新中考版数学一轮复习第四章三角形4.4三角形相似课件
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∵∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，即∠ACB=90°.
【变式1】如图，D是△ABC的边AC上的一点， 连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4， 求线段CD的长．
解：在△ABD和△ACB中，
∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB. ∴ AB AD .
AC AB
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA.
∴∠OAD=∠DAC，即AD平分∠BAC.
（2）解：∵OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC. ∴ OD BO .
AC BA
∴ 4 6 . 解得AACC=1020 .
3
C组
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q 从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为 每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时 间为t秒． (1)求线段CD的长； (2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动 过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在， 求出t的值；若不存在，说明理由．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC. ∴∠ADF=∠DFC=90°，
∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC. ∴∠EDC=90°.
∴∠ADF=∠EDC=90°. ∴∠ADE=∠CDF.
∵∠A=∠C，
∴△ADE∽△CDF.
三、过关训练
A组
△1．AB如C图的，面在积△之A比B为C中__，1_∶_D_9E__∥_．BC，DADB
∴△ABC∽△ADE.
B组
4．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E， DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.
(1)求证：△ADE≌△CFE； (2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长． 证明：（1）∵ AB∥FC，∴∠ADE=∠CFE.
又∵∠AED=∠CEF，DE=FE,
∴ △ADE≌△CFE（ASA）.
第四章 三角形 4.4 三角形相似
，
一、考点知识
1．相似三角形的判定： (1)如图，若DE∥BC(A型和X型)则
△ADE∽_△___A_B_C____． (2)两个角对应相等的两个三角形_相__似_______． (3)两边对应成_比__例_______且夹角_相__等_____的两个三角形
相似． (4)三边对应成比例的两个三角形_相__似_______．
1 2
,则△ADE与
2．如图，点P是▱ABCD的边AB上一点，射线CP交DA的延长 线于点E，则图中相似的三角形有_____3___对．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点， DE⊥AB于点E，求证：△ABC∽ADE.
证明：∵∠C=90°DE⊥AB,
∴∠C=∠DEA,
∵∠A=∠A,
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10.
∵CD⊥AB，∴S△ABC=
1 2
BC·AC=
1 2
AB·CD.
∴CD= BC AC 68 4.8 .
AB 10
∴线段CD的长为4.8.
小结与作业
（2）解：∵△ADE≌△CFE，∴ AD=CF.
∵ AB∥FC，∴∠GBD＝∠GCF，∠GDB＝∠GFC.
∴△ GBD∽△GCF. ∴ GB DB
GC FC
又∵GB＝2，BC＝4，BD＝1，
代入 GB DB ,ห้องสมุดไป่ตู้2 1 ,得CF＝3=AD.
GC FC
6 FC
∴ AB＝AD+BD=3+1=4.
5．如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB， 且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交 ⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)求AC的长．
证明：（1）连接OD，∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD.
∵AC⊥BD，∴OD∥AC. ∴∠DAC=∠ODA.
∵AB=6，AD=4， ∴AC= AB2 36 9 .
AD 4
∴CD=AC－AD=9－4=5.
【考点2】相似三角形的判定 【例2】如图，在矩形ABCD中，沿直线MN对折， 使A，C重合，直线MN交AC于点O. 求证：△COM∽△CBA.
证明：A与C关于直线MN对称，
∴AC⊥MN，∴∠COM=90°.
【例1】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高且 CD2＝AD·DB. (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB的度数．
证明：（1）∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°. ∵CD2=AD·DB， ∴ AD CD .
CD BD
∴△ADC∽△CDB.
（2）由（1）,得△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B.
2.相似三角形的性质： (1)对应角_相__等_____，对应边的比等于_相__似__比___，
周长的比等于_相__似__比___，面积的比等于相__似__比__的__平__方. (2)三条平行线截两条直线，所得对应线段 _成__比__例_____ .
二、例题与变式
【考点1】相似三角形的判定与性质
在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠COM=∠B.
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△COM∽△CBA .
【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，以 CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的 切线DE与边AB相交于点E. 求证：△ADE∽△CDF. 证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°.
∴∠ACD+∠DCB=90°，即∠ACB=90°.
【变式1】如图，D是△ABC的边AC上的一点， 连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4， 求线段CD的长．
解：在△ABD和△ACB中，
∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB. ∴ AB AD .
AC AB
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA.
∴∠OAD=∠DAC，即AD平分∠BAC.
（2）解：∵OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC. ∴ OD BO .
AC BA
∴ 4 6 . 解得AACC=1020 .
3
C组
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q 从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为 每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时 间为t秒． (1)求线段CD的长； (2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动 过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在， 求出t的值；若不存在，说明理由．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC. ∴∠ADF=∠DFC=90°，
∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC. ∴∠EDC=90°.
∴∠ADF=∠EDC=90°. ∴∠ADE=∠CDF.
∵∠A=∠C，
∴△ADE∽△CDF.
三、过关训练
A组
△1．AB如C图的，面在积△之A比B为C中__，1_∶_D_9E__∥_．BC，DADB
∴△ABC∽△ADE.
B组
4．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E， DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.
(1)求证：△ADE≌△CFE； (2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长． 证明：（1）∵ AB∥FC，∴∠ADE=∠CFE.
又∵∠AED=∠CEF，DE=FE,
∴ △ADE≌△CFE（ASA）.
第四章 三角形 4.4 三角形相似
，
一、考点知识
1．相似三角形的判定： (1)如图，若DE∥BC(A型和X型)则
△ADE∽_△___A_B_C____． (2)两个角对应相等的两个三角形_相__似_______． (3)两边对应成_比__例_______且夹角_相__等_____的两个三角形
相似． (4)三边对应成比例的两个三角形_相__似_______．
1 2
,则△ADE与
2．如图，点P是▱ABCD的边AB上一点，射线CP交DA的延长 线于点E，则图中相似的三角形有_____3___对．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点， DE⊥AB于点E，求证：△ABC∽ADE.
证明：∵∠C=90°DE⊥AB,
∴∠C=∠DEA,
∵∠A=∠A,
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10.
∵CD⊥AB，∴S△ABC=
1 2
BC·AC=
1 2
AB·CD.
∴CD= BC AC 68 4.8 .
AB 10
∴线段CD的长为4.8.
小结与作业
（2）解：∵△ADE≌△CFE，∴ AD=CF.
∵ AB∥FC，∴∠GBD＝∠GCF，∠GDB＝∠GFC.
∴△ GBD∽△GCF. ∴ GB DB
GC FC
又∵GB＝2，BC＝4，BD＝1，
代入 GB DB ,ห้องสมุดไป่ตู้2 1 ,得CF＝3=AD.
GC FC
6 FC
∴ AB＝AD+BD=3+1=4.
5．如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB， 且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交 ⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)求AC的长．
证明：（1）连接OD，∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD.
∵AC⊥BD，∴OD∥AC. ∴∠DAC=∠ODA.
∵AB=6，AD=4， ∴AC= AB2 36 9 .
AD 4
∴CD=AC－AD=9－4=5.
【考点2】相似三角形的判定 【例2】如图，在矩形ABCD中，沿直线MN对折， 使A，C重合，直线MN交AC于点O. 求证：△COM∽△CBA.
证明：A与C关于直线MN对称，
∴AC⊥MN，∴∠COM=90°.
【例1】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高且 CD2＝AD·DB. (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB的度数．
证明：（1）∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°. ∵CD2=AD·DB， ∴ AD CD .
CD BD
∴△ADC∽△CDB.
（2）由（1）,得△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B.
2.相似三角形的性质： (1)对应角_相__等_____，对应边的比等于_相__似__比___，
周长的比等于_相__似__比___，面积的比等于相__似__比__的__平__方. (2)三条平行线截两条直线，所得对应线段 _成__比__例_____ .
二、例题与变式
【考点1】相似三角形的判定与性质
在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠COM=∠B.
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△COM∽△CBA .
【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，以 CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的 切线DE与边AB相交于点E. 求证：△ADE∽△CDF. 证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°.