2014-2015学年高中数学 3.2.2空间向量与垂直关系课时作业 新人教A版选修2-1

空间向量与垂直关系
(30分钟50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( )
A.α∥β
B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直
D.以上均不正确
【解析】选C.因为n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0,
所以n1与n2不垂直,又≠≠,
所以α与β相交但不垂直.
2.(2014·青岛高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N 是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面垂直
D.异面不垂直
【解析】选C.建立坐标系如图,
设正方体的棱长为2,
则A(2,0,0),M(0,0,1),
O(1,1,0),N(2,1,2),
=(-1,0,-2),=(-2,0,1),·=0,
则直线NO,AM的位置关系是异面垂直.
3.(2014·丹东高二检测)已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( )
A.(1,-1,1)
B.
C. D.
【解析】选 B.对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;对于选项B,=,则·n=·(3,1,2)=0,故B正确,验证可知C,D均不满足·n=0.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A.AC
B.BD
C.A1D
D.A1A
【解析】选B.如图所示,建立直角坐标系Dxyz,设AB=1,
则D(0,0,0),A(1,0,0),
B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),
E(,,1),
所以=(,-,1),
=(-1,1,0),
=(-1,-1,0),
=(-1,0,-1),=(0,0,-1),
所以·=0,
所以⊥,即CE⊥BD.
5.(2014·桂林高二检测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,
则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0), D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,·=·=0,
从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.
6.下列命题中,正确命题的个数为( )
①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;
②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0;
③若n是平面α的法向量,a与α共面,则n·a=0;
④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.命题①中平面α,β可能平行,也可能重合;结合平面法向量的概念,易知命题②③④正确.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.若向量a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面α内的两个不共线的向量,直线l的一个方向向量m=(2,3,1),则l与α的位置关系是(填“垂直”“平行”“相交但不垂直”).
【解析】m·a=(2,3,1)·(-1,2,-4)=-2+6-4=0,
m·b=(2,3,1)·(2,-2,3)=4-6+3=1≠0.
所以l与α相交但不垂直.
答案:相交但不垂直
8.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若⊥,⊥,则点P的坐标为.
【解析】因为=(-1,-1,1),=(2,0,1),=(-x,1,-z),由·=0, ·=0,
得则x=,z=-,
所以P.
答案:
9.(2014·长春高二检测)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果
=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;
②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是.
【解析】由于·=-1×2+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,·=4×(-1)+2×2+0×(-1)=0,所以①②③正确.
答案:①②③
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2014·广州高二检测)用向量方法证明:如果两个相交平面与第三个平面垂直,则它们的交线也与第三个平面垂直.
【解析】已知:如图,α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ.
求证:l⊥γ.
证明:设平面α,β,γ的法向量分别为a,b,c,直线l的方向向量为e,则a·e=0,b·e=0.
因为a,b与e不共面,
故存在实数x,y,z,使c=x a+y b+z e.
因为a⊥c,b⊥c,
所以
即
因为α与β相交,所以a与b不共线,
所以
所以方程组有惟一解所以c=z e,
即c∥e,从而有l⊥γ.
11.(2014·上海高二检测)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=1,BC=,M是AD中点,N是B1C1中点.
(1)求证:NA1∥CM.
(2)求证:平面A1MCN⊥平面A1BD1.
【证明】以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz.
所以B(,1,0),A1(,0,1),D1(0,0,1),C(0,1,0),M,N.
(1)=,=.
所以=,
所以NA1∥CM.
(2)方法一:
=(,1,-1),=(0,1,1),=,
所以·=0+1-1=0,
·=1-1+0=0,
所以D1B⊥MN,D1B⊥CM,
又MN∩CM=M,
所以D1B⊥平面A1MCN,
又D1B⊂平面A1BD1,
所以平面A1MCN⊥平面A1BD1.
方法二:
=(,0,0),=(,1,-1),=(0,1,1),=
.
设平面A1MCN的法向量为n=(x,y,z),
所以
取n=(,1,-1).
设平面A1BD1的法向量为m=(x1,y1,z1),
所以
取m=(0,1,1),
因为n·m=(,1,-1)·(0,1,1)=0+1-1=0,
所以n⊥m,
所以平面A1MCN⊥平面A1BD1.
【变式训练】在正三棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.
求证:平面GEF⊥平面PBC.
【证明】如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别
作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
令PA=PB=PC=3,
则A(3,0,0),B(0,3,0),
C(0,0,3),E(0,2,1),
F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0),
于是=(3,0,0),=(1,0,0),
故=3,所以PA∥FG.
而PA⊥平面PBC,所以FG⊥平面PBC.
又FG⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PBC.
【一题多解】如解析建立的空间直角坐标系,则E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0).
所以=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).
设平面EFG的法向量是n=(x,y,z),则有n⊥,n⊥.所以令y=1,得z=-1,x=0,即n=(0,1,-1).
显然=(3,0,0)是平面PBC的一个法向量.
又n·=0,所以n⊥,即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量互相垂直,所以平面GEF⊥平面PBC.
(30分钟50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.已知A(3,0,-1),B(0,-2,-6),C(2,4,-2),则△ABC是( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.=(-3,-2,-5),=(-1,4,-1),则·=-3×(-1)-2×4+5=0.
所以⊥,故△ABC为直角三角形.
又||≠||故选C.
2.平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量s=( )
A.(0,1,-1)
B.±
C.(0,,-)
D.±(0,,-)
【解析】选B.直线l的方向向量平行于平面α的法向量,故直线l的单位方向向量是s=±.
3.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.位置关系不确定
【解析】选B.如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长度,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.
依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).
则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).
因为·=0,·=0.
所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC.
所以PQ⊥平面DCQ.
又PQ⊂平面PQC,
所以平面PQC⊥平面DCQ.
4.如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,
①·≠0;②AB⊥DC;
③BD⊥AC;④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.
其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选 B.建立以D为坐标原点,以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴的空间坐标系,设斜边BC=2,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1)则=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0), =(-1,0,0)从而有·=0+0+1=1,故①错误,·=0,故②正确,·=0,故③正确,易知平面ADC的一个法向量为向量=(-1,0,0),平面ABC的法向量设为n=(x,y,z),由·n=x-z=0,·n=y-z=0,令y=1,则x=1,z=1,故n=(1,1,1),·n=-1,故④错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2014·上海高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx+1, 2cos2x+2,0)和点Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π].若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为.
【解析】由题意得⊥.
所以cosx·(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.
所以2cos2x-cosx=0.所以cosx=0或cosx=.
又x∈[0,π],所以x=或x=.
答案:或
6.(2014·南京高二检测)已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).若在直线AB上,存在一点E,使得⊥b(O为原点)则E点的坐标为.
【解题指南】先设点E在AB上的位置,利用垂直关系建立与E点坐标有关的方程,求出点E.
【解析】=+=+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),因⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时E点的坐标为. 答案:
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2014·银川高二检测)已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点M,N分别在面对角线AD′和面对角线BD上,并且=.求证:MN⊥AD.
【证明】设正方体棱长为1,==λ,=a,=b,=c,则=-= +-=+λ-λ=a+λ(b-a)-λ(b+c)
=(1-λ)a-λc且a·b=0,a·c=0,b·c=0,
所以·=b·[(1-λ)a-λc]
=(1-λ)b·a-λb·c=0,
所以⊥,所以MN⊥AD.
【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,M为四边形ABCD的中心.求证:对A1B1上任一点N,都有MN⊥AP.
【证明】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则
A(1,0,0),P, M,N(1,y,1).
所以=,=.
所以·=(-1)×+0×+×1=0,所以⊥,即对A1B1上任意一点N都有MN⊥AP.
8.(2014·广州高二检测)如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD 的交点,BB1=,M是线段B1D1的中点.
(1)求证:BM∥平面D1AC.
(2)求证:D1O⊥平面AB1C.
【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则点O(1,1,0),
D1(0,0,),
所以=(-1,-1,),
又点B(2,2,0),M(1,1,),
所以=(-1,-1,),
所以=,
又因为OD1与BM不共线,
所以OD1∥BM.
又OD1⊂平面D1AC,BM⊄平面D1AC,
所以BM∥平面D1AC.
(2)连接OB1.因为·=(-1,-1,)·(1,1,)=0,·= (-1,-1,)·(-2,2,0)=0,所以
⊥,⊥,即OD1⊥OB1,OD1⊥AC,又OB1∩AC=O,所以D1O⊥平面AB1C.
【变式训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.
求证:EF⊥平面B1AC.
【解题指南】思路一:EF⊥AB1,EF⊥B1C得EF⊥平面B1AC;思路二:求平面B1AC的法向量n证明∥n从而EF⊥平面B1AC.
【证明】设=a,=b,=c,
则=+=(+)
=(+)=(+-)
=(-a+b+c).
因为=+=a+b,
所以·=(-a+b+c)·(a+b)
=(b2-a2+c·a+c·b)
=(|b|2-|a|2+0+0)=0.
所以⊥,即EF⊥AB1.
同理,EF⊥B1C.
又AB1∩B1C=B1,
所以EF⊥平面B1AC.
【一题多解1】设正方体的棱长为2,以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别
为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),
B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2).
所以=(1,1,2)-(2,2,1)=(-1,-1,1),
=(2,2,2)-(2,0,0)=(0,2,2),
=(0,2,0)-(2,0,0)=(-2,2,0).
所以·=(-1,-1,1)·(0,2,2)
=(-1)×0+(-1)×2+1×2=0,
·=(-1,-1,1)·(-2,2,0)=2-2+0=0,
所以⊥,⊥,
所以EF⊥AB1,EF⊥AC.
又AB1∩AC=A,
所以EF⊥平面B1AC.
【一题多解2】同一题多解1得=(0,2,2),=(-2,2,0),=(-1,-1,1). 设平面B1AC的法向量n=(x,y,z),
则·n=0,·n=0,
即取x=1,则y=1,z=-1,
所以n=(1,1,-1),
所以=-n,
所以∥n,
所以EF⊥平面B1AC.。