2018年内蒙古包头一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2017-2018学年内蒙古包头一中高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.每题只有一个选项符合要求.
1．（5分）设集合P={1，2}，Q={x∈N|x2﹣x﹣2≤0}，则P∪Q=（）A．[﹣1，2]B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．3 B．5 C．﹣4+i D．4+i
3．（5分）设向量，满足|+|=，•=1，则|﹣|=（）
A．6 B．C．2 D．8
4．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣10y+28=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为2，则a=（）
A．﹣ B．﹣ C．D．2
5．（5分）如图网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3，高为6的圆柱体毛坯切削得到，则该几何体的体积为（）
A．28πB．30πC．34πD．54π
6．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，42，则输出的a=（）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣4）+f（log212）=（）
A．9 B．7 C．6 D．3
8．（5分）设函数f（x）=cosx﹣sinx，则下列结论正确的是（）
A．f（x）的一个周期为﹣π
B．y=f（x）的图象关于直线x=对称
C．f（x）的一个零点为x=
D．f（x）在（，π）单调递减
9．（5分）若cos（+α）=，则sin2α=（）
A．±B．C．﹣ D．
10．（5分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a=1②b≠1③c ≠2有且只有一个正确，则a，b，c分别为（）
A．2，1，0 B．1，0，2 C．2，0，1 D．1，2，0
11．（5分）已知A，B为双曲线E：﹣=1的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）+f（x+）=0，若函数y=tan
（x﹣）与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则（x i+y i）
=（）
A． B． C．0 D．nπ
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（4，m），且∥，则m=．14．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2
+y2=5所截得的弦长为2，则C的离心率为．
15．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的值域为．16．（5分）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交C 的准线于点N．若=3，则|FN|=．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosA=sinA （ccosB+bcosC）．
（1）求A；
（2）若c=4，且△ABC的面积为2，求a．
18．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1=1，且a1，a2，a4成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列b n=2+a n，求数列{b n}的前n项和S n．
19．（12分）已知数列{a n}的前n项和分别为S n，且a n＞0，a n2+3a n=6S n+4，（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
20．（12分）已知椭圆E：的右焦点为F（2，0），且椭圆E
上的点到右焦点距离的最大值为2+2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为坐标原点，过点F的动直线l与椭圆交于A，B两点，是否存在常数
λ，使得+λ•为定值，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax2（a∈R）．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+2=0平行，求实数a 的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a＞0时，讨论函数f（x）在区间[1，e2]上零点的个数．
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），
以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ．
（1）将曲线C1和曲线C2化为普通方程；
（2）若M为曲线C1与x轴的交点，N为曲线C2上一动点，求|MN|的最小值．
2017-2018学年内蒙古包头一中高三（上）期中数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.每题只有一个选项符合要求.
1．（5分）设集合P={1，2}，Q={x∈N|x2﹣x﹣2≤0}，则P∪Q=（）A．[﹣1，2]B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}
【解答】解：集合P={1，2}，
Q={x∈N|x2﹣x﹣2≤0}={x∈N|﹣1≤x≤2}={0，1，2}，
则P∪Q={0，1，2}，
故选：C．
2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．3 B．5 C．﹣4+i D．4+i
【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2+i，∴z2=2﹣i．则z1z2=（2+i）（2﹣i）=4+1=5．
故选：B．
3．（5分）设向量，满足|+|=，•=1，则|﹣|=（）
A．6 B．C．2 D．8
【解答】解：向量，满足|+|=，•=1，
则|﹣|2=|+|2﹣4•=10﹣4=6，
∴|﹣|=，
故选：B．
4．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣10y+28=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为2，则a=（）
A．﹣ B．﹣ C．D．2
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣10y+28=0的圆心C（2，5），
∵圆x2+y2﹣4x﹣10y+28=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为2，
∴=2，
解得a=﹣．
故选：B．
5．（5分）如图网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3，高为6的圆柱体毛坯切削得到，则该几何体的体积为（）
A．28πB．30πC．34πD．54π
【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3，高为2，一个是底面半径为2，高为4，
组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．
故选：C．
6．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，42，则输出的a=（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：由a=12，b=42，a＜b，
则b变为42﹣12=30，
由a＜b，则b变为30﹣12=18，
由a＜b，则b变为18﹣12=6，
由a＞b，则a变为12﹣6=6，
由a=b=6，
则输出的a=6．
故选：C．
7．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣4）+f（log212）=（）A．9 B．7 C．6 D．3
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣4）=1+log28=1+3=4，
f（log212）==12÷4=3，
∴f（﹣4）+f（log212）=4+3=7．
故选：B．
8．（5分）设函数f（x）=cosx﹣sinx，则下列结论正确的是（）
A．f（x）的一个周期为﹣π
B．y=f（x）的图象关于直线x=对称
C．f（x）的一个零点为x=
D．f（x）在（，π）单调递减
【解答】解：∵函数f（x）=cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），故该函数的周期为2π，故A错误；
令x=﹣，求得f（x）=﹣，不是最值，可得f（x）的图象不关于直线x=﹣对称，故B错误；
令x=，求得f（x）=0，可得f（x）的一个零点为x=，故C正确；
在（，π）上，x+∈（，），故f（x）=2cos（x+）在（，π）上不单调，故D错误，
故选：C．
9．（5分）若cos（+α）=，则sin2α=（）
A．±B．C．﹣ D．
【解答】解：cos（+α）=，
可得（cosα﹣sinα）=，
两边平方可得：（1﹣sin2α）=，
所以，sin2α=．
故选：D．
10．（5分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a=1②b≠1③c ≠2有且只有一个正确，则a，b，c分别为（）
A．2，1，0 B．1，0，2 C．2，0，1 D．1，2，0
【解答】解：集合{a，b，c}={0，1，2}，
且下列三个关系：①a=1②b≠1③c≠2有且只有一个正确，
∵①②同时正确或同时错误，∴只有③c≠2正确，
∴a=2，b=1，c=0．
故选：A．
11．（5分）已知A，B为双曲线E：﹣=1的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【解答】解：设双曲线方程为﹣=1（b＞0），
则a=2，
如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，
过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，
在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=4，∠MBN=60°，
即有|BN|=4cos60°=2，|MN|=4sin60°=2，
故点M的坐标为M（4，2），
代入双曲线方程得﹣=1，
即为b=2，
∴﹣=1，
故选：D．
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）+f（x+）=0，若函数y=tan （x﹣）与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），则（x i+y i）
=（）
A． B． C．0 D．nπ
【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）+f（x+）=0，可知函数f（x）的对称中心（，0），
函数y=tan（x﹣）的对称中心也是（，0），
所以，函数y=tan（x﹣）与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，
（x n，y n），
交点中，纵坐标的和为0，横坐标的和：x1+x2+…+x n=n，
所以（x i+y i）=．
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（4，m），且∥，则m=﹣6．
【解答】解：根据题意，向量=（﹣2，3），=（4，m），
若∥，则有（﹣2）×m=3×4，
解可得m=﹣6；
故答案为：﹣6．
14．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2
+y2=5所截得的弦长为2，则C的离心率为．
【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=5的圆心（2，0），半径为，
双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线
被圆（x﹣2）2+y2=5所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为=，
即有2=，c2=2a2，
可得e2==2，即e=．
故答案为：．
15．（5分）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的值域为[，1] ．【解答】解：函数f（x）=sin2x+cosx﹣
=﹣cos2x+cosx+
=﹣（cosx﹣）2+1，
x∈[0，]，可得cosx∈[0，1]，
当cosx=，即x=时，f（x）取得最大值1；
当cosx=0即x=时，f（x）取得最小值．
则f（x）的值域为[，1]．
故答案为：[，1]．
16．（5分）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交C 的准线于点N．若=3，则|FN|=4．
【解答】解：∵F是抛物线C：y2=4x的焦点，M是C上一点，
FM的延长线交C的准线于点N．=3，
∴F（1，0），
设FM=x，则FN=3x，MN=2x，
过M作MB垂直于准线，交准线于B，设准线BN于x轴交于点A，
则FA=2，MB=MF=x，
∴，即，解得x=，
∴|FN|=3x=4．
故答案为：4．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosA=sinA （ccosB+bcosC）．
（1）求A；
（2）若c=4，且△ABC的面积为2，求a．
【解答】解：（1）∵，
∴
又∵在△ABC中，
∴sinA≠0，
∴，
∴，
又A∈（0，π），
∴．…（6分）
（2）∵，c=4，
∴b=2
又∵b2+c2=a2+2bccosA，
∴．…（12分）
18．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1=1，且a1，a2，a4成等比数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列b n=2+a n，求数列{b n}的前n项和S n．
【解答】解：（1）由题意可得，a1=1，等差数列{a n}的公差d≠0，，∴，
∴d=1，∴a n=1+n﹣1=n；
（2）由（1）知，，
∴S n=b1+b2+…+b n=21+1+22+2+…+2n+n
=（21+22+…+2n）+（1+2+3+…+n）
==．
19．（12分）已知数列{a n}的前n项和分别为S n，且a n＞0，a n2+3a n=6S n+4，（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（1）∵①，
∴当n=1时，，
因为a n＞0，所以a1=4．
当n≥2时，②，
∴①﹣②得=6S n+4﹣6S n
﹣1
﹣4=6a n，
即（a n+a n
﹣1）（a n﹣a n
﹣1
）=3（a n+a n
﹣1
），
∵a n＞0，∴a n﹣a n
﹣1
=3，
∴数列{a n}是首项为4，公差为3的等差数列，
∴a n=3n+1；
（2）由（1）知，b n=
=，
所以数列{b n}前n项和为b1+b2+…+b n=
=．
20．（12分）已知椭圆E：的右焦点为F（2，0），且椭圆E 上的点到右焦点距离的最大值为2+2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设O为坐标原点，过点F的动直线l与椭圆交于A，B两点，是否存在常数
λ，使得+λ•为定值，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵右焦点为F（2，0），且椭圆E上的点到右焦点距离的最大值为2﹣2，
∴c=2，a﹣c=2﹣2，
∴，
∴
（2）∵F（2，0），
∴①当直线l斜率为0时，
∵，
∴，
②当直线l斜率不为0时，设l：x=my+2
联立，可得（m2+2）y2+4my﹣4=0，△＞0恒成立，设A（x1，y1），B （x2，y2）
则，
∴，
又∵，
∴=
当λ=﹣5时，为常数12．
综上所述：存在λ=﹣5，使得为定值12．
21．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax2（a∈R）．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+2=0平行，求实数a 的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）当a＞0时，讨论函数f（x）在区间[1，e2]上零点的个数．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
∴，
则f'（1）=2（1﹣a），
∵直线2x+y+2=0的斜率为﹣2，
∴2（1﹣a）=﹣2，
∴a=2．
（2）由（1）知
当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，令f'（x）＞0且x＞0得，令f'（x）＜0且x＞0得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；
当a＞0时，f（x）的单调增区间为，单调减区间为．（3）∵a＞0，由（2）的单调性可知
①若，即a≥1时，f（x）在[1，e2]上单调递减，且f（1）=﹣a＜0，
∴f（x）在[1，e2]上无零点．
②若，即时，f（x）在上单调递增，在
上单调递减，
且f（1）=﹣a＜0，．
（I）若，即时，f（x）在[1，e2]上无零点；
（II）若，即时，f（x）在[1，e2]上有1个零点；
（III）若，即时，f（e2）=4﹣ae4
（i）当4﹣ae4＞0，即时，f（x）在[1，e2]上有1个零点；
（ii）当4﹣ae4≤0，即时，f（x）在[1，e2]上有2个零点；
③若，即时，f（x）在[1，e2]上单调递增，
∵f（1）=﹣a＜0，f（e2）=4﹣ae4＞0，
∴f（x）在[1，e2]上有1个零点．
综上所述：时，f（x）在[1，e2]上无零点；
或时，f（x）在[1，e2]上有1个零点；
时，f（x）在[1，e2]上有2个零点．
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
（t 为参数），
以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=sinθ． （1）将曲线C 1和曲线C 2化为普通方程；
（2）若M 为曲线C 1与x 轴的交点，N 为曲线C 2上一动点，求|MN |的最小值． 【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为（t 为参数），
转化为普通方程3x +4y ﹣9=0， 曲线C 2的极坐标方程为ρ=sinθ． 整理得：ρ2=ρsinθ，
转化为直角坐标方程x 2+y 2﹣y=0．…（5分） （2）由（1）知，M （3，0），
曲线C 2为以C 2（0，）为圆心，半径r=的圆， 则，
∴
，
即|MN |的最小值为
．…（10分）
赠送—高中数学知识点
【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念
①如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质
：n a =；当n 为奇数时
，
a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
n
n a a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩． （2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m n
a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是： 11
()()(0,,,m m m n
n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M
M N N
-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N
a
N =
⑤
log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥换底公式：
log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
【2.2.2】对数函数及其性质
图象
定义域 (0,)+∞
值域 R
过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在(0,)+∞上是增函数
在(0,)+∞上是减函数
函数值的 变化情况
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x >>==<<<
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x <>==><<
变化对
图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．
x y
O
(1,0)1x =
log a y x
=x
y
O (1,0)
1
x =log a y x
=。