一轮优化探究理数(苏教版)课件：第六章 第五节 数列的综合应用
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0 的图象与 x 轴公共点的个数为________ ．
解析：∵a、b、c 成等比数列， ∴b2＝ac 且 b≠0， 又∵Δ＝b2－4ac＝－3b2<0， ∴f(x)的图象与 x 轴无公共点．
核心考点 互动探究
【例 1】 已知等比数列{an}的首项 a1>0，公比 q>0，前 n 项和 为 Sn. S3 S 5 (1)试比较 与 的大小； a3 a5 lg a2 lg a3 lg an (2)设{an}满足：lg a1＋ ＋ ＋…＋ ＝n(n∈N＋)，数列 n 2 3 1 {bn}满足：bn＝n(lg a1＋lg a2＋…＋lg an－1＋lg kan)，求数列{an} 的通项公式和使数列{bn}成等差数列的正数 k 的值．
规律方法
解决等差、 等比数列的综合问题， 关键是理清两个数列的关系， 通常有两种命题方式： 1同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成 等差数列或等比数列的项抽出来， 研究这些项与项数之间关系 . 2如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把 两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解 .
综上可知，对 n∈N＋，an＝10n. 1 1 1 2 n ∴ bn ＝ n lg k(a1· a2· …· an) ＝ n lg k(10×10 ×…×10 ) ＝ n lg nn＋1 1 n＋ 1 [k· 10 ]＝nlg k＋ . 2 2 1 1 1 要使{bn}成等差数列，则 bn＋1－bn＝ ＋( － )lg k 为常数， 2 n＋ 1 n 故只需 lg k＝0，即 k＝1.
4．生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增 加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们 称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问 题等． 5．递推模型：如果容易找到该数列任意一项 an 与它的前一项 an－1(或前 n 项)间的递推关系式， 那么我们可以用递推数列的知 识求解问题．
(2)依题意可知当 n＝1 时，lg a1＝1， ∴a1＝10. lg a2 lg a3 lg an ∵lg a1＋ ＋ ＋…＋ ＝n，① n 2 3 lg an－1 lg a2 lg a3 当 n≥2 时，lg a1＋ ＋ ＋…＋ ＝n－1，② 2 3 n－ 1 lg an ①－②得： ＝1， n ∴lg an＝n，∴an＝10n.
[跟踪训练] 1．已知在公比为实数的等比数列{an}中，a3＝4，且 a4，a5＋4， a6 成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； 2an＋1 (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求 S 的最大值．
n
解析：(1)设数列{an}的公比为 q(q∈R)， 依题意可得 2(a5＋4)＝a4＋a6， 即 2(4q2＋4)＝4q＋4q3，整理得，(q2＋1)(q－2)＝0. ∵q∈R，∴q＝2，a1＝1. ∴数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
58 58 上递减，在( 58，＋∞)上递增，且 f(7)＝7＋ ，f(8)＝8＋ ， 7 8 所以 f(8)<f(7)，故 a8>a7，从而数列{an}的最大项为第 8 项．
4．已知数列{an}中，a1＝2，点(an－1，an)(n>1 且 n∈N＋)满足 y
1 033 ＝2x－1，则 a1＋a2＋…＋a10＝________.
解析：设至少需要 n 秒钟，则 1＋21＋22＋…＋2n－1≥100， 1－2n ∴ ≥100，∴n≥7. 1－2
n 3．已知数列{an}的通项为 an＝ 2 ，则数列{an}的最大项为 n ＋58
a8 ________ ．
n 解析： 由于 an＝ 2 ＝ n ＋58
58 ， 而函数 f(x)＝x＋ x 在(0， 58) 58 n＋ n
第六章 数列 第五节 数列的综合应用
主干知识 自主排查
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主干知识 自主排查
数列应用问题的常见模型 1．等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具 体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其 一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． 2．等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的百 分数时，该模型是等比模型，与变化前的量的比就是公比． 3．混合模型： 在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数 列的模型．
(2)由(1)知 an＝2
n－1
，∴Sn＝2n－1，
2an＋1 2n＋1 2 ∴ S ＝ n ＝1＋ n . 2 － 1 2 － 1 n 2 ∵n≥1，∴2 －1≥1，∴1＋ n ≤3， 2 －1
解析：an＝2an－1－1⇒an－1＝2(an－1－1)， ∴{an－1}是等比数列，则 an＝2n 1＋1.
－
∴a1＋a2＋…＋a10
10 1 － 2 ＝10＋(20＋21＋22＋…＋29)＝10＋ ＝1 033. 1－2
5．已知三个数 a、b、c 成等比数列，则函数 f(x)＝ax2＋bx＋c
S3 S5 解析：(1)①当 q＝1 时， ＝3， ＝5， a3 a5 S3 S5 ∴ < . a3 a5 a11－q3 a11－q5 S3 S5 ② 当 q>0 且 q≠1 时 ， － ＝ 2 － ＝ a3 a5 a1q 1－q a1q41－q q21－q3－1－q5 －1－q S3 S5 ＝ <0，此时有 < . 4 4 q a3 a5 q 1－q 当 q＝1 时，适用于上式． S3 S5 综上可知： < . a3 a5
1．已知等差数列{an}的公差为－2，且 a1，a3，a4 成等比数列，
－30 则 a20＝________.
解析：设{an}的首项为 a，则 a，a－4，a－6 成等比数列，则(a －4)2＝a(a－6)，解得 a＝8.又公差 d＝－2，所以 a20＝a＋19d ＝8＋19×(－2)＝－30.
2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒 的同时将自身分裂为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100 个这 样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________ 秒． 7
解析：∵a、b、c 成等比数列， ∴b2＝ac 且 b≠0， 又∵Δ＝b2－4ac＝－3b2<0， ∴f(x)的图象与 x 轴无公共点．
核心考点 互动探究
【例 1】 已知等比数列{an}的首项 a1>0，公比 q>0，前 n 项和 为 Sn. S3 S 5 (1)试比较 与 的大小； a3 a5 lg a2 lg a3 lg an (2)设{an}满足：lg a1＋ ＋ ＋…＋ ＝n(n∈N＋)，数列 n 2 3 1 {bn}满足：bn＝n(lg a1＋lg a2＋…＋lg an－1＋lg kan)，求数列{an} 的通项公式和使数列{bn}成等差数列的正数 k 的值．
规律方法
解决等差、 等比数列的综合问题， 关键是理清两个数列的关系， 通常有两种命题方式： 1同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成 等差数列或等比数列的项抽出来， 研究这些项与项数之间关系 . 2如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把 两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解 .
综上可知，对 n∈N＋，an＝10n. 1 1 1 2 n ∴ bn ＝ n lg k(a1· a2· …· an) ＝ n lg k(10×10 ×…×10 ) ＝ n lg nn＋1 1 n＋ 1 [k· 10 ]＝nlg k＋ . 2 2 1 1 1 要使{bn}成等差数列，则 bn＋1－bn＝ ＋( － )lg k 为常数， 2 n＋ 1 n 故只需 lg k＝0，即 k＝1.
4．生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增 加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们 称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问 题等． 5．递推模型：如果容易找到该数列任意一项 an 与它的前一项 an－1(或前 n 项)间的递推关系式， 那么我们可以用递推数列的知 识求解问题．
(2)依题意可知当 n＝1 时，lg a1＝1， ∴a1＝10. lg a2 lg a3 lg an ∵lg a1＋ ＋ ＋…＋ ＝n，① n 2 3 lg an－1 lg a2 lg a3 当 n≥2 时，lg a1＋ ＋ ＋…＋ ＝n－1，② 2 3 n－ 1 lg an ①－②得： ＝1， n ∴lg an＝n，∴an＝10n.
[跟踪训练] 1．已知在公比为实数的等比数列{an}中，a3＝4，且 a4，a5＋4， a6 成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； 2an＋1 (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求 S 的最大值．
n
解析：(1)设数列{an}的公比为 q(q∈R)， 依题意可得 2(a5＋4)＝a4＋a6， 即 2(4q2＋4)＝4q＋4q3，整理得，(q2＋1)(q－2)＝0. ∵q∈R，∴q＝2，a1＝1. ∴数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.
1
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58 58 上递减，在( 58，＋∞)上递增，且 f(7)＝7＋ ，f(8)＝8＋ ， 7 8 所以 f(8)<f(7)，故 a8>a7，从而数列{an}的最大项为第 8 项．
4．已知数列{an}中，a1＝2，点(an－1，an)(n>1 且 n∈N＋)满足 y
1 033 ＝2x－1，则 a1＋a2＋…＋a10＝________.
解析：设至少需要 n 秒钟，则 1＋21＋22＋…＋2n－1≥100， 1－2n ∴ ≥100，∴n≥7. 1－2
n 3．已知数列{an}的通项为 an＝ 2 ，则数列{an}的最大项为 n ＋58
a8 ________ ．
n 解析： 由于 an＝ 2 ＝ n ＋58
58 ， 而函数 f(x)＝x＋ x 在(0， 58) 58 n＋ n
第六章 数列 第五节 数列的综合应用
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数列应用问题的常见模型 1．等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具 体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其 一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． 2．等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的百 分数时，该模型是等比模型，与变化前的量的比就是公比． 3．混合模型： 在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数 列的模型．
(2)由(1)知 an＝2
n－1
，∴Sn＝2n－1，
2an＋1 2n＋1 2 ∴ S ＝ n ＝1＋ n . 2 － 1 2 － 1 n 2 ∵n≥1，∴2 －1≥1，∴1＋ n ≤3， 2 －1
解析：an＝2an－1－1⇒an－1＝2(an－1－1)， ∴{an－1}是等比数列，则 an＝2n 1＋1.
－
∴a1＋a2＋…＋a10
10 1 － 2 ＝10＋(20＋21＋22＋…＋29)＝10＋ ＝1 033. 1－2
5．已知三个数 a、b、c 成等比数列，则函数 f(x)＝ax2＋bx＋c
S3 S5 解析：(1)①当 q＝1 时， ＝3， ＝5， a3 a5 S3 S5 ∴ < . a3 a5 a11－q3 a11－q5 S3 S5 ② 当 q>0 且 q≠1 时 ， － ＝ 2 － ＝ a3 a5 a1q 1－q a1q41－q q21－q3－1－q5 －1－q S3 S5 ＝ <0，此时有 < . 4 4 q a3 a5 q 1－q 当 q＝1 时，适用于上式． S3 S5 综上可知： < . a3 a5
1．已知等差数列{an}的公差为－2，且 a1，a3，a4 成等比数列，
－30 则 a20＝________.
解析：设{an}的首项为 a，则 a，a－4，a－6 成等比数列，则(a －4)2＝a(a－6)，解得 a＝8.又公差 d＝－2，所以 a20＝a＋19d ＝8＋19×(－2)＝－30.
2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒 的同时将自身分裂为 2 个，现在有一个这样的细菌和 100 个这 样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________ 秒． 7