知识点51应用三大观点解决滑块与轻弹簧碰撞问题

学问点51：应用三大观点解决滑块与轻弹簧碰撞问题
【学问思维方法技巧】
滑块与弹簧碰撞模型的特点：
〔1〕动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，假设系统所受外力的矢量和为零，那么系统动量守恒．
〔2〕机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒． 〔3〕弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体削减的动能转化为弹簧的弹性势能)．
〔4〕弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大〔相当于刚完成弹性碰撞〕．
考点一：滑块与含弹簧滑块碰撞模型
【学问思维方法技巧】
①两小球速度相同时(相当于完全非弹性碰撞)，弹簧最短，弹性势能最大
动量守恒：m 1v 0＝(m 1＋m 2)v ，能量守恒：12m 1v 02＝12
(m 1＋m 2)v 2＋E pm ②弹簧恢复原长时(相当于完全弹性碰撞)，动量守恒：m 1v 0＝m 1v 1＋m 2v 2，能量守恒：12
m 1v 02＝12m 1v 12＋12m 2v 22，恢复原长时，v 1＝m 1－m 2m 1＋m 2v 0，v 2＝2m 1m 1＋m 2v 0
； 题型一：水平面运动模型
【典例1根底题】如下图，质量为M 的物块甲，以速度v 0沿光滑水平地面对前运动，连接有轻弹簧、质量为m 的物块乙静止在正前方，物块甲与弹簧接触后压缩弹簧，那么以下推断错误的选项是()
A.仅增大v 0，弹簧的最大压缩量增大
B.仅增大m ，弹簧的最大压缩量增大
C.仅增大M ，弹簧的最大压缩量增大
D.v 0肯定，m ＋M 肯定，弹簧的最大压缩量肯定
【典例1根底题】【答案】D
【解析】依据动量守恒定律，有Mv 0＝(m ＋M )v ，最大压缩量时对应的弹性势能E p ＝12Mv 20
－12(m ＋M )v 2＝mMv 202〔M ＋m 〕＝mv 202⎝⎛⎭⎫1＋m M ＝Mv 202⎝⎛⎭
⎫M m ＋1，依据弹性势能于压缩量之间的关系可知，A 、B 、C 正确，D 错误。

题型二：组合式运动模型
【典例2根底题】如下图，半径为R 的14
光滑圆弧轨道竖直固定在水平地面上，下端与水平
地面在P 点相切，一个质量为2m 的物块B(可视为质点)静止在水平地面上，左端固定有水平轻弹簧，Q 点为弹簧处于原长时的左端点，P 、Q 间的距离为R ，PQ 段地面粗糙、动摩擦因数为μ＝，Q 点右侧水平地面光滑，现将质量为m 的物块A(可视为质点)从圆弧轨道的最高点由静止开头下滑，重力加速度为g .求：
(1)物块A 沿圆弧轨道滑至P 点时对轨道的压力大小；
(2)弹簧被压缩的最大弹性势能(未超过弹性限度)；
(3)物块A 最终停止位置到Q 点的距离．
【典例2根底题】【答案】(1)3mg (2)13mgR (3)19
R 【解析】(1)物块A 从静止沿圆弧轨道滑至P 点，设物块A 在P 点的速度大小为v P ，
由机械能守恒定律有：mgR ＝12mv 2P
，在最低点轨道对物块的支持力大小为F N ，由牛顿其次定律有：F N －mg ＝m v 2P R
，联立解得：F N ＝3mg ，由牛顿第三定律可知物块对轨道P 点的压力大小为3mg .
(2)设物块A 与弹簧接触前瞬间的速度大小为v 0，由动能定理有mgR －μmgR ＝12mv 20
－0，解得v 0＝gR ，当物块A 、物块B 具有共同速度v 时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定
律有：mv 0＝(m ＋2m )v ，12mv 20＝12(m ＋2m )v 2＋E pm ，联立解得E pm ＝13
mgR . (3)设物块A 与弹簧别离时，A 、B 的速度大小分别为v 1、v 2，规定向右为正方向，那么有
mv 0＝－mv 1＋2mv 2，12mv 20＝12mv 21＋12(2m )v 22，联立解得：v 1＝13
gR ，设A 最终停在Q 点左侧距Q 点x 处，由动能定理有：－μmgx ＝0－12mv 21，解得x ＝19
R . 考点二：滑块与弹簧连接体碰撞模型
题型一：弹簧连接体两端滑块的压缩〔伸长〕模型
【典例1根底题】A 、B 两小球静止在光滑水平面上，用水平轻弹簧相连接，A 、B 两球的质量分别为m 和M (m <M )．假设使A 球获得瞬时速度v (如图甲)，弹簧压缩到最短时的长度为L 1；假设使B 球获得瞬时速度v (如图乙)，弹簧压缩到最短时的长度为L 2，那么L 1与L 2的大小关系为( )
A ．L 1>L 2
B ．L 1<L 2
C ．L 1＝L 2
D ．不能确定
【典例1根底题】【答案】C
【解析】当弹簧压缩到最短时，两球的速度相同，对题图甲取A 的初速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：m v ＝(m ＋M )v ′，由机械能守恒定律得：E p ＝12m v 2－12
(m ＋M )v ′2，联立解得弹簧压缩到最短时E p ＝mM v 2
2(m ＋M )
，同理：对题图乙取B 的初速度方向为正方向，当弹簧压缩到最短时有：E p ＝mM v 2
2(m ＋M )
，故弹性势能相等，那么有：L 1＝L 2，故A 、B 、D 错误，C 正确．
题型二：滑块与弹簧连接体水平式碰撞模型
【典例2根底题】如下图，水平地面上A 、B 两个木块用轻弹簧连接在一起，质量分别为2m 、3m ，静止时弹簧恰好处于原长。

一质量为m 的木块C 以速度v 0水平向右运动并与木块A 相撞。

不计一切摩擦，弹簧始终处于弹性限度内，那么碰后弹簧的最大弹性势能不行能为()
A.13m v 20
B.15m v 20
C.112m v 20
D.415m v 20
【典例2根底题】【答案】A
【解析】当C 与A 发生弹性正碰时，依据动量守恒定律和能量守恒定律有mv 0＝mv 1＋2mv 2，12mv 20＝12mv 21＋12×2mv 22，联立解得v 2＝23
v 0，当A 、B 速度相等时弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v ，以A 的初速度方向为正方向，那么由动量守恒定律得2mv 2＝(2m ＋3m )v ，得v ＝415v 0。

由机械能守恒定律可知，弹簧的最大弹性势能为E p ＝12×2mv 22－12
×5mv 2，解得E p ＝415mv 20
；当C 与A 发生完全非弹性正碰时，依据动量守恒定律有mv 0＝3mv 1′，当A 、B 、C 速度相等时弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v ′，那么由动量守恒定律得3mv 1′＝6mv ′。

由机械能守恒定律可知，弹簧的最大弹性势能为E p ＝12×3mv 1′2－12×6mv ′2，解得E p ＝112mv 20
，由此可知碰后弹簧的最大弹性势能范围是112mv 20≤E p ≤415mv 20
，应选A 。

【典例2根底题对应练习】两物块A 、B 用轻弹簧相连，质量均为2 kg ，初始时弹簧处于原长，A 、B 两物块都以v ＝6 m/s 的速度在光滑的水平地面上向右运动，质量为4 kg 的物块C 静止在B 的右边，如下图．B 与C 碰撞后二者会粘在一起运动．求：
〔1〕当弹簧的弹性势能最大时，A 的速度；
〔2〕系统中弹性势能的最大值．
【典例2根底题对应练习】【答案】(1)3 m/s(2)12 J
【解析】(1)当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，依据A 、B 、C 三者组成
的系统动量守恒，取向右为正方向，有(m A ＋m B )v ＝(m A ＋m B ＋m C )v ABC ，代入数据解得v ABC ＝3 m/s.
(2)B 、C 碰撞时，B 、C 组成的系统动量守恒，设碰撞后瞬间B 、C 的共同速度为v BC ，那么有
m B v ＝(m B ＋m C )v BC 代入数据解得v BC ＝2 m/s ，当A 、B 、C 三者的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，设为E p ，在B 、C 碰撞后，A 与B 、C 组成的系统通过弹簧相互作用的过程中机
械能守恒．依据机械能守恒定律得E p ＝12(m B ＋m C )v 2BC ＋12m A v 2－12
(m A ＋m B ＋m C )v 2ABC ＝12 J. 题型三：滑块与弹簧连接体斜面式及竖直式碰撞模型
【典例3根底题】如下图，在光滑的水平面上，有两个质量均为m 的小车A 和B ，两车之间用轻质弹簧相连，它们以共同的速度v 0向右运动，另有一质量为m 的黏性物体，从高处自由落下，正好落在A 车上，并与之粘合在一起，粘合之后的运动过程中，弹簧获得的最大弹性势能为()
A ．14m v 20
B ．18m v 20
C ．112m v 20
D ．115m v 20
【典例3根底题】【答案】C
【解析】黏性物体落在A 车上，由动量守恒有mv 0＝2mv 1，解得v 1＝v 02
，之后整个系统动量守恒，当系统再次到达共同速度时，有2mv 0＝3mv 2，解得v 2＝2v 03
，此时弹簧获得的弹性势能最大，最大弹性势能E p ＝12mv 20＋12×2m ⎝⎛⎭⎫v 022－12×3m ⎝⎛⎭⎫23v 02＝112
mv 20，所以C 正确． 【典例3根底题】(多项选择)如图，轻质弹簧上端悬挂于天花板，下端系一圆盘A ，处于静止状态．一圆环B 套在弹簧外，与圆盘A 距离为h ，让环自由下落撞击圆盘，碰撞时间极短，碰后圆环与圆盘共同向下开头运动，以下说法正确的选项是()
A ．整个运动过程中，圆环、圆盘与弹簧组成的系统机械能守恒
B ．碰撞后环与盘一起做匀加速直线运动
C ．碰撞后环与盘一块运动的过程中，速度最大的位置与h 无关
D ．从B 开头下落到运动到最低点过程中，环与盘重力势能的削减量大于弹簧弹性势能的增加量
【典例3根底题】【答案】CD
【解析】圆环与圆盘碰撞过程，时间极短，内力远大于外力，系统总动量守恒，由于碰后速度相同，为完全非弹性碰撞，机械能不守恒，故A 错误；碰撞后环与盘一起向下运动过程中，受重力和弹簧弹力，由于弹力增大，整体受到的合力变化，所以加速度变化，故B
错误；碰撞后平衡时，有kx＝(m＋M)g，即碰撞后新平衡位置与下落高度h无关，故C正确；从B开头下落到运动到最低点过程中，环与盘发生完全非弹性碰撞，有能量损失，故环与盘重力势能的削减量大于弹簧弹性势能的增加量，故D正确．。