高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做中档大题规范练4Word版含解析

中档大题规范练4概率与统计
1． (2016 ·京北 )A ， B， C 三个班共有100 名学生，为检查他们的体育锻炼状况，经过分层抽
样获取了部分学生一周的锻炼时间，数据以下表(单位：小时 )：
(1)试预计 C 班的学生人数；
(2)从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选用 1 人， A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙．假定全部学生的锻炼时间互相独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
(3)再从 A ， B， C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25( 单位：小时 )．这 3 个新数据与表格中的数据组成的新样本的均匀数记为μ，表格中数据的均匀数记1为μ，试判断
0μ和0μ1的大小 ( 结论不要求证明 )．
解 (1)C 班学生人数约为 100×
88
＝ 100×20＝ 40. 5＋ 7＋8
(2)设事件 A i为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人”，i ＝ 1,2，，5，事件 C j为“ 乙是现有样本中 C 班的第 j 个人”， j ＝1,2，，8.
由题意可知 P(A i)＝1
， i ＝ 1,2，， 5；P(C j)＝
1
，j ＝ 1,2，， 8. 58
1×11
P(A i C j)＝ P(A i)P(C j)＝5 8＝40， i ＝ 1,2，， 5， j ＝ 1,2，， 8.
设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长” ，由题意知，
E＝A1C1∪A1C2∪ A2C1∪ A2C2∪ A2C3∪ A3C1∪A3C2∪ A3C3∪ A4C1∪A4C2∪ A4 C3∪ A5C1∪ A5C2∪ A5C
3∪A5C4.
所以P(E)＝ P( A1C1)＋ P(A1C2)＋ P(A2C1)＋ P(A2C2)＋ P(A2C3)＋ P(A3C1)＋ P(A3C2) ＋ P(A3C3) ＋
1 3
P(A4C1)＋ P(A4C2)＋ P(A4C3)＋ P( A5C1)＋ P(A5C2 )＋ P(A5C3)＋ P(A5C4)＝ 15×40＝8.
(3)μ1＜μ0.
2．某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30 名跳高运动员进行了测试，
并用茎叶图表示出本次测试 30 人的跳高成绩 (单位：cm)．跳高成绩在 175cm 以上 (包含 175cm) 定义为“合格”，成绩在 175cm 以下定义为“不合格”．基于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．
(1) 求甲队队员跳高成绩的中位数；
(2) 假如将全部的运动员按“合格”与“不合格”分红两个层次， 用分层抽样抽取“合格”与
“不合格”的人数共
5 人，则各层应抽取多少人？
(3)若从全部“合格”运动员中选用 2 名，用 X 表示所选运动员中甲队能参加市运动会开幕式
旗林队的人数，试写出
X 的概率散布，并求 X 的均值．
解 (1) 由茎叶图知，甲田径队12
名队员的跳高成绩从小到大摆列后中间的两个成绩为 176、
178，
1
故中位数为 2 (176＋ 178)＝ 177.
(2)由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数为 12，不合格人数为
18，所以抽取五人，合格人数
为
5
×12＝ 2，不合格人数为
5
×18＝3.
30 30
2 C 4
1
(3)X ＝ 0,1,2， P(X ＝ 0)＝ C 212＝ 11，
1 1
C 8C 4 16
P(X ＝1)＝ C 212 ＝33，
C 28 14 P(X ＝2)＝
2 ＝
.
C 12 33
故 X 的概率散布为
X 0 1 2
P
1 16
14 4 E(X)＝0× 11＋ 1× 33＋ 2× 33＝3.
1 16 14 11
33
33
3．安排 5 个大学生到 A ， B ，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．
(1)求 5 个大学生中恰有
2 个人去 A 校支教的概率；
(2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的概率散布．
解 (1)5 个大学生到三所学校支教的全部可能为35＝ 243(种 )，设“恰有 2 个人去 A 校支教”为事件 M，
则有 C52·23＝ 80(种 )，
∴ P(M)＝
80
243
.
即 5 个大学生中恰有 2 个人去 A 校支教的概率为
80 243
.
(2)由题意得：ξ＝ 1,2,3,
ξ＝ 1? 5 人去同一所学校，有C31＝ 3(种 )，
∴ P(ξ＝ 1)＝3
＝1，
24381
ξ＝ 2? 5 人去两所学校，即分为4,1 或 3,2 有 C23·(C45＋ C35) ·A22＝ 90(种 )，
∴P(ξ＝ 2)＝24390
＝
30
81＝
10
27，
3122
ξ＝ 3? 5 人去三所学校，即分为 3,1,1或 2,2,1
C5·C2·1C5·C3·13
种 )，有 (＋) ·A3＝ 150(
2！2！
15050
∴ P(ξ＝ 3)＝243＝81.
∴ ξ的概率散布
为
ξ123
P
11050 812781
4.甲、乙两人进行定点投篮竞赛，在距篮筐 3 米线内设一点A，在点 A 处投中一球得 2 分，不中得 0 分；在距篮筐 3 米线外设一点B，在点 B 处投中一球得 3 分，不中得0 分，已知甲、乙两人在 A 点投中的概率都是
1，在B点投中的概率都是1，且在A，B两点处投中与否互相
23
独立，设定甲、乙两人先在 A 处各投篮一次，而后在 B 处各投篮一次，总得分高者获胜．
(1)求甲投篮总得分ξ的概率散布和均值；
(2)求甲获胜的概率．
解(1)设“甲在 A 点投中”为事件 A，“甲在 B 点投中”为事件 B，
依据题意，ξ的可能取值为0,2,3,5，则
1
1 1
P(ξ＝0) ＝P( A B ) ＝(1 －2)× (1－ 3)＝ 3，
1
1 1
× (1－ 3)＝ 3，P(ξ＝2)＝P(AB)＝2
1
1 1
P(ξ＝3) ＝P( A B) ＝(1－ 2)× 3＝ 6，
1 1 1
P(ξ＝5) ＝P(AB) ＝ ×
＝ .
2 3
6
所以 ξ的概率散布为
ξ0
2 3 5
P
1 1 1 1 3 3
6
6
1 1
1 1
E(ξ)＝ 0×3＋ 2× 3＋ 3× 6＋ 5× 6＝ 2.
(2)同理，乙的总得分 η的概率散布
为
ξ0
2 3 5
P
1 1 1 1 3 3
6
6
甲获胜包含：甲得
2 分、
3 分、 5 分三种情况，这三种情况之间相互互斥．
所以，所求事件的概率为
P ＝ P(ξ＝ 2)× P( η＝ 0)＋ P(ξ＝ 3)× P(η<3) ＋ P(ξ＝ 5)× P(η<5)＝ 1 × 1 1 1 1 1
1 3 3 ＋ × ( ＋ ) ＋
× (1－ )＝
6 3 3 6 6
13
36
.
5．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采纳百分制，
已知全部这些学生的
原始成绩均散布在
[50,100] 内，公布成绩使用等级制各等级区分标准见下表，规定：
A 、
B 、C
三级为合格等级， D 为不合格等级 .
百分制 85 分及 70 分到 60 分到
60 分
以上 84 分 69 分
以下
等级
A
B
C
D
为认识该校高一年级学生身体素质状况， 从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，依据 [50,60) ， [60,70) ， [70,80) ， [80,90) ，[90,100] 的分组作出频次散布直方图如图 1 所示，样
本中分数在 80 分及以上的全部数据的茎叶图如图
2 所示．
(1)求 n 和频次散布直方图中 x ，y 的值；
(2)依据样本预计整体的思想，以事件发生的频次作为相应事件发生的概率，若在该校高一学 生中任选 3 人，求起码有 1 人成绩是合格等级的概率；
(3)在选用的样本中，从
A 、 C 两个等级的学生中随机抽取了
3 名学生进行调研，记 ξ表示所
抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数，求随机变量 ξ的概率散布及均值．
解 (1)n ＝ 6 ＝ 50， x ＝ 2 ＝ 0.004，
0.012× 10
50×10 1－0.04－ 0.1－ 0.12－0.56
y ＝ 10
＝ 0.018.
(2)成绩是合格等级人数为
(1－ 0.1)×50＝ 45, 抽取的 50 人中成绩是合格等级的频次为
9
，故
10
9
从该校学生中任选
1 人，成绩是合格等级的概率为
10，设在该校高一学生中任选3
人，起码
有 1 人成绩是合格等级的事件为
A ，
则 P(A)＝ 1－ C 0
3 ×(1－ 9 )3＝ 999 .
10 1000
(3) 由题意可知 C 等级的学生人数为 0.18× 50＝ 9， A 等级的学生人数为 3, 故 ξ的取值为
0,1,2,3，则
C 33
＝
1
C 91C 32
27
P(ξ＝0) 3
， P(ξ＝ 1)＝
3
＝
，
＝
C 12
220
C 12
220
2 1 108
27
P(ξ＝2) C 9C 3
＝ C 123
＝220 ＝ 55，
3
P(ξ＝3) ＝
C
3
9
＝
84
＝
21
，
C 12 220 55
所以 ξ的概率散布为
ξ 0 1 2 3
P
1 27 27 21 220
220
55
55
E(ξ)＝ 0× 1 ＋ 1× 27 ＋ 2×27＋ 3×21＝ 9
.
220 220 55 55 4。