江苏高一高中数学期中考试带答案解析

江苏高一高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.已知数列是等差数列，且，它的前项和有最小值，则取到最小正数时的值为．
2.已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为．
3.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．
4.函数的定义域是____．
5.在数列中，，则的值为____．
6.经过点和的直线的一般式方程为____．
7.△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足csinA＝acosC，则角C＝▲．
8.设,且=则的取值范围是____．
9.中，，，则= .
10.已知直线l经过点且与以，为端点的线段有公共点，则直
线的倾斜角的取值范围为____．
11.三角形ABC中，有，则三角形ABC的形状是；
12.设是数列的前项和，且，，则____．
13.已知，且，，则____．
14.我们知道，如果定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数、，总有不等式
成立，则称函数为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列，如果对任意正整数，总有不等式：成立，则称数列为向上凸数列（简称上凸数列）.
现有数列满足如下两个条件：
（1）数列为上凸数列，且；
（2）对正整数（），都有，其中.
则数列中的第三项的取值范围为____．
二、解答题
1.在中，内角的对边分别是，满足．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若且，求的取值范围．
2.设直线的倾斜角为，
（1）求的值；（2）求的值。

3.已知，，
（1）求；（2）若不等式的解集是，求的解集.
4.已知数列{}的首项．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求数列的前n 项和．
5.如图，一船由西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为α，前进5km 后到达B 处，测得岛M 的方位角为β．已知该岛周围3km 内有暗礁，现该船继续东行． （1）若α=2β=60°，问该船有无触礁危险？
（2）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险？
6.已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和，向量=(1,b n )，=(a n －1,S n )，//． （1）若b n =2，求数列{a n }通项公式； （2）若
，
=0.
①证明：数列{a n }为等差数列； ②设数列{c n }满足
，问是否存在正整数l ，m (l<m ,且l ≠2，m ≠2)，使得
成等比数列，若存在，求出
l 、m 的值；若不存在，请说明理由.
江苏高一高中数学期中考试答案及解析
一、填空题
1.已知数列是等差数列，且
，它的前项和
有最小值，则
取到最小正数时的值为 ．
【答案】
.
【解析】∵等差数列，∴
，∵有最小值，∴
，
令，即
，∴
（舍去）或
，
又∵，∴
，
∴
，∴满足
取到最小正数时的
.
【考点】1.等差数列的性质；2.解一元二次不等式.
2.已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为 ．
【答案】 【解析】二次函数
的对称轴为
，所以个整数为：，，．所以，解得
．
【考点】一元二次不等式整数解
3.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ． 【答案】120°
【解析】解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则， 所以由余弦定理可知cosθ=
=，
所以7所对的角为60°．
所以三角形的最大角与最小角之和为：120°． 故答案为：120°．
【点评】本题考查余弦定理的应用，三角形的边角对应关系的应用，考查计算能力．
4.函数的定义域是____．
【答案】
【解析】由题意得，，即其定义域是.
5.在数列中，，则的值为____．
【答案】11
【解析】由题意得，数列为首项为1.公差为2的等差数列，则
6.经过点和的直线的一般式方程为____．
【答案】
【解析】由题意可得，
7.△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足csinA＝acosC，则角C＝▲．
【答案】
【解析】略
8.设,且=则的取值范围是____．
【答案】
【解析】由题意得，，又因为，则的取值范围是
9.中，，，则= .
【答案】
【解析】略
10.已知直线l经过点且与以，为端点的线段有公共点，则直
线的倾斜角的取值范围为____．
【答案】
【解析】当直线过B时，设直线的倾斜角为，则
当直线过A时，设直线的倾斜角为，则
综合：直线l经过点且与以，为端点的线段有公共点时，直线的倾斜角的取值范围为
11.三角形ABC中，有，则三角形ABC的形状是；
【答案】等腰三角形或直角三角形
【解析】解：∵三角形ABC中，a2tanB=b2tanA，∴由正弦定理，得到
∴sin2A=sin2B，又A、B为三角形中的角，∴2A=2B或2A=π-2B，∴A=B或A+B=故答案为：等腰三角形或
直角三角形,，故答案为等腰三角形或直角三角形
【考点】正弦定理的应用及二倍角的正弦
点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用及二倍角的正弦及诱导公式，属于中档题．
12.设是数列的前项和，且，，则____．
【答案】当时，，
当时，．
【解析】∵，
∴，
∴．
∴{}是公差为-1的等差数列．
∵，
解得或．
当时，，
当时，．
故答案为：或．
点晴：本题考查求数列的通项，数列的求和，数列递推式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方
法的积累，属于中档题
13.已知，且，，则____．
【答案】
【解析】令f(x)=x3+sinx,则f(−x)=−x3−sinx，
∴f(x)为奇函数,且f(x)在为单调函数，
∵f(x)=m,f(y)=−m，
∴x+y=0，
∴.
故答案为： .
14.我们知道，如果定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数、，总有不等式
成立，则称函数为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列，如果对任意正整数，总有不等式：成立，则称数列为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列满足如下两个条件：
（1）数列为上凸数列，且；
（2）对正整数（），都有，其中.
则数列中的第三项的取值范围为____．
【答案】
【解析】由题意得，
又，
令，则
又
二、解答题
1.在中，内角的对边分别是，满足．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若且，求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由已知
得
化简得 ,故．
（2）因为，所以，由正弦定理故
-
因为，所以，
所以．
点睛：本题主要运用三角恒等变换，熟练运用三角和差公式以及二倍角公式，然后对求三角形有关边的线性运算的最值问题，通常是利用正弦定理将其转化为角的问题，借助三角函数来进行最值解答，在运算中要注意角度的取值范围.
2.设直线的倾斜角为，
（1）求的值；（2）求的值。

【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意可得tanα的值，再利用二倍角公式求得tan2α的值；（2）利用两角和的余弦公式求得的值．
试题解析：（1）．
（2）利用同角三角函数关系的基本关系可得，，则
3.已知，，
（1）求；（2）若不等式的解集是，求的解集.
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由一元二次不等式的解法分别求出集合A，B，再利用集合的交集即可求出答案；（2）由一元二次方程的实数根与不等式的解集的关系，结合（1）中结论可先求得a、b的值，接着将a、b的值代入不等式ax2+x-b＜0中并求解不等式即可.
试题解析：
（1）由A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，
由B={x|x2-5x+6＞0}={x|x＜2或x＞3}，
∴A∩B={x|-1＜x＜2}.
（2）由题意，得-1，2是方程x2+ax+b=0的两根，
∴， 解得a=−1，b=−2，
∴不等式ax 2+x-b ＜0可化为-x 2+x+2＜0，解得x ＜-1或x ＞2. ax 2+x-b ＜0的解集为{x|x ＜-1或x ＞2}.
点睛：本题重点考查了一元二次不等式的解法，熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键.一元二次不等式解法与求一元二次方程的根相似，大体上有十字相乘法，配方法，万能公式法等.要熟记口诀：大于取两边，小于取中间.解答本题的关键是得到A={x|-1＜x ＜3}，B={x|x ＜2或x ＞3}.
4.已知数列{}的首项． （1）求数列{}的通项公式； （2）求数列的前n 项和
．
【答案】(1)
；（2）
．
【解析】（1）观察数列的递推公式可发现可构造成数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求解；（2）由（1）中的结论可求出，则前n 项和
可利用分组求和和错位相消的方法求解；
试题解析：（1），则
数列
是以2为首项，2为公比的等比数列，即
（2）由（1）可知，，则
利用分组求和以及错位相消的方法可得，
5.如图，一船由西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为α，前进5km 后到达B 处，测得岛M 的方位角为β．已知该岛周围3km 内有暗礁，现该船继续东行． （1）若α=2β=60°，问该船有无触礁危险？
（2）当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险？
【答案】（1）没有触礁危险；（2）没有触礁危险．
【解析】（1）在△ABM 中可知，AB=BM=5，求出MC 与3比较，即可得到结论；（2）在△ABM 中由正弦定理得可得MC ，当且仅当MC ＞3时没有触礁危险． 试题解析：
（1）在△ABM 中可知，AB=BM=5，从而MC=5sin60°=，没有触礁危险． （2）设CM=x ，在△ABM 中由正弦定理得， ，
解得，
所以当
时没有触礁危险．
点睛：本题考查利用数学知识解决实际问题，解三角形的实际应用，考查学生分析解决问题轭能力，属于中档题．
6.已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和，向量=(1,b n )，=(a n －1,S n )，//． （1）若b n =2，求数列{a n }通项公式； （2）若
，
=0.
①证明：数列{a n }为等差数列； ②设数列{c n }满足
，问是否存在正整数l ，m (l<m ,且l ≠2，m ≠2)，使得
成等比数列，若存在，求出
l 、m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）①见解析；②
．
【解析】（1）利用两个向量平行的坐标关系得到Sn=（an-1）bn ，进一步对n 取值，得到数列{an}是等差数列；
（2）①由bn= ，则2Sn=nan-n ③，又2Sn+1=（ n+1）an+1-（n+1）④，两式相减即可得到数列{an}的递推公
式，进一步对n 取值，得到数列{an}是首项为-1，公差为1的等差数列． ②由①得到数列{cn}通项公式，根据m ，l 的范围讨论可能的取值． 试题解析：（1)因为=(1,b n )，=(a n －1,S n )，// 得Sn=(an−1)bn,当bn=2,则Sn=2an−2 ①， 当n=1时,S1=2a1−2,即a1=2, 又Sn+1=2an+1−2 ②，
②−①得Sn+1−Sn=2an+1−2an ， 即an+1=2an,又a1=2，
所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列, 所以an=2n.…(4分)
(2)①证明：因为bn=n2,则2Sn=nan−n ③， 当n=1时,2S1=a1−1,即a1=−1， 又2Sn+1=( n+1)an+1−(n+1)④， ④−③得
2Sn+1−2Sn=(n+1)an+1−nan−1, 即(n−1)an+1−nan−1=0 ⑤， 又nan+2−(n+1)an+1−1=0⑥
⑥−⑤得,nan+2−2nan+1+nan=0，
即an+2+an=2an+1,所以数列{an}是等差数列 ②又a1=−1,a2=0，
所以数列{an}是首项为−1，公差为1的等差数列。

an=−1+(n−1)×1=n−2,所以cn=n+1n,…(10分)
假设存在l<m(l≠2,m≠2),使得cl 、c2、cm 成等比数列,即c22=clcm ， 可得94=l+1l ⋅m+1m,
整理得5lm−4l=4m+4即l=4m+45m−4,由4m+45m−4⩾1,得1⩽m ⩽8 由<m,所以存在=1,m=8符合条件
点睛：本题考查了由数列的前n 项和求通项公式以及等差数列通项公式的运用；关键是正确求出{an}通项公式．。