一道IMO试题的证明及其推广

一道IMO试题的证明及其推广
周峻民;郑慧娟
【摘要】题目证明:(2m)!(2n)!/m!n!(m+n!)是整数.(第14届IMO试题)该试题是第14届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛的第3题,简记为IMO.14.3.它的背景是2个数论函数的应用:方次数函数potpn和下取整函数[x].1 知识背景方次数函数potpn:表示素数p在正整数n的素因数分解中的次数(若素数p不是n的素因数,则次数记为0).如20=22.5,则pot220=2,pot320=0,pot520=1.下取整函数[x]:表示不超过实数x的最大整数(即x的整数部分).如[1.2] =1,[3] =3.这2个数论函数在数论中非常有用,由定义可得到下列简单的性质:性质1 potp(mn)=potpm+ potpn.
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2011(000)012
【总页数】3页(P41-43)
【作者】周峻民;郑慧娟
【作者单位】深圳中学广东深圳 518001;广州大学附属中学广东广州 510050【正文语种】中文
题目证明:是整数．
该试题是第14届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛的第3题,简记为IMO.14.3.它的背景是2个数论函数的应用:方次数函数potpn和下取整函数⎣x」．
方次数函数potpn：表示素数p在正整数n的素因数分解中的次数(若素数p不是
n的素因数,则次数记为0)．如20=22·5，则pot220=2，pot320=0，pot520=1．下取整函数⎣x」：表示不超过实数x的最大整数(即x的整数部分)．如⎣1.2」=1，⎣3」=3．
这2个数论函数在数论中非常有用，由定义可得到下列简单的性质：
性质1 potp(mn)=potpm+potpn.
性质2 b/a是整数的充要条件是：对任意素数p，有potpb-potpa≥0．
性质3 ⎣x」+⎣y」≤⎣x+y」≤⎣x」+⎣y」+1.
性质4 当n是整数时，⎣n+x」=n+⎣x」．
将这2个数论函数联系到一起，得到以下性质：
性质⎣n/pi」．
证明由性质1知
由性质2知是整数的充要条件是：对任意素数p，
由性质5，该问题可转化为证明：对任意素数p，
到这一步，思路有点卡住了，因为这5个“无限求和”是大问题．能否把这5个“无限求和”合并呢？合并之后，如果每一项的值非负，那么它们的和也是非负的.于是，希望得到：对任意素数p和任意正整数i，必有
由于式(1)中素数p是任意的，正整数i也是任意的，因此更一般地，如果可以做到：对任意实数x,y，必有
那么问题就迎刃而解了．
式(2)中x,y是任意实数，范围有点大，下面尝试把x,y的范围变小．设x=⎣x」
+a，y=⎣y」+b，其中a,b∈[0,1)．由性质4知
代入可得
再次简化得：对任意实数a,b∈[0,1)，必有
把区间[0,1)分成和下面在这2个区间上对a,b进行逐一验证：
(1)当时，2a,2b,a+b∈[0,1)，故⎣2a」=⎣2b」=⎣a+b」=0,即式(3)成立.
(2)当时，2a∈[0,1),2b∈[1,2),故⎣2a」=0，⎣2b」=1.而无法直接得到⎣a+b」
的值，这里需要用到性质3：⎣a+b」≤⎣a」+⎣b」+1=1，得到⎣a+b」≤⎣2a」+⎣2b」，从而式(3)成立.
(3)当时，与情况(2)同理可得式(3)成立.
(4)当时，2a,2b,a+b∈[1,2)，故⎣2a」=⎣2b」=⎣a+b」=1,式(3)成立．
综上所述，对任意实数a,b∈[0,1)，式(3)恒成立，命题得证．
由试题的证明过程可知，IMO.14.3的背景就是式(2)，而式(2)又可简化为式(3)，
由此可编制出相同背景的试题．
推广1 证明:是整数．
推广2 证明:是整数．
推广3 证明:是整数．
上面3个推广和IMO.14.3“形状”相似，解法也相似，留给感兴趣的读者．
推广4 证明:是整数．
乍一看，推广4与IMO.14.3“形状”相似，但是仔细观察可发现2n-2<n+(n-1)，无法证明对任意实数x，必有⎣2x-2」≥⎣x」+⎣x-1」成立．
证明设P=，Q=，则
对任意实数x，必有
类似于IMO.14.3的证明方法，可得P，Q是整数．
由nP=(n-1)Q知n|(n-1)Q，而(n,n-1)=1，故n|Q，即=是整数．
推广4可用排列组合方法证明是整数，这里是用数论方法给出的一个新证明．进
一步，可得到更一般的结果：
推广5 设(m,n)=1，证明：是整数．
推广6 设(m,n)=1，证明：是m+n的倍数．
推广7 设p是素数，0<k<p，证明：是p的倍数．
推广5～7与推广4的证法类似.下面2个推广与推广4的证法不一样，留给感兴趣的读者．
推广8 证明：是偶数．
推广9 证明：m!n!整除(mn)!．
【相关文献】
[1] 柯召，孙琦.数论讲义[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2] 潘承洞，潘承彪.初等数论[M].北京：北京大学出版社，2003.
[3] 柳柏濂，吴康.竞赛数学的原理和方法[M].广州：广东高等教育出版社，2003.。