高中数学高三(上)9月月考数学试卷(理科)

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高中数学高三（上）9月月考数学试卷（理科）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I （选择题）
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1. 已知集合 ， ，则 A. B. C. D.
2. 已知 ， ，则下列结论正确的是（ ） A. 是 的充分不必要条件 B. 是 的必要不充分条件
C. 是 的既不充分也不必要条件
D. 是 的充要条件
3. 若 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D.
4. 函数 的定义域为 ，函数 的值域为 ，则
A. B.
C. D.
5. 已知下列命题：① ， ；②函数
的零点有 个；③ 是 的充分不必要条件；④命题： ， 的否定是： ， ．其中真命题有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ）
A.
B. C.
D.
7. 在 中，“ 是钝角三角形”是“ ＝ ”的（ ）
A.必要不充分
B.充要
C.充分不必要
D.既不充分也不必要
8. 若集合 ， ，则集合 的真子集的个数为( ) A. B. C. D.
9. 曲线
在 处的切线方程为
A. B. C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A.命题“若 ，则 或 ”，则其否命题是“若 ，则 且 ”
B. 是函数 在定义域上单调递增的充分不必要条件
C.“ ”是真命题
D.若命题 ， ，则
11. 已知函数
，则 的值域是( ) A. B. C.
D.
12. 我们常用以下方法求形如 ＝ 的函数的导数：先两边同取自然对数得： ＝ ，再两边同时求导得到：
＝
，于是得到： ＝
，运用此方法求得函数
的一
个单调递增区间是（ ） A.
B. C.
D.
卷II （非选择题）
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13. 设
，若 ，则 ＝________．
14. 若
，使得不等式 成立，则实数 的最小值为________．
15. 设 为非空数集，若 ， ，都有 ， ， ，则称 为封闭集．下列命题 ①实数集是封闭集；
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②全体虚数组成的集合是封闭集；
③封闭集一定是无限集；
④若为封闭集，则一定有；
⑤若，为封闭集，且满足，则集合也是封闭集，
其中真命题是________．
16. 若直线与曲线相切，则的最大值为________.
三、解答题（本题共计 7 小题，共计80分）
17.(14分) 数列的前项和记为，，．
（1）当为何值时，数列为等比数列？
（2）在（1）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又，，成等比数列，求．
18. （14分）已知函数为偶函数．
求函数的最小正周期及单调减区间；
把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的对称中心．
19.(14分) 的内角的对边分别为，已知.
求的值；
若为线段边上的一点，且满足，求线段的长.
20.(14分) 设，函数.
当时，求函数的极值；
若对，成立，求实数的取值范围
21.(14分) 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数，的值；
（2）若，，求在闭区间上的最小值．
22.(5分) 设不等式的解集为，且，．
（1）证明：；
（2）比较与的大小，并说明理由．
23.(5分) 已知曲线（为参数），（为参数）．
化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值．
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参考答案与试题解析
高中数学高三（上）9月月考数学试卷（理科）
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.
【答案】 D
【考点】
交、并、补集的混合运算 【解析】
先求出集合 ， ，然后进行补集的运算即可． 【解答】
， ； ∴ ． 2.
【答案】 A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件 【解析】
根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】
由 ，得 ，则 ，成立，即 是 的充分条件，
当 ＝ ， ＝ 时，满足 ，但 ，不成立，即必要性不成立， 即 是 的充分不必要条件， 3.
【答案】 D
【考点】
全称命题与特称命题 全称量词与存在量词 【解析】
由题意可得， ，然后根据二次函数的性质即可求解． 【解答】
∵ ，使得不等式 成立， ∴ ， ， ∴ ，
根据二次函数的性质可知，当 时， ＝ ， 则 即 ． 4.
【答案】 D
【考点】
对数函数的定义域
指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【解析】
由题设知 ， ，由此能求出 ． 【解答】
解：∵ 函数 的定义域为 ，函数 的值域为 ， ∴ ， ， ∴ ， 故选 ． 5.
【答案】 D
【考点】
全称命题与特称命题
必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用 【解析】
根据条件分别判断四个命题的真假即可． 【解答】
解：① ， ，
∴ ， 为真命题，故①正确， ②函数
的定义域为 ， 由
得 ， 即 ，
则两个函数 和 的图象如图所示，
由图象知两个函数有 个交点，
即函数 有 个零点，故②正确， ③由 得 或 ，
即 是 的充分不必要条件，故③正确， ④命题： ， 的否定是： ， ．故④正确， 故正确的是①②③④，共 个， 故选 . 6.
【答案】
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A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．
【解答】
解：中，的图象关于轴对称，故为偶函数，且在上单调递减；
中，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，故排除；
中，为奇函数，故排除；
中，为非奇非偶函数，故排除．
故选.
7.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据充分必要条件的定义，先由条件“是钝角三角形”推理，看是否推出结论“ ＝”；反之，由内角和定理得＝，利用两角和差的余弦公式、诱导公式化简式子，根据特殊角的余弦值判断出角之间的关系，即可得三角形的形状，即可得出结论．
【解答】
在中，已知“是钝角三角形”，
假设为钝角，则，，显然“ ＝”不成立；
在中，又由＝，
可知＝，即＝，
此时有，即为钝角或为钝角，从而为钝角三角形．
∴ “是钝角三角形”推不出“ ＝”；
“ ＝”“是钝角三角形”
∴ “是钝角三角形”是“ ＝”的必要不充分条件．
8.
【答案】
A
【考点】
子集与真子集的个数问题
并集及其运算
【解析】
由根据集合的定义得到：集合＝，由此能求出集合的真子集个数．
【解答】
解：∵，，
∴集合，
∴集合的真子集个数为．
故选.
9. 【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．
【解答】
解：时，，原方程经过点，
原式的导数为，
可得在点处的切线斜率为，
则所求切线的方程为，
即为．
故选.
10.
【答案】
A
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
，根据命题“若，则”的否命题是“若￢，则￢”，判断即可；
，举例说明时函数在定义域上不一定单调递增，充分性不成立；
，根据幂函数的图象与性质，判断该命题错误；
，根据全称命题与它的否定是特称命题，判断即可．
【解答】
对于，命题“若，则或”，
其否命题是“若，则且”，正确；
对于，时，函数在定义域上不一定单调递增，
如，∴充分性不成立，错误；
对于，根据幂函数的图象与性质知，
，，
∴它的否定是假命题，错误；
对于，根据命题，，
它的否定是￢，，判断错误．
11.
【答案】
B
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
求出时二次函数的值域，再由基本不等式求出时函数的值域，取并集得答案．【解答】
解：由，知
当时，；
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当 时，
，当且仅当
，即 时取“”，
取并集得： 的值域是 ． 故选 . 12.
【答案】 C
【考点】
函数的单调性及单调区间 导数的运算 【解析】
根据定义，先求原函数的导数，令导数大于 ，解不等式即可 【解答】 由题意知
，
令 ，得 ∴
∴ 原函数的单调增区间为
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） 13.
【答案】
【考点】 函数的求值 求函数的值 【解析】
由题意可求出 ＝ ，然后代入
，结合已知即可求解 ． 【解答】 ∵
，
∴ ＝ ， ∵
，
则 （ ）＝ ＝
， 而 ＝
， ∴ ＝ ，
14.
【答案】
【考点】
全称命题与特称命题 全称量词与存在量词
【解析】
不等式化为
，设 ＝
，
，利用导数求出 的最小值，即可得出实数 的取值范围和 的最小值． 【解答】 则
，
令 ＝ ，解得 ＝ 或 ＝ （不合题意，舍去）（1）所以
单调递减 时， ， 单调递增（3）所以 ＝ 时， 取得最小值为 ＝ ＝ ＝ 所以实数 的取值范围是 ，即 的最小值为 ． 故答案为： ． 15.
【答案】 ①④ 【考点】
康托的集合论──对无限的思考 【解析】
实数集是封闭集，若 为封闭集，则一定有 ，全体虚数组成的集合不是封闭集，当两个共轭复数相乘时，得到一个实数，封闭集不一定是无限集，若 ， 为封闭集，且满足 ，则集合 不一定是封闭集． 【解答】
∵ 若 ， ，都有 ， ， ，
∴ 实数集是封闭集，若 为封闭集，则一定有 ，
全体虚数组成的集合不是封闭集，当两个共轭复数相乘时，得到一个实数， 封闭集不一定是无限集，故③不正确，
若 ， 为封闭集，且满足 ，则集合 不一定是封闭集 综上可知①④正确， 16.
【答案】
【考点】
利用导数研究函数的单调性 【解析】
求出圆心，可得 ，由基本不等式即可得到最大值． 【解答】
解：设切点为 ， 则切线为
，
， ，
， 令
，
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则，
在上单调递增，在上单调递减，
则.
故答案为：.
三、解答题（本题共计 7 小题，共计80分）
17.
【答案】
解：（1）由①可得②
两式作差得．
因为数列为等比数列．
所以数列是首项为，公比为的等比数列
∴．
（2）设等差数列的公差为，
由，
所以可设，．
又，，．
由题得．，．
因为等差数列的前项和有最大值，且，所以．
解得，
所以．
【考点】
等差数列与等比数列的综合
【解析】
（1）先由求出．再利用数列为等比数列，可得．就可以求出值．（2）先利用求出，再利用公差把和表示出来．代入，，成等比数列，求出公差即可求．
【解答】
解：（1）由①可得②
两式作差得．
因为数列为等比数列．
所以数列是首项为，公比为的等比数列
∴．
（2）设等差数列的公差为，
由，
所以可设，．
又，，．
由题得．，．
因为等差数列的前项和有最大值，且，所以．
解得，
所以．18.
【答案】
（I）函数
＝
函数为偶函数，则，
∵
∴
∴＝＝
∴函数的最小正周期
令解得：
∴函数的单调递减区间为
由知＝
由题意知＝＝
令，则，
∴函数的对称中心坐标为．
【考点】
两角和与差的三角函数
二倍角的三角函数
正弦函数的单调性
正弦函数的奇偶性和对称性
【解析】
（I）把函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，即为函数解析式的最简形式，即可求出最小正周期以及单调区间；
由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的对称中心即可．
【解答】
（I）函数
＝
函数为偶函数，则，
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∵
∴
∴ ＝ ＝ ∴ 函数的最小正周期
令
解得：
∴ 函数 的单调递减区间为
由 知 ＝
由题意知 ＝
＝
令
，则
，
∴ 函数的对称中心坐标为
．
19.
【答案】
解： ∵ ， 由正弦定理得， ， ∵ ， ∴ 可得 ， ∴
.
设 ，则由 代入可得
，
解得
.
【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解： ∵ ， 由正弦定理得， ， ∵ ， ∴ 可得 ， ∴
.
设 ，则由 代入可得
，
解得
.
20.
【答案】
解： 当 时，
，
，
当 时， ，函数 在 上单调递增， 当 时， ，函数 在 上单调递减， 函数 在 时取得极大值，极大值为
∵ 对 ， 成立，∴
对 成立，
即 对 成立，
令 ，则 ， 成立①，且 ， ∵
， ，
∴ 时， 恒成立，∴ 函数 在 上单调递减， ∴ 当 时， ，与 ， 成立矛盾； 当 时， 时， ， 时， ，
∴ 函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ∴ 函数 在 上的最大值为 . 结合①有 ②， 而 ，
∴ 当 时， ；当 时， ，
∴ 函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ∴ ，∴ ，结合②有 ， ∵ 时， ， 时， ， ∴ ，即实数 的取值范围为 . 【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解： 当 时，
，
，
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当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
函数在时取得极大值，极大值为
∵对，成立，∴对成立，
即对成立，
令，则，成立①，且，∵，，
∴时，恒成立，∴函数在上单调递减，
∴当时，，与，成立矛盾；
当时，时，，
时，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴函数在上的最大值为.
结合①有②，
而，
∴当时，；当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，结合②有，
∵时，，时，，
∴，即实数的取值范围为.
21.
【答案】
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
22.
【答案】
证明：，
可得，即有，
解得，
则，可得，
即有，可得或，
解得，
则，，
；
．
理由：
，
由，，可得
，，
则，
可得．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
（1）由绝对值不等式的解法，运用绝对值的意义，可得，则，，再由绝对值不等式
的性质，即可得证；
（2）运用作差法，可得：，由平方差公式，分解因式，结合，的范围，即可得到所求大小关系．
【解答】
证明：，
可得，即有，
解得，
则，可得，
即有，可得或，
解得，
则，，
；
．
理由：
，
由，，可得
，，
则，
可得．
23.
【答案】
解：把曲线（为参数）化为普通方程得：，
所以此曲线表示的曲线为圆心，半径的圆；
把（为参数）化为普通方程得：，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，
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焦点在 轴上，长半轴为 ，短半轴为 的椭圆. 把
代入到曲线 的参数方程得： ，
把直线 （ 为参数）化为普通方程得： ，
设 的坐标为 ，故
所以 到直线的距离
，（其中 ，
）
从而当
，
时， 取得最小值
．
【考点】
直线的参数方程 椭圆的参数方程 圆的参数方程
点到直线的距离公式 【解析】
（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线 表示一个圆；曲线 表示一个椭圆；
（2）把 的值代入曲线 的参数方程得点 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线 的参数方程设出 的坐标，利用中点坐标公式表示出 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值． 【解答】
解： 把曲线 （ 为参数）化为普通方程得： ，
所以此曲线表示的曲线为圆心 ，半径 的圆；
把 （ 为参数）化为普通方程得：
，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，
焦点在 轴上，长半轴为 ，短半轴为 的椭圆. 把
代入到曲线 的参数方程得： ，
把直线 （ 为参数）化为普通方程得： ，
设 的坐标为 ，故
所以 到直线的距离
，（其中 ，
）
从而当
，
时， 取得最小值
．。