辽宁省鞍山一中高三数学一模试卷 理(含解析)

辽宁省鞍山市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：每小题5分，共60分
1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，则集合{x|x≥1}=( )
A．M∩N B．M∪N C．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）
2．复数的虚部是( )
A．B．C．D．
3．已知递增等比数列{a n}满足a3•a7=6，a2+a8=5，则=( )
A．B．C．D．
4．已知空间中不共面的四点A，B，C，D及平面α，下列说法正确的是( )
A．直线AB，CD可能平行B．直线AB，CD可能相交
C．直线AB，CD可能都与α平行D．直线AB，CD可能都与α垂直
5．命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是( )
A．∀x∈R，都有x2＜1 B．∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1
C．∃x∈R，使得x2≥1D．∃x∈R，使得x2＞1
6．直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为( )
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
7．若a=sinxdx，则（x+）（ax﹣1）5的展开式中的常数项为( )
A．10 B．20 C．﹣10 D．﹣20
8．一个算法的程序框图如图，若该程序输出结果为6，则判断框内m的取值范围是( )
A．（12，20] B．（20，30] C．（30，42] D．（12，42]
9．已知△ABD是等边三角形，且，，那么四边形ABCD的面积为( )
A．B．C．D．
10．已知函数f（x）=+b+6，其中，a，b为常数，a＞1，b≠0，若f（lglog210）=8，
则f（lglg2）的值为( )
A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
11．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是( )
A．12+4B．17 C．12+2D．12
12．已知函数f（x）=e x，g（x）=ln+，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f（a）=g（b），则b﹣a的最小值为( )
A．2﹣1 B．e2﹣C．2﹣ln2 D．2+ln2
二、填空题：每小题5分，共20分
13．设x，y满足线性约束条件，则x+2y的取值范围是__________．
14．在等差数列{a n}中，＜﹣1，若它的前n项和S n有最大值，则使S n取得最小正数的n=__________．
15．现有5双不同号码的鞋，从中任意取出4只，则恰好只能配出一双的概率为__________．
16．设A，B分别为椭圆+=1（a＞b＞0）和双曲线﹣=1的公共顶点，P，M分别
为双曲线和椭圆上异于A，B的两动点，且满足+=，其中λ∈R，|λ|＞1，设直线AP，BP，AM，BM的斜率分别为k1，k2，k3，k4且k1+k2=5，则k3+k4=__________．
三、解答题
17．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．
18．如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为1的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，CD⊥BC，BC=1，AB=2，∠BCF=90°
（Ⅰ）求成：BD⊥AE
（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣D的大小．
19．某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
、、，他们考核所得的等次相互独立．
（Ⅰ）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（Ⅱ）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，
且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数．
（I）求f（x）的极值；
（II）若∃x1∈（0，+∞），∃x2∈[1，2]使成立，求a的取值范围；（III）已知
．
四、选做题选修4-1：几何证明选讲
22．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M，T（不与A，B重合），连结MC，MB，OT．
（Ⅰ）求证：MTCO四点共圆；
（Ⅱ）求证：MD=2MC．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，直线l的倾斜角为45°且经过点P（﹣1，0）
（Ⅰ）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于两点A，B，求|PA|2+|PB|2的值．
六、选修4-5：不等式选讲
24．设函数f（x）=x2﹣2x
（Ⅰ）解不等式|f（x）|+|x2+2x|≥6|x|；
（Ⅱ）若实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2|a|+3．
辽宁省鞍山市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：每小题5分，共60分
1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，则集合{x|x≥1}=( ) A．M∩N B．M∪N C．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：根据题意和交、并、补集的运算，分别求出M∩N、M∪N、∁R（M∩N）、∁R（M∪N），即可得答案
解答：解：因为集合M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，
所以M∩N=∅，
M∪N={x|x＜1}，
则∁R（M∩N）=R，
∁R（M∪N）={x|x≥1}，
故选：D．
点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．复数的虚部是( )
A．B．C．D．
考点：复数的代数表示法及其几何意义．
分析：本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念．
解答：解：依题：．∴虚部为．
故选B．
点评：本题是对基本概念的考查．
3．已知递增等比数列{a n}满足a3•a7=6，a2+a8=5，则=( )
A．B．C．D．
考点：等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等比数列的性质及其通项公式即可得出．
解答：解：递增等比数列{a n}满足a3•a7=6，a2+a8=5，
∴a2a8=6，a2+a8=5，
解得a2=2，a8=3．
∴==．
故选：D．
点评：本题考查了等比数列的性质及其通项公式，属于基础题．
4．已知空间中不共面的四点A，B，C，D及平面α，下列说法正确的是( ) A．直线AB，CD可能平行B．直线AB，CD可能相交
C．直线AB，CD可能都与α平行 D．直线AB，CD可能都与α垂直
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：综合题；空间位置关系与距离．
分析：AB，CD不共面，可得A，B，D都不正确；经过AC，BD，AD，BC中点的平面与AB，CD 平行，故C正确．
解答：解：由题意，AB，CD不共面，故A，B不正确；
经过AC，BD，AD，BC中点的平面与AB，CD平行，故C正确；
直线AB，CD都与α垂直，可得AB与CD平行，故不正确，
故选：C．
点评：本题考查直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
5．命题“∃x∈R，使得x2＜1”的否定是( )
A．∀x∈R，都有x2＜1 B．∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1
C．∃x∈R，使得x2≥1D．∃x∈R，使得x2＞1
考点：命题的否定．
分析：根据命题“∃x∈R，使得x2＜1”是特称命题，其否定为全称命题，即：∀x∈R，都有x2≥1．⇔∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1．从而得到答案．
解答：解：∵命题“∃x∈R，使得x2＜1”是特称命题
∴否定命题为：∀x∈R，都有x2≥1
∴∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1．
故选B．
点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化．
6．直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为( )
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
考点：直线与圆的位置关系．
专题：计算题．
分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，比较d与r的大小即可得到直线与圆的位置关系．
解答：解：由题设知圆心到直线的距离，
而（a+b）2≤2（a2+b2），
得，圆的半径，
所以直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为相交或相切．
故选D
点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆位置关系的判别方法，是一道基础题．
7．若a=sinxdx，则（x+）（ax﹣1）5的展开式中的常数项为( ) A．10 B．20 C．﹣10 D．﹣20
考点：二项式系数的性质；定积分．
专题：二项式定理．
分析：求定积分可得a的值，把（2x﹣1）5按照二项式定理展开，即可求得（x+）（2x﹣1）5展开式的常数项．
解答：解：a=sinxdx=﹣cosx=2，
则（x+）（ax﹣1）5=（x+）（2x﹣1）5 =（x+）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），
故（x+）（2x﹣1）5展开式的常数项为=10，
故选：A．
点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．
8．一个算法的程序框图如图，若该程序输出结果为6，则判断框内m的取值范围是( )
A．（12，20] B．（20，30] C．（30，42] D．（12，42]
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：由程序框图依次求得程序运行的结果，再根据输出的k值判断运行的次数，从而求出输出的S值．
解答：解：由程序框图知第一次运行第一次运行S=2，i=2；
第二次运行S=0+2+4，i=3；
第三次运行S=0+2+4+6，i=4；
第四次运行S=0+2+4+6+8，i=5；
第五次运行S=0+2+4+6+8+10，i=6；
∵输出i=6，
∴程序运行了5次，此时S=0+2+4+6+8+10=30，
∴m的取值范围为20＜m≤30．
故选：B．
点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据程序运行的结果判断程序运行的次数是关键，属于基本知识的考查．
9．已知△ABD是等边三角形，且，，那么四边形ABCD的面积为( )
A．B．C．D．
考点：向量在几何中的应用．
专题：计算题；数形结合．
分析：先设AD的中点为E，以AE，AB为邻边作平行四边形AECB，画出对应图象，利用E
为中点，得到BCDE为平行四边形，进而求得BE=CD=，AE=1，AB=2，再把四边形ABCD的面积转化为S△ABD即可求解．
解答：解：设AD的中点为E，以AE，AB为邻边作平行四边形AECB，对应图象如图
．
因为AECB为平行四边形，所以有=，
又因为，
故，即BCDE为平行四边形，所以有BE=CD=，AE=1，AB=2．
故S ABCD=S ABD+S△BCD=S△ABD=××=．
故选B．
点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及计算能力和数形结合思想，是对基础知识的考查，属于基础题．
10．已知函数f（x）=+b+6，其中，a，b为常数，a＞1，b≠0，若f（lglog210）=8，
则f（lglg2）的值为( )
A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
考点：对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：函数f（x）=+b+6，可得f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，再利用对数的运算性质即可得出．
解答：解：∵函数f（x）=+b+6，
∴f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，
而lg（log210）+lg（lg2）==0，
∴f（lglog210）+f（lglg2）=12，
∴f（lglg2）=12﹣8=4．
故选：B．
点评：本题考查了指数函数与对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是( )
A．12+4B．17 C．12+2D．12
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，如图所示，截面为菱形，两条对角线长为，2，面积为2，即可求出该几何体的表面积．
解答：解：棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，如图所示，
截面为菱形，两条对角线长为，2，面积为2，
所以该几何体的表面积是3×2×2+2=12+2，
故选：C．
点评：由三视图作出直观图，发现图象的特征，从而得到几何体的表面积．
12．已知函数f（x）=e x，g（x）=ln+，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f（a）=g（b），则b﹣a的最小值为( )
A．2﹣1 B．e2﹣C．2﹣ln2 D．2+ln2
考点：对数函数图象与性质的综合应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：令 y=e a，则 a=lny，令y=ln+，可得 b=2，利用导数求得b﹣a取得最小值．解答：解：令 y=e a，则 a=lny，令y=ln+，可得 b=2，
则b﹣a=2﹣lny，∴（b﹣a）′=2﹣．
显然，（b﹣a）′是增函数，观察可得当y=时，（b﹣a）′=0，故（b﹣a）′有唯一零点．故当y=时，b﹣a取得最小值为2﹣lny=2﹣ln=2+ln2，
故选D．
点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，利用导数求函数的最小值，属于中档题．此题中导数零点不易用常规方法解出，解答时要会用代入特值的方法进行验证求零点
二、填空题：每小题5分，共20分
13．设x，y满足线性约束条件，则x+2y的取值范围是[2，6]．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值．
解答：解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=﹣，
平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（2，2）时，直线y=﹣
的截距最大，此时z最大．
此时z的最大值为z=2+2×2=6，
过点C（2，0）时，直线y=2的截距最小，此时z最小．
此时z的最小值为z=2+2×2=6，
故x+2y的取值范围是[2，6]
故答案为：[2，6]．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14．在等差数列{a n}中，＜﹣1，若它的前n项和S n有最大值，则使S n取得最小正数的n=19．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：由题意可知，等差数列{a n}中a1＞0，公差d＜0，可将＜﹣1转化为：
＜0，于是a11＜0，a10＞0，由等差数列的前n项和公式可求得S n取得最小正数的n．
解答：解：∵等差数列{a n}中，它的前n项和S n有最大值，＜﹣1，
∴a1＞0，公差d＜0，
又将＜﹣1⇔＜0，
∴是a11＜0，a10＞0，a10+a11＜0．
∴S n=an2+bn中其对称轴n=﹣=10，
又S19==19a10＞0，而S20=＜0，
1与19距离对称轴n=10的距离相等，
∴S1=S19．
∴使S n取得最小正数的n=1或n=19．
故答案为：1或19．
点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和公式，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
15．现有5双不同号码的鞋，从中任意取出4只，则恰好只能配出一双的概率为．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：由题意可得总的基本事件数为=210，恰有两只成双的取法是•••=120，由概率公式可得．
解答：解：总的基本事件数为=210，
恰有两只成双的取法是•••=120
∴从中任意取出4只，则恰好只能配出一双的概率P==
故答案为：
点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及排列组合的知识，属基础题．
16．设A，B分别为椭圆+=1（a＞b＞0）和双曲线﹣=1的公共顶点，P，M分别
为双曲线和椭圆上异于A，B的两动点，且满足+=，其中λ∈R，|λ|＞1，设直线AP，BP，AM，BM的斜率分别为k1，k2，k3，k4且k1+k2=5，则k3+k4=﹣5．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：如图所示，由满足+=，其中λ∈R，|λ|＞1，利用向量的平行四边形法则可得：O，M，P三点共线．设P（x1，y1），M（x2，y2），=k≠0．分别利用
点在双曲线与椭圆上可得=，=﹣．k1+k2=5，利用斜率计算公式可得5=．再利用向量计算公式即可得出k3+k4．
解答：解：如图所示，
∵满足+=，其中λ∈R，|λ|＞1，
∴﹣2=λ•（﹣2），
∴O，M，P三点共线．
设P（x1，y1），M（x2，y2），=k≠0．
则﹣=1，+=1，
∴=，=﹣，
∵k1+k2=5，
∴5=+===．
∴k3+k4===﹣=﹣5．
故答案为：﹣5．
点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、向量的平行四边形法则、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题
17．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．
考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程．
（2）先根据x的范围求出2x﹣的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域．
解答：解：（1）∵
=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）
==
=
∴周期T=
由
∴函数图象的对称轴方程为
（2）∵，∴，
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，f（x）取最大值1，
又∵，当时，f（x）取最小值，
所以函数f（x）在区间上的值域为．
点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小正周期、对称性、和单调性．考查对基础知识的掌握情况．
18．如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为1的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，CD⊥BC，BC=1，AB=2，∠BCF=90°
（Ⅰ）求成：BD⊥AE
（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣D的大小．
考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角的平面角及求法．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（Ⅰ）通过已知条件可得CF⊥CD，利用线面垂直的判定定理及勾股定理即得结论；（Ⅱ）以C为原点，CD、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则所求角的余弦值即为平面AED的法向量与平面EBA的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．解答：（Ⅰ）证明：由题意得，BC⊥DC，CF⊥B C，
∵四边形CDEF为正方形，∴CF⊥CD，
又CD∩BC=C，∴FC⊥平面ABCD，
∵DE∥CF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥DB，
又∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，CD⊥BC，BC=1，AB=2，
∴AD=，BD=，
∵AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，
由AD∩DE=E，∴BD⊥平面ADE，∴BD⊥AE；
（注：也可以先建立直角坐标系，用向量法证明线线垂直）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CD、CB、CF所在直线相互垂直，
故以C为原点，CD、CB、CF所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得C（0，0，0），F（0，0，1），B（0，1，0），E（1，0，1），D（1，0，0），A（2，1，0），
由（Ⅰ）知平面AED的法向量为=（1，﹣1，0），
∴=（1，﹣1，1），=（2，0，0），
设平面EBA的法向量为=（x，y，z），
由，得，
令z=1，则=（0，1，1），
设二面角B﹣AE﹣D的大小为θ，
则cosθ===，
∵θ∈[0，]，∴θ=．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，考查空间想象能力，计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
、、，他们考核所得的等次相互独立．
（Ⅰ）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（Ⅱ）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
考点：相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
专题：计算题．
分析：（I）我们分别将“甲考核为优秀”，“乙考核为优秀”，“丙考核为优秀”，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”记为A，B，C，E，根据相互独立事件与对立事件的定义，可得事件A，B，C相互独立，与事件E是对立事件，根据相互独立事件乘法公式及对立事件概率减法公式，可得在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（Ⅱ）由已知2015届中考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．我们要得ξ的可能取值为，2，，3，分别计算出ξ取得各值时的概率，即可得到随机变量
ξ的分布列，代入数学期望公式，即可得到数学期望Eξ的值．
解答：解：（I）记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，
“丙考核为优秀”为事件C，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件E，则事件A，B，C相互独立，与事件E是对立事件
则P（E）=1﹣P（）=1﹣P（）•P（）•P（）=1﹣=
（II）ξ的可能取值为，2，，3
∵P（ξ=）=P（）=，
P（ξ=2）=P（A••）+P（•B•）+P（••C）=
P（ξ=）=P（A•B•）+P（A••C）+P（•B•C）=
P（ξ=3）=P（A•B•C）=
∴ξ的分布列为：
∴E（ξ）==
点评：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望，其中在求随机变量ξ的分布列时，对随机变量的每一个取值，要注意不重不漏，以便准确的计算出ξ取得各值时的概率，这也是计算分布列及数学期望时最容易产生的错误．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，
且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：计算题；压轴题．
分析：（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为．
（2）设M（2，y0），P（x1，y1），，直线CM：
，代入椭圆方程x2+2y2=4，得
，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值．（3）设存在Q（m，0）满足条件，则
MQ⊥DP．，再由
，由此可知存在Q（0，0）满足条件．
解答：解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；
∴椭圆方程为
（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），
直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，
得
∵x1=﹣，∴，∴，
∴
∴（定值）
（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP
则由，从而得m=0
∴存在Q（0，0）满足条件
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．
21．已知函数．
（I）求f（x）的极值；
（II）若∃x1∈（0，+∞），∃x2∈[1，2]使成立，求a的取值范围；（III）已知
．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．
专题：综合题．
分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的极值；
（II）分离参数可得，再分类讨论，求出右边的最小值，即可求得a的取值范围；
（III）只需要证明x1+x2＞x1x2，即可证得
解答：（Ⅰ）解：∵，
∴f′（x）=，
令f′（x）=0，即k﹣lnx=0，∴x=e k，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜e k；令f′（x）＜0，可得x＞e k；
∴函数在（0，e k）上单调增，在（e k，+∞）上单调减
∴函数f（x）在x=e k处取得极大值为f（e k）=e﹣k．
（II）解：∵
∴
若，即x1∈（1，+∞）时，在[1，2]上为单调增函数，
∴∃x2∈[1，2]使成立，等价于∃x1∈（1，+∞），使得
，∴a＞1；
若，即x1∈（0，1]时，，在时，取得最小值为
∴∃x2∈[1，2]使成立，等价于∃x1∈（0，1]，使得
，∴a＞0；
综上知，a＞0
（III）证明：∵x1＞0，x2＞0，且x1+x2＜e，
∴（x1+x2）（）=2+≥2+2=4＞0，
两式相乘，化简得x1+x2＞x1x2，
∴
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查存在性问题，考查不等式的证明，难度较大．
四、选做题选修4-1：几何证明选讲
22．如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M，T（不与A，B重合），连结MC，MB，OT．
（Ⅰ）求证： MTCO四点共圆；
（Ⅱ）求证：MD=2MC．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：综合题；推理和证明．
分析：（1）由切割线定理可得DT•DM=DB•DA，结合题中中点条件利用半径作为中间量进行代换，即可得证；
（2）利用四点共圆的性质及圆周角定理，可得MB是∠DMC的平分线，即可证明结论．
解答：证明：（Ⅰ）因MD与圆O相交于点T，设DN与圆O相切于点N，
由切割线定理DN2=DT•DM，DN2=DB•DA，
得DT•DM=DB•DA，
设半径OB=r（r＞0），
因BD=OB，且BC=OC=，则DB•DA=r•3r=3r2，DO•DC=2r•=3r2，
所以DT•DM=DO•DC．
所以M、T、C、O四点共圆；…
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知M、T、C、O四点共圆，
所以∠DMC=∠DOT，
因为∠DMB=∠TOD，
所以∠DMB=∠CMB，
所以MB是∠DMC的平分线，
所以==2，
所以MD=2MC …
点评：本题考查四点共圆，角平分线的性质，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，直线l的倾斜角为45°且经过点P（﹣1，0）
（Ⅰ）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于两点A，B，求|PA|2+|PB|2的值．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（Ⅰ）直接把直角坐标方程转化成极坐标方程．
（Ⅱ）利用直线和圆的关系建立一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果．
解答：解：（I）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，化简得，
曲线C的极坐标方程为…
（II）因为直线l的倾斜角为45°且经过点P（﹣1，0），
所以直线l的参数方程为，代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，
整理得：
化简得，，
所以，t 1•t2=3，
故|PA|2+|PB|2
=
=12．…
点评：本题考查的知识要点：参数方程与直角坐标方程的转化，及直角坐标方程与极坐标方程的转化，一元二次方程根和系数的关系，及相关的运算问题．
六、选修4-5：不等式选讲
24．设函数f（x）=x2﹣2x
（Ⅰ）解不等式|f（x）|+|x2+2x|≥6|x|；
（Ⅱ）若实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2|a|+3．
考点：不等式的证明；绝对值不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用；推理和证明．
分析：（Ⅰ）原不等式化为因式乘积的形式，利用绝对值不等式的几何意义，求解即可．（Ⅱ）直接利用因式分解，放缩法，绝对值的性质，证明即可．
解答：（24）（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲
解：（Ⅰ）原不等式|f（x）|+|x2+2x|≥6|x|可化为：（|x﹣2|+|x+2|）|x|≥6|x|；解得x≤﹣3或x≥3
，或x=0．
所以，原不等式的解集为{x|x≤﹣3或x≥3，或x=0}；…
（Ⅱ）证明：∵f（x）=x2﹣2x，|x﹣a|＜1，
∴|f（x）﹣f（a）|
=|x2﹣2x﹣a2+2a|
=|x﹣a||x+a﹣2|
＜|x+a﹣2|
=|（x﹣a）+2a﹣2|
≤|x﹣a|+|2a﹣2|
＜1+2|a|+2
=2|a|+3，
∴|f（x）﹣f（a）|＜2|a|+3．…
点评：本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，绝对值的几何意义，考查逻辑推理能力以及计算能力．。