对数式中的参数范围求解策略

【摘要】本论文将所研究的问题借助构造初等函数，结合函数图像与性质，加以分析、转化、解决有关对数式中参数范围求解问题，同时利用函数与方程、数形结合、化归与转化及分类讨论思想，找到解决问题的切入点和突破口。

本文通过几道例题，提供几种与对数式有关的参数范围求解策略。

【关键词】对数式；参数范围。

一、利用函数的性质
例题：若函数y ＝log a （x 2－ax ＋1）有最小值，求a 的取值范围分析：此函数由y ＝log a U 和U ＝x 2－ax ＋1复合而成，单调性由两个简单函数共同决定。

解：当0＜a ＜1时，y ＝log a （x 2－ax ＋1）是递减函数，由于U ＝x 2－ax ＋1没有最大值，所以y ＝log a （x 2－ax ＋1）没有最小值；当a ＞1时，y ＝log a （x 2－ax ＋1）有最小值等价于U ＝错误！未找到引用源。

有大于0的最小值，这等价于Δ＝a 2－4＜0，因此1错误！未找到引用源。

2．综上：a 的取值范围是（1，2）
二、运用数形结合思想
例题：当0＜x ≤12
时，4x ＜log a x ，求a 的取值范围 ［思路分析］条件左边为指数式，右边为对数式，可构造两个函数，然后在同一坐标系中画出它们的图像，使图像满足条件，通过图像关系得到两函数值之间的关系。

解：在同一坐标系中画出函数y ＝4x （0＜x ≤12） 和y ＝log a x （0＜a ＜1，0＜x ≤12
）的图像，如图所示。

要满足条件，只需log a 12＞412， 即log a 12＞log a a 2，得a 2＞12
， 又因为0＜a ＜1，所以，22
＜a ＜1。

三、利用函数与方程思想
例题：设f （X ）是定义在R 上的偶函数，对任意的实数R ，都有f （x －2）＝f （x ＋2），且当x ∈［－2，0］时，1)21()(-=x
x f ，若在区间（－2，6）内关于x 的方程f （x ）－log a （x ＋2）＝0（a ＞1）恰有3个不同的实数解，求a 的取值范围。

分析：方程的实数根即为函数y ＝f （x ）与函数y ＝ log a （x ＋2）图像交点的横坐标，有3个不同的实数解等价于两图像有3个不同交点。

解：由f （x －2）＝f （x ＋2）知f （X ）是周期为4 的周期函数，于是可得y ＝f （x ）在（－2，6）上的图像如图中实线所示，而函数log a （x ＋2）＝0（a ＞1）图像如图中虚线所示：
结合图像知，要使得方程f （x ）－log a （x ＋1）＝0在区间（－2，6）上恰有3个不同交点，必须且只需⎩⎨⎧><3)6(3)2(g g ，即⎩⎨⎧><38log 34log a a ，得 ()243<<a ，即a 的取值范围是()243，。

注：本例在应用函数与方程思想的同时还应用了数形结合思想及转化思想。

四、利用分类讨论思想
例题：已知f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1），如果对于任意 错误！未找到引用源。

⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈231，x ，都有｜f （x ）｜≤１成立，试求a 的取值范围。

分析：a ＞0且a ≠1分a ＞1和0＜ａ＜１两种情形，因两种情形下函数单调性具有不确定性，需分类讨论。

解：当a ＞1时，错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡231，上单调递增，要使，都有错误！未找到引用源。

1)(≤x f 成立，则有错误！未找到引用源。

⎪⎩⎪⎨⎧≥≤1
-2log 131log a a ，解得a ≥3；当错误！未找到引用源。

0＜a ＜1时，错误！未找到引用源。

在［31，2］上单调递减，要使⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,31x ，都有错误！未找到引用源。

成立，则有，解得310≤≤a 综上：a 的取值范围是（0，1/3］U ［3，＋∞］
五、判别式法
例题：如果f （x ）＝lg （ax 2＋2x ＋1）
（1）若f （x ）的定义域是R ，求实数a 的取值范围。

（2）若f （x ）的值域是R ，求实数a 的取值范围。

分析：第一问与第二问，容易认为是一样的。

其实第一问要求真数部分大于0恒成立，由此得⎩⎨⎧<-=∆>0
440a a ，得a ＞1，即a 的取值范围是（1，＋∞）。

但第二问却是要保证值域为R ，则（0，＋∞）必须是U ＝ax 2＋2x ＋1值域的子集。

当a ＝0时，U ＝2x ＋1值域为
R （0，＋∞），合题意； 当a ≠0 时，U ＝ax 2＋2x ＋1的值域 ()+∞⊇,0等价于⎩⎨
⎧≥∆>00a ， 解得0＜a ≤1，综上实数a 的取值范围是［0，1］。