高考数学压轴专题专题备战高考《不等式选讲》分类汇编含解析

【最新】数学《不等式选讲》高考知识点
一、14
1．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的各项的和222111123S n L L =+
++++，那么下列结论正确的是（ ） A ．413
S << B ．
5443
S << C ．
3
22
S << D ．2S >
【答案】C 【解析】 【分析】
由2n ≥时，()2111111n n n n n
<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论. 【详解】 由2n ≥时，()2111111n n n n n
<=---， 可得222111111111...11...232231n S n n n =+
+++<+-+-++--12n
=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ，
由22111341123363+
+=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】
本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.
2．若关于x 的不等式23ax -＜的解集为5133x x ⎧⎫
-
<<⎨⎬⎩⎭
，则a =（ ） A ．2- B ．2 C ．3
D ．3-
【答案】D 【解析】 【分析】
由绝对值不等式的性质可知，()22329ax ax -⇔-＜＜，从而可得到()2
29ax -=的两
个解为2151
,33
x x -==，即可求出a 的值. 【详解】
由题意可知0a ≠，()2
2329ax ax -⇔-＜＜，即22450a x ax --<， 故一元二次方程22450a x ax --=的解为2151,33
x x -==， 则1212224455,39
a x x x x a a +==-=-=-，解得3a =-. 故答案为D. 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题．
3．已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为 （ ） A ．45
[,)33
B ．2112(,][,)3333
-
-⋃ C ．12
[,)33⋃45(,]33
D ．随a 的值而变化
【答案】C 【解析】
试题分析：∵函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴1-a=2a ，∴a=1
3
，故函数()f x 的定义的定义域为22[,]33-
，又当2
03
x <≤时,()f x 单调递增，∴11113
(1)()(1)(){23313
x f x f f x f x ->
->⇔->⇔-≤
，解得1233x ≤<或4533x <≤，所以
不等式(1)()f x f a ->的解集为12[,)33
⋃45(,]33
，故选C
考点：本题考查了抽象函数的运用
点评：此类问题往往利用偶函数的性质()()f x f x =避免了讨论，要注意灵活运用
4．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x …时，2()4f x x x =+，则(2)5f x +>的解集为（ ）
A ．(,5)(5,)-∞-+∞U
B ．(,5)(3,)-∞-+∞U
C ．(,7)(3,)-∞-+∞U
D ．(,7)(2,)-∞-+∞U
【答案】C
【解析】 【分析】
根据偶函数以及当0x …时，2
()4f x x x =+,可得0x ≥时的表达式,由此求得
(2)(|2|)f x f x +=+,再代入可解得.
【详解】
∵()f x 是定义域为R 的偶函数，
∴当0x ≥时，0x -≤,所以2
2
()()()4()4f x f x x x x x =-=-+-=-. 由()25f x +>以及()f x 为偶函数，得(|2|)5f x +>， ∴2|2|4|2|5x x +-+>， 所以(|2|5)(|2|1)0x x +-++>, 因为|2|10x ++>, 所以|2|5x +>,
所以25x +>或25x +<-, 解得7<-x 或 3.x > 故选C 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,绝对值不等式的解法,属于中档题.
5．已知点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标
原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）
A ．
3
B ．
13
C ．
2
D 【答案】D 【解析】 【分析】
点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，
||OM =a ，b 关系，代入即可．
【详解】
解：点(3,1)P 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，可得22911a b +=，
(,)M a b
为平面上一点，||OM =
所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号，
22
22
13
b e a =-=，
e =
． 故选D ． 【点睛】
考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．
6．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1≤m≤2 B ．1≤m<2
C ．1<m≤2
D ．1<m<2
【答案】B 【解析】 【分析】
若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】
若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命
题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，1
2m m <⎧⎨≥⎩ ，无解，若p 假q 真时，1
2m m ≥⎧⎨<⎩
，即 12m ≤<，故选B.
【点睛】
本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.
7．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式1n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中x 2项的系数为( ) A ．11 B ．20 C ．15 D ．16 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中x 2项的系数． 【详解】
∵f （x ）=|x+2|+|x ﹣4|≥|（x+2）﹣（x ﹣4）|=6，故函数的最小值为6， 再根据函数的最小值为n ，∴n=6．
则二项式（x ﹣
1x ）n =（x ﹣1x
）6 展开式中的通项公式为 T r+1=6r C •（﹣1）r •x 6﹣
2r ， 令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x 2项的系为2
6C =15， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．
8．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤
C ．{|14}x x x ≤-≥或
D ．{|4}x x ≥
【答案】C 【解析】 【分析】
根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】
因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】
本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.
9．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞ B ．(3,)-+∞ C ．(,3]-∞- D ．(,3)-∞-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围， 再根据无实数解得出a 的范围。

【详解】
解：由绝对值不等式的性质可得，
||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--++-=…，
即|1||2|3x x +---…. 因为|1||2|x x a +--<无实数解 所以3a ≤-， 故选C 。

【点睛】
本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键。

10．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c +++++ 的最小值为( ) A ．1 B ．3
C ．6
D ．9
【答案】D 【解析】
2221,a b c a b b c c a ++=∴
+++++Q ()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪
+++⎝⎭
()()()()21
111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭
，当且仅当1
3
a b c ===时等号成立，故选D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
11．已知数列{}n a ，{}n b 满足11132n n n a a b +=
+，111
32
n n n b a b +=-.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则存在正常数M ，对任意*n N ∈都有（ ） A ．n S M <且n T M > B ．n S M <且n T M < C ．n S M >且n T M < D ．n S M >且n T M >
【答案】B 【解析】 【分析】
设{}
max ,n n n c a b =，则0n c ≥，根据三角不等式结合已知可得
115
56
6n n
n n a c b c ++≤≤，进而有15
6
n n c c +≤，求出{}n c 的前n 项和的范围，即可求出结
论.
【详解】
设{}
max ,n n n c a b =，则0n c ≥，由三角不等式可知
111115
32326n n n n n n a a b a b c +=+≤+≤， 111115
32326
n n n n n n b a b a b c +=
-≤+≤，
所以15
6
n n c c +≤
，设{}n c 的前n 项和为n H ， 若0n c =时，则0n n n S T H ===， 存在0M >，使得n n S T M =<，
若0n c ≠时，则156
n n c c +≤，11
5[1()]66516
n
n c H c -≤<-， 取16M c =，,n n S M T M ∴<<. 故选：B. 【点睛】
本题考查数列的前n 项和，构造数列转化为等比数列是解题的关键，作为选择题或直接取
0,0n n a b ==即可得出答案，要注意特殊方法的选取，属于中档题.
12．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( ) A ．33()()f x f a a -≤+ B ．24()()f x f a a -≤+ C ．()()5f x f a a -≤+ D ．2
|()()2|(1)f x f a a -≤+
【答案】B 【解析】 【分析】
先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立 【详解】
令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()
0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立
()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤
()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +
故选：B ． 【点睛】
本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．
13．设集合{}|22,A x x x R =-≤∈，{}
2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于 A ．R B ．{}|,0x x R x ∈≠ C ．{}0
D ．∅
【答案】B 【解析】
解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){}0R R C A B C ⋂=，故选B 。

14．不等式的解集是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
利用绝对值三角不等式，得到，恒成立.
【详解】
恒成立.
故答案选B 【点睛】
本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.
15．若，则不等式
的解集为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
由绝对值三角不等式的性质得出，由
，得出
，借助正弦函数
图象可得出答案。

【详解】 因为成立，所以
，
又，所以
，
，故选：D 。

【点睛】
本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题。

16．设不等式3
412x
x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．15a <-或47a >
B ．15a <-
C ．47a >或01a <<
D ．15a <-或1064
a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据不等式3
412
x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,取2x =时,可得2
431a ->,解得
15a <-或47a >,利用换元法把不等式换为2
81t a t ->-,分47a >和15a <-两种情况
讨论2
()81h t t t =+-的最大值即可求得实数a 的取值范围.
【详解】
解:因为不等式3
412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,
当2x =时,3
12
x +-有最大值31,不等式显然要成立,
即2
431a ->,解得15a <-或47a >, 当[1,2]x ∈时,令2[2,4]x
t =∈, 则2
4[4,16]x
t =∈,328[16,32]x t +=∈,
所以3
412
x x a +->-等价于2
81t a t ->-,
①当47a >时,即281a t t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即2
81()a t t h t >+-=,
即求2
()81h t t t =+-的最大值,max ()(4)47h t h ==,所以47a >;
②当15a <-时,281t a t ->-在[2,4]t ∈恒成立, 即2
81()a t t f t <-+=,
即求2
()81f t t t =-+的最小值,min ()(4)15f t f ==-;
综上:15a <-或47a >. 故选:A 【点睛】
本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.
17．不等式33log log x x x x +<+的解集（ ） A ．(),-∞+∞ B ．()0,1
C ．()1,+∞
D ．()0,∞+
【答案】B 【解析】 【分析】
依题意知,0x >,32log 0x x <,原不等式等价于3log 0x <,解不等式即可. 【详解】
根据对数的意义可知,0x >, 因为33log log x x x x +<+,
两边同时平方可得,332log 2log x x x x <, 即32log 0x x <,因为0x >,
所以原不等式等价于3log 0x <, 所以原不等式的解集为}{
01x x <<, 故选:B 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法;熟练掌握对数函数的定义域和单调性是求解本题的关键;属于中档题.
18．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，数列{}n b 满足()1
log 01n n a
n
a b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11
log 2
n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（ ） A ．n n T M ≥ B ．n n T M >
C ．n n T M <
D ．n n T M ≤
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出2462log ()13521
n a n
T n =⨯⨯⨯-L
，log n a M =
，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈即得解. 【详解】
因为2
n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.
所以2log 21
n a n
b n =-， 所以24622462log log log log log ()1352113521
n a
a a a a n n T n n =+++=⨯⨯⨯--L
111
log =log (21)log 22
n a n a a M a n +=+=
下面利用数学归纳法证明不等式*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯
∈ （1）当1n =时，左边1
2=
，右边=<右边，不等式成立， （2）22414n n -<Q ，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即
212221
n n
n n -<+，
∴<
，
∴
<
假设当n k =时，原式成立，即112123221k k k -⨯⨯⋯⨯<+， 那么当1n k =+时，即11212121212322(1)2(1)2123
k k k k k k k k k -+++⨯⨯⋯⨯⨯<=<++++g ， 即1n k =+时结论成立．
根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以
24622113521
n n n ⨯⨯⨯>+-L ， 因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 2113521
a a n n n ⨯⨯⨯<+-L
， 所以n n T M <.
故选：C
【点睛】
本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．若关于x 的不等式x 2x 1a +-->的解集不是空集，则实数a 的取值范围是
( )
A ．()3,∞
B ．()3,∞-
C ．(),3∞-
D ．(),3∞--
【答案】C
【解析】 x 2x 1+--表示数轴上的x 对应点到2-和1对应点的距离之差，其最大值为3，故当3a >时，关于x 的不等式x 2x 1a +-->的解集不是空集，故实数a 的取值范围为(),3∞-，
故选C.
点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
20．已知不等式()222
cos 54sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．04m ≤≤
B ．14m ≤≤
C ．4m ≥或0m ≤
D ．m 1≥或0m ≤ 【答案】C
【解析】
试题分析：原不等式可转化为, 令，所以
所以在上恒成立所以，
，解得4m ≥或0m ≤. 考点：不等式的恒成立问题.。