2018年高考数学江苏专版三维二轮专题复习训练：6个解答题综合仿真练(一) 含解析

6个解答题综合仿真练(一)
1.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b ＝3，c ＝
2. (1)若2a ·cos C ＝3，求a 的值； (2)若c b ＝cos C 1＋cos B ，求cos C 的值．
解：(1)由余弦定理得，2a ·a 2＋b 2－c 2
2ab ＝3，
将b ＝3，c ＝2代入，解得a ＝2. (2)由正弦定理，得sin C sin B ＝cos C
1＋cos B ，
即sin C ＋sin C cos B ＝sin B cos C ，
则sin C ＝sin B cos C －cos B sin C ＝sin(B －C )． 因为0<C <B <π，所以0<B －C <π， 所以C ＝B －C ，则B ＝2C . 由正弦定理可得
b sin B ＝
c sin C ＝b 2sin C cos C
， 将b ＝3，c ＝2代入，解得cos C ＝3
4
.
2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，
BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP ＝OC ，PA ⊥PD .
求证：(1)PA ∥平面BDE; (2)平面BDE ⊥平面PCD .
证明：(1)连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点．
又因为E 为PC 的中点， 所以OE ∥PA .
又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以PA ∥平面BDE .
(2)因为OE ∥PA ，PA ⊥PD ，所以OE ⊥PD . 因为OP ＝OC ，E 为PC 的中点，所以OE ⊥PC .
又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC ∩PD ＝P ，所以OE ⊥平面PCD . 又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD .
3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的
离心率为2
3
，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．
(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭
⎫2，5
3，求a ，b 的值；
(2)设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB ―→＝12OC ―→
，求直线AB 的斜率．
解：(1)因为椭圆的离心率为2
3，
所以a 2－b 2a ＝23，即b 2a 2＝59
. ①
又因为点C ⎝⎛⎭⎫2，53在椭圆上，所以4a 2＋25
9b 2＝1. ② 由①②解得a 2＝9，b 2＝5. 因为a >b >0，所以a ＝3，b ＝ 5.
(2)法一：由(1)知，b 2a 2＝59，所以椭圆方程为x 2a 2＋9y 2
5a 2＝1，即5x 2＋9y 2＝5a 2.
设直线OC 的方程为x ＝my (m >0)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． 由{ x ＝my ，
x 2＋9y 2＝5a 2消去x ，得5m 2y 2＋9y 2＝5a 2，
所以y 2
＝5a 25m 2＋9.因为y 2>0，所以y 2＝5a
5m 2＋9
.
因为AB ―→＝12OC ―→
，所以AB ∥OC .可设直线AB 的方程为x ＝my －a .
由{ x ＝my －a ，
x 2＋9y 2＝5a 2消去x ，得(5m 2＋9)y 2－10amy ＝0，
所以y ＝0或y ＝10am 5m 2＋9，得y 1＝10am
5m 2＋9
.
因为AB ―→＝12OC ―→
，所以(x 1＋a ，y 1)＝⎝⎛⎭⎫12x 2，12y 2，于是y 2＝2y 1， 即
5a 5m 2＋9
＝20am 5m 2＋9(m >0)，所以m ＝3
5. 所以直线AB 的斜率为1m ＝53
3
.
法二：由(1)可知，椭圆方程为5x 2＋9y 2＝5a 2， 则A (－a ，0)．
设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．
由AB ―→＝12OC ―→
，得(x 1＋a ，y 1)＝⎝⎛⎭⎫12x 2，12y 2，所以x 1＝12x 2－a ，y 1＝12y 2. 因为点B ，C 都在椭圆5x 2＋9y 2＝5a 2上，
所以⎩
⎨⎧
5x 22＋9y 22＝5a 2
，
⎝⎛⎭⎫12x 2－a 2＋9⎝⎛⎭
⎫y 222＝5a 2. 解得x 2＝a 4，y 2＝5a
43
，
所以直线AB 的斜率k ＝y 2x 2＝53
3
.
4.如图，半圆AOB 是某市休闲广场的平面示意图，半径OA 的长为
10.管理部门在A，B两处各安装一个光源，其相应的光强度分别为4和9.根据光学原理，
地面上某点处照度y与光强度I成正比，与光源距离x的平方成反比，即y＝kI
x2(k为比例系
数)．经测量，在弧AB的中点C处的照度为130.(C处的照度为A，B两处光源的照度之和)
(1)求比例系数k的值；
(2)现在管理部门计划在半圆弧AB上，照度最小处增设一个光源P，试问新增光源P 安装在什么位置？
解：(1)因为半径OA的长为10，点C是弧AB的中点，
所以OC⊥AB，AC＝BC＝10 2.
所以C处的照度为y＝
4k
(102)2
＋
9k
(102)2
＝130，
解得比例系数k＝2 000.
(2)设点P在半圆弧AB上，且P距光源A为x，
则PA⊥PB，由AB＝20，得PB＝400－x2(0＜x＜20)．
所以点P处的照度为y＝8 000
x2＋
18 000
400－x2
(0＜x＜20)．
所以y′＝－16 000
x3＋
36 000x
(400－x2)2
＝4 000×9x4－4(400－x2)2 x3(400－x2)2
＝20 000×(x2－160)(x2＋800) x3(400－x2)2
.
由y′＝0，解得x＝410.
当0＜x＜410时，y′＜0，y＝8 000
x2＋
18 000
400－x2
为减函数；
当410＜x＜20时，y′＞0，y＝8 000
x2＋
18 000
400－x2
为增函数．
所以x＝410时，y取得极小值，也是最小值.
所以新增光源P安装在半圆弧AB上且距A为410(距B为415)的位置．5．已知函数f(x)＝(a－3)x－a－2ln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在(1，＋∞)上为单调增函数，求实数a的最小值；
(2)已知不等式f(x)＋3x≥0对任意x∈(0,1]都成立，求实数a的取值范围．
解：(1)法一：因为f′(x)＝a－3－2
x(x>0),
当a≤3时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a＞3时，由f′(x)＜0，得0＜x＜
2
a－3
，f(x)在⎝⎛⎭⎫
0，
2
a－3上单调递减，
由f′(x)＞0，得x＞
2
a－3
，f(x)在⎝⎛⎭⎫
2
a－3
，＋∞上单调递增.
因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数， 所以a ＞3且
2
a －3
≤1，所以a ≥5, 所以实数a 的最小值为5.
法二：因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调增函数， 所以f ′(x )＝a －3－2
x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，
所以a ≥3＋2
x 在(1，＋∞)上恒成立， 又当x ＞1时，3＋2
x ＜5, 所以a ≥5，
所以实数a 的最小值为5.
(2)令g (x )＝f (x )＋3x ＝a (x －1)－2ln x ，x ∈(0,1]， 所以g ′(x )＝a －2
x
.
①当a ≤2时，由于x ∈(0,1]，所以2
x ≥2， 所以g ′(x )≤0，g (x )在(0,1]上单调递减，
所以g (x )min ＝g (1)＝0，所以对任意x ∈(0,1]，g (x )≥g (1)＝0， 即对任意x ∈(0,1]不等式f (x )＋3x ≥0都成立，所以a ≤2;
②当a ＞2时，由g ′(x )＜0，得0＜x ＜2
a ，g (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减； 由g ′(x )＞0，得x ＞2
a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤2a ，1上单调递增． 所以，存在2
a ∈(0,1)，使得g ⎝⎛⎭⎫2a ＜g (1)＝0，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]． 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记集合M ＝{n |n (n ＋1)≥λa n ，n ∈N *}，若M 中有3个元素，求λ的取值范围； (3)是否存在等差数列{b n }，使得a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝2n ＋
1－n －2对一切n
∈N *都成立？若存在，求出b n ；若不存在，说明理由．
解：(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，得a 1＝1. 当n ≥2时，由S n ＝2a n －1，① 得S n －1＝2a n －1－1，② ①－②，得a n ＝2a n －1，即
a n
a n －1
＝2(n ≥2)． 因此{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －
1.
(2)由已知可得λ≤n(n＋1)
2n－1
，令f(n)＝
n(n＋1)
2n－1
，
则f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝3，f(4)＝5
2，f(5)＝
15
8，
下面研究f(n)＝n(n＋1)
2n－1
的单调性，
因为f(n＋1)－f(n)＝(n＋1)(n＋2)
2n－
n(n＋1)
2n－1
＝
(n＋1)(2－n)
2n，
所以，当n≥3时，f(n＋1)－f(n)＜0，f(n＋1)＜f(n)，即f(n)单调递减.
因为M中有3个元素，
所以不等式λ≤n(n＋1)
2n－1
解的个数为3，所以2＜λ≤
5
2，即λ的取值范围为⎝
⎛
⎦
⎤
2，
5
2.
(3)设存在等差数列{b n}使得条件成立，
则当n＝1时，有a1b1＝22－1－2＝1，所以b1＝1.
当n＝2时，有a1b2＋a2b1＝23－2－2＝4，所以b2＝2.
所以等差数列{b n}的公差d＝1，所以b n＝n.
设S＝a1b n＋a2b n－1＋a3b n－2＋…＋a n b1，
S＝1·n＋2(n－1)＋22(n－2)＋…＋2n－2·2＋2n－1·1，③
所以2S＝2·n＋22(n－1)＋23(n－2)＋…＋2n－1·2＋2n·1，④④－③，得
S＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n＝－n＋2(1－2n)
1－2
＝2n＋1－n－2，
所以存在等差数列{b n}，且b n＝n满足题意．。