江苏省射阳县第二中学高三数学一轮复习 自我检测3 苏教版

江苏省射阳县第二中学2015届高三数学一轮复习 自我检测3 苏教版
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{}11,cos ,,1,2A B θ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭
若,A B =则锐角θ=
2． 若复数122,1,z a i z i =+=-且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为
3．已知命题p ：x ∃∈R ，使s i n x =
；命题q ：x ∀∈R ，都有210x x ++>．给出下列命题：（1）命题“p q ∧”是真命题；（2）命题“p q ∧⌝”是
中正确的是
假命题；（3）命题“p q ⌝∨”是真命题；（4）命题“p q ⌝∨⌝”是假命题．其（填序号）．
4．右图的程序框图输出的结果S 等于 ．
5．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一
个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组四名同学数学成绩的方差2s = ．
6．在△ABC 中，60ABC ∠=︒，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝
角三角形的概率为 ．
7．若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p = ． 8.已知a ＝(m ,n －1)，b ＝(1,1)(m 、n 为正数)，若a ⊥b ，则1m ＋2
n
的最小值是________．
9.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝
2S
a ＋
b ＋c
；类比这个结
论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝__________．
10.设a ∈R ，函数f (x )＝e x
＋a e x 是偶函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32
，则切点的横坐标为
________
11.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足：a 1＋b 1＝3，a 2＋b 2＝7，a 3＋b 3＝15，a 4＋b 4＝35，则a 5＋b 5＝__________
12．定义在R 上的奇函数()f x 对任意x ∈R 都有()(4)f x f x =+，当(20)x ∈-，时，()2x f x =，则(2012)(2011)f f -= ．
13．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()2g x x =，()ln h x x =，
3()(0)x x x ϕ=≠的 “新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为 ．
14.已知函数()()2
,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于
,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为
已知函数()tan 34f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭．
（1）求9f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（2）设32παπ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，，若
234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值．
17．（本小题满分14分）
设二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M ，m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．
(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；
(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值
已知函数325
()2
f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ．
（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；
（2）设函数()f x 的导函数为()f x '，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x ='同时成立，求实
数b 的取值范围；
19．（本小题满分16分）
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．
（1）若建立函数()y f x =模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数()f x 模型的基本要求，并分析函数2150
x
y =
+是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明理由； （2）若该公司采用函数模型1032
x a
y x -=+作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值． 20．（本小题满分16分）
已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)． (1)求证：{S n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式4T n ＜a 2－a 恒成立，求实数a 的取值范围．
高三数学自我检测(3)2014/9/10 参考答案
1．
3
π 2．-2 3．（2）（3）． 4．20． 5．9．
6．12． 7．4． 8．3＋2 2 9.．
3V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
10. ln2 11. 91
12. 12
-
13.c b a >> 14.4
15．15．（1
）2- （2
）． 16.（1）取BD 的中点O ，连结EO ，CO ，∵△ABC 为正三角形，且CD=CB
∴CO ⊥BD ，E O⊥BD ………………4分 又0CO
EO =，∴BD ⊥平面EOC ，∵⊂EC 平面EOC
∴BD ⊥EC . ………………7 （2）∵N 是AB 中点，ABD ∆为正三角形，∴DN ⊥AB ， ∵BC ⊥AB ，∴DN //BC ，
∵BC ⊂平面BCE DN ⊄平面BCE ，∴BC //平面BCE ， ………………10分 ∵M 为AE 中点，N 为AB 中点，∴MN //BE ，
∵MN ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，∴MN //平面BCE ， ………………12分 ∵MN
DN =N ，∴平面MND //平面BCE . ………………14分
17. 解 (1)由f (0)＝2可知c ＝2.又A ＝{1,2}， 故1,2是方程ax 2
＋(b －1)x ＋2＝0的两实根．
所以⎩⎪⎨⎪⎧
1＋2＝1－b a ，2＝2
a .
解得a ＝1，b ＝－2.
所以f (x )＝x 2
－2x ＋2＝(x －1)2
＋1，x ∈[－2,2]． 当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1. 当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.
(2)由题意知，方程ax 2
＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧
1＋1＝1－b a ，1＝c
a ，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝1－2a ，
c ＝a .
所以f (x )＝ax 2
＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a .又a ≥1，故1－12a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.
所以M ＝f (－2)＝9a －2.m ＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫2a －12a ＝1－14a .
g (a )＝M ＋m ＝9a －1
4a －1.又g (a )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以当a ＝1时，g (a )min ＝31
4
.
18. (1)当2a =-时， 2()352(31)(2)f x x x x x '=+-=-+. ……………2分
令f '(x )<0，解得123x -<<，所以f (x )的单调减区间为1
(2,)3
-． ……………4分
(2) 2
()35f x x x a '=++，由题意知2
0032000035052
x x a x x ax b x ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩消去a ，
得320005
202
x x x b ++-=有唯一解．……………………………6分
令325
()22
g x x x x =++，则2()651(21)(31)g x x x x x '=++=++，
所以()g x 在区间1(,)2-∞-，1(,)3-+∞上是增函数，在11
(,)23
--上是减函数，……………8分
又11()28g -=-，17
()354
g -=-，
故实数b 的取值范围是71
(,)(,)548-∞--+∞．
20.解 (1)因为a n ＝S n ＋S n －1，所以S n －S n －1＝S n ＋S n －1，
即S n －S n －1＝1，所以数列{S n }是首项为1，公差为1的等差数列，得S n ＝n ，
所以a n ＝S n ＋S n －1＝n ＋(n －1)＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也适合，所以a n ＝2n －1. (2)因为
1
a n a n ＋1
＝
1
n －n ＋
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2n －1－12n ＋1，
所以，T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15 ＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.∴T n ＜12， 要使不等式4T n ＜a 2
－a 恒成立，只需2≤a 2
－a 恒成立，解得a ≤－1或a ≥2，
故实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．。