5
5
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证明 目录 上页 下页 返回 结束 20/22
例6. 证明函数
满足拉普拉斯方程
z

2z x2

2z y2

0
证：
2z x2

x2 y2 x2x (x2 y2)2

y2 x2 (x2 y2)2

2z y2

x2 y2 y2y (x2 y2)2

x2 y2 (x2 y2)2

2z 2z x2 y2

y2 x2 (x2 y2)2

x2 y2 (x2 y2)2
0
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例7. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u
2u x2

2u y2

2u z2

0
证：
r2
2u x2
f 在点 x 处的全微分写成：
df (xr ) f (xr ), dxr
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例1. 求二元函数 u x2 xy y2 在点 P（-1，1）处
沿方向 erl
1 (2,1) 的方向导数，并指出u 在该 5
点沿哪个方向的方向导数最大？这个最大的方向
或
x jxi
x j xi xxr0
r fxixj (x0 )
或
fij(2) (xr0 )
其中1 i n,1 j n
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例如：二元函数 z = f (x , y) 的二阶偏导数共有四个， 按求导顺序不同, 有
(z) x x
2z x2
处所产生的电势为 u q ( r x2 y2 z2 ), 试证
4π r
gradu E
(场强
E

4
q πε
r
2
er
)
证: 利用例3的结果 grad f (r) f (r) er
grad u

q
4π r
er


4
π
q

r
2
er
E
这说明场强: 垂直于等势面, 且指向电势减少的方向.

1
二 者
f yx (0,0)

lim
x0
f y (x,
0) x
f y (0, 0)

lim
x0
x x
1
不 等
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定理. 若 f xy (x,y)和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 )连续, 则
f x y (x0 , y0 ) f y x (x0 , y0 )
f xx (x, y);
y
(z x
)

2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
f yx (x, y);
y
(
z y
)

2 y
z
2

f y y (x, y)
其中 fx y (x, y)和 f yx (x, y) 为二阶混合偏导数。
解: (1) 点P处切平面的法向量为
故所求切平面方程为 2(x 1) ( y 1) 0 (z 1) 0
即
2x y 3 0
(2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为
n f (P) (2, 1, 0)
注意:
沿此方向的方向导数为 f
对三元函数,
f (P) 5 与 f (P)

1 r3

3 r
x
4


r x


1 r3

3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2


1 r3

3 y2 r5
,
2u z2


1 r3

3z2 r5

2u x2


2u y2

2u z2


3 r3
3(
x2
y2 r5

z2
)

0
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