一元一次不等式方程及方程组

一元不等式及不等式组
【课前检测】 用代入法解方程组
2 x  5 y  21  x  3 y  8
3x  y  7  2 x  5 y  13
2 x  3 y  7  3x  5 y  1
用加减法解下列方程组
4 x  8 y  12  3x  2 y  5 （1） 
3x  y  8 2a  3b  8   3x  5 y  20 （3） 3a  b  5 （2） 
5m  3n  1  6n  3m  5 （4） 
【知识梳理】 1、 不等式相关概念 不等式：用不等号连接起来的式子，叫不等式。

常见的不等号有五种：“≠”“>” “<”“≥”“≤”． 解不等式：求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫解不等式。

一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是 1．系数不等于 0 的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式： ax+b＜0 或 ax+b≤0， ax+b＞0 或 ax+b≥0(a≠0)．
x<a
a
a
x>a
x≤a
a
a
x≥a
2、不等式的解和解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来， 具体表示方法是： ①确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点； 不包含边界点，则是空心圆圈； ②确定方向：大向右，小向左。

说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则 是一个具体的数值．


3、不等式的解集在数轴上的表示 在数轴上表示大于 3 的数的点应该是数 3 所对应点的右边。

画图时要注意方向（向右）和端点（不包括数 3，在对 应点画空心圆圈）。

如图所示：
同样，如果某个不等式的解集为 x≤－2， 那么它表示 x 取－2 左边的点画实心圆点。

如图所示：
总结：在数轴上表示不等式解集的要点： 小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画圆点。

4、不等式的性质 性质 1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即：若 a>b，那么 a± c>b± c． 性质 2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若 a>b，c>0，那么 ac>bc 性质 3：不 等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若 a>b，c<0，那么 ac<bc
不等式的其他性质：①若 a>b，则 b<a；
②若 a>b，b>c，则 a>c；
③若 a≥b，且 b≥a，•则 a=b；④若 a≤0，则 a=0． 5、一元一次不等式的解法一般步骤： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为 1。

通过这些步骤可以把一元一次不等式转化为 x＞a （x≥a）或 x＜a（x≤a）的形式。

说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时， 不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【典型例题】 考点 1：不等式的概念
2 2 在 2 y  3 y  1  0 ， y  2 y  1  0 ，  6  2 ，
2 2 x 2y 1 ab ， 3x 2   1 ，  y  0 ， 7 x  5  5 x  6 中， 7 2 3
是一元一次不等式的是 考点 2：不等式的性质 例 1、用“＜”或“＞”填空： (1)若 a－2＞b－2，则 a______b； (3)若－4a＞－4b，则 a______b； (2)若 (4) 
a b  , 则 a______b； 3 3
a b   , 则 a______b． 2 2
．
例 2、不等式 3x＜2x－3 变形成 3x－2x＜－3，是根据
例 3、若 a 是有理数，比较 2a 和 3a 的大小。

（提示：有理数是怎么分类的？）


考点 3 不等式的解与解集 题型 1 一元一次不等式的解和解集 例 1、判断： （1）不等式 x＞－1 的整数解有无数多个． ( ( )． )．
（2）不等式  例 2、不等式 Ａ．
1 2  x  4 的整数解有 0、1、2、3、4． 2 3
的解集是（ ） Ｃ． Ｄ． 。

。

Ｂ．
例 3 、 （ 2015 •莆 田 ） 不 等 式 2x-4 ＜ 0 的 解 集 是 例 4 、 （ 2015 •重 庆 ） 不 等 式 2x- 3≥ x 的 解 集 是 例 5 、 （ 2015 •平 凉 ） 不 等 式 2x+9≥ 3（ x+2 ） 的 正 整 数 解 是 题型 2、 不等式的解集与数轴 注意：含等号与不含等号的不等式在数轴上的图象的区别。

例 1、画出数轴，在数轴上表示出下列不等式的解集：。

1 (1) x  3  2
(3) x  3.5 
(2)x≥－4．
1 (4) x  2  3
） ． D ．
例 2、不等式 2x＜10 的解集在数轴上表示正确的是（ A ． B ． C
例 3、（2015•玉林）在数轴上表示不等式 x+5≥1 的解集，正确的是（
）
A． 考点 4 解不等式
B．
C．
D．
解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母 （运用不等式性质 2、3）（2）去括号（3）移项 （运用不等式性质 1） （4）合并同类项。

（5）将未知数的系数化为 1 （运用不等式性质 2、3） 题型 1、 解不等式 例 1、解下列不等式：a+3≠1; (2)-2x>-8. (3)3x+7≠x/4+1 (4)y-8<2y;
例 2、（ 2012•肇 庆 ） 解 不 等 式 ： 2 （ x+3 ） -4 ＞ 0 。

例 3、已 知 关 于 x 的 方 程
x ＝ 1 的 解 是 x=3 ， 求 关 于 y 的 不 等 式 （ a-3 ） y ＜ -6 的 解 集 。

a 1


【易错题分析】 不等式是初中数学的重要内容之一，是以后学习函数等知识的基础,因此学好这部分内容对以后的学习起着非常重 要的作用. 但对于初学者，由于对其定义、性质、解法等理解不透，而导致许多错误．学生们在学习一元一次不等 式的解法时，经常会出现一些错误，而造成这些错误是各有原因的。

现就平时作业和检测中常出现的错误进行剖析，以提高你的解题能力. 1.去括号时，错用乘法分配律 1.解不等式 3x+2（2-4x）＜19. 错解：去括号，得 3x+4-4x＜19，解得 x＞-15. 2.去括号时，忽视括号前的负号 2.解不等式 5x-3（2x-1）＞-6. 错解：去括号，得 5x-6x-3＞-6，解得 x＜3. 3.移项时，不改变符号 3.解不等式 4x-5＜2x-9. 错解：移项，得 4x+2x<-9-5， 即 6x<-14，所以 4.去分母时，忽视分数线的括号作用 正解: 正解: 正解:
4.解不等式 错解：去分母，得 正解:
， 解得： 5.不等式两边同除以负数，不改变方向 5.解不等式 3x－6＜1+7x. 错解：移项，得 3x－7x＜1+6， 正解：
即 －4x＜7，所以


6.去分母时，漏乘不含分母的项
6.解不等式 错解：去分母，得 x-2（x-1）＞3x+1， 正解:
去括号，解得 7.忽视对有关概念的理解 7.求不等式 错解：整理，得 3x≤16， 的非负整数解. 正解：
所以
故其非负整数的解是 1，2，3，4
8.在数轴上表示解集时出现错误 8.解不等式：3（1－x）≥2（x+9），并把它的解集在数轴上表示出来. 错解：整理，得－5x≥15，所以 x≤－3，在数轴上表示如图 1 所示. 正解：
9.忽视了字母的范围 9.解关于 x 的不等式 m（x-2）＞x-2. 错解：化简，得（m-1）x＞2（m-1），所以 x＞2. 10.解不等式（a－1）x＞3. 错解：系数化为 1，得 【方法总结】 （1） 解一元一次不等式的步骤是怎样的？她与解一元一次方程的步骤有何异同？在解方程中易犯的错误，在解 不等式也易犯，要特别注意。

如果要去坟墓时，各项都要乘以公分母，加括号去括号时，要遵循有关法则等。

（2） 解一元一次不等式时，需注意什么？要注意当不等式两边同乘以、同除以一个负数时，不等号要改变方向。

（3） 解一元一次不等式的基本思想是什么？是运用不等式的三条基本性质，将不等式变形为 x>a 或 x<a 的形式， 从而求得不等式的解集。

（4） 养成认真、细心的做题习惯，养成做完题后检查的良好习惯。

. 正解： 正解:


【作业布置】
a b   ，则 3a _____b ；（填“<、>或=”号） 3 9 3  2y 3．不等式 2 x ≥ x  2 的解集是_________；4．当 y _______时，代数式 的值至少为 1； 4
1．若 x < y ，则 x  2
y  2 ；（填“<、>或=”号）2．若 
5．不等式 6  12 x  0 的解集是___
___；6．不等式 7  x  1 的正整数解为：
；
7．若一次函数 y  2 x  6 ，当 x ___ __时， y  0 ；8． x 的 9．若 a > b ,则下列不等式中正确的是（ （A） ） （C）
3 与 12 的差不小于 6，用不等式表示为_______ 5
a  b  0 （B）
 5a  5b
a  8  b  8 （D）
）
a b  4 4
10．在数轴上表示不等式 x ≥  2 的解集，正确的是（
（A）
（B）
（C） ）
（D）
11．不等式 2( x  2) ≤ x  2 的非负整数解的个数为（ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
13．已知关于 x 的不等式 (1  a) x  3 的解集为 x  （A）
3 ，则 a 的取值范围是（ 1 a
a0
（D）
）
a0
（B）
a 1
（C） )． (C)
a 1
14．下列各式中，是一元一次不等式的是( (A)x2＋3x＞1 (B) x 
y 0 3
1 1  5 x 5
(D) )．
x 1 x 1   2 3 3
15．关于 x 的不等式 2x－a≤－1 的解集如图所示，则 a 的取值是(
(A)0
(B)－3
(C)－2
(D)－1
三、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： 6．2(2x－3)＜5(x－1)． 7．10－3(x＋6)≤1．
8． 1 
x x2 5  3 2
9．
y 1 y 1 y 1    3 2 6
10、 x 为何值时,代数式
x  3 x 1  的值是非负数？ 2 5 x  m 2x  1   m 的解是非正数，求 m 的取值范围． 3 2
11、已知：关于 x 的方程









。